formes divisibles par un nombre

Trouver des formes algébriques divisibles par un nombre en utilisant les théorèmes de Fermat et de Wilson ou en utilisant la méthode par de déduction par induction.

Rappels: la barre verticale veut dire: divise; le chapeau ^ signifie puissance: 2^{2^3} = .

DIVISIBILITÉS PAR NOMBRES CROISSANTS

Divisible par	Formes divisibles	Avec / Condition / Commentaires	Démo
2	n² – n = (n – 1) n n² + n = n (n + 1) n^k – n = (n – 1) n . K	Produit de deux nombres consécutifs. Alors, l'un d'eux est forcément pair. Il existe de nombreuses formes paires Voir Nombres triangulaires / Nombre et leurs puissances	démo
2	F_3k	Les nombres de Fibonacci de rang 3k sont pairs.	Autres
3	1ⁿ + 2ⁿ	Pour n impair.	démo
	2ⁿ – 1	Divisible par 3 pour n pair Divisible par 5 pour n = 4k Divisible par 7 pour n = 3k Divisible par 63 pour n = 6k Divisible par 11 pour n =10k	démo
	4ⁿ – 1 = 2^2k – 1		démo
	n (2n² + 7)		démo
	n³ + 2n
	5ⁿ – 2ⁿ		démo
	a b ( a² – b² )		démo
	2^{2^n} + 5		démo
	381, 381111, …		démo
	Fermat + 10		démo
3ⁿ	3ⁿ 33…3_n	Divisibilité d'un repdigit de n chiffres.	démo
4	(2k + 1 ) + (2k + 3)	Somme de deux impairs consécutifs.
	(2k)²	Carré d'un nombre pair.	démo
	a² + 3 et a² – 1	(+3) pour a pair et (-1) pour a impair	démo
	5ⁿ – 1
	x² – y² = (x – y) (x + y)	Si (x – y) pair. Car, alors, x et y sont de même parité et leur somme est aussi paire.	démo
	(n + k)² – (n – k)² = 4 k n (a.n + k)² – (a.n – k)² = 4 k.a.n		démo
	a = ...cdu	avec 2d + u multiple de 4.
	7ⁿ – 3ⁿ	= (7 – 3) (…) = 4 (…)	démo
	6 x 7ⁿ – 2 x 3ⁿ	Vraie pour les coefficients 2, 6, 10, …
	ne divise pas n² + 1 ne divise pas n² + 2	Si n est pair 4 divise n². Si n est impair 4 divise n² + 3.
5	3³ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺¹		démo
	1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ	Pour n impair.	démo
	2²ⁿ⁺¹ + 3²ⁿ⁺¹
	3ⁿ – 2ⁿ	Pour n pair.	démo
	7ⁿ – 2ⁿ	Tout nombre en aⁿ – bⁿ est divisible par a – b.	démo
	8ⁿ – 3ⁿ
	11ⁿ – 6		démo

6	(n – 1) n (n + 1) = n³ – n n (n² + 5) = n³ + 5n	Un produit de trois nombres consécutifs est divisible par 3! = 6. La relation demeure en ajoutant 6k. Par exemple -1 + 6 = 5. Voir Nombres tétraédriques	démo démo
	n³ – n = (n – 1) n (n + 1) n^2k+1 – n = (n – 1) n (n + 1) K	Voir Nombre et leurs puissances	démo
	n (n + 1) (n + 5) n (n + 4) (n + 5) n (n + 1) (n + 2) (n + 4) etc.	Démo en examinant n = 6q + r pour les six valeurs du reste r.	démo
	n (n + 1) (2n + 1) = 2n³ + 3n² +n	Expression utilisées pour la somme des carrés des entiers	démo
	(n + 2k)² – (n – 2k)² = 8 k n		démo
	5n³ + n
	(n + 1)³ – n³ – 1	Différence entre cubes successifs	démo
	7ⁿ – 1	Tout nombre en aⁿ – bⁿ est divisible par a – b.	démo
7	n⁷ – n = n (n⁶ – 1)
	n⁶ – 1 n^6k – 1	Divisible par 7 sauf pour n = 7k (Fermat). Divisible par 9 sauf pour n = 3k. Divisible par 4 pour n impair
	1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ + 5ⁿ + 6ⁿ	Pour n impair.	démo
	2^3k – 1		démo
	4ⁿ – 3ⁿ	Pour n pair. Voir 35 et 77	démo
	3²ⁿ – 2ⁿ
	3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺²		démo

	6ⁿ – 1 = 2^3k – 1
	a, b, a + b ou a – b	Dans un triplet de Pythagore	>>>
		= 1001 x 7 x 11 x 13 x	>>>
8	x (x + 1) (x + 3) (x + 6) x (x + 2) (x + 3) (x + 5) x (x + 3) (x + 5) (x + 6)		>>>
	n² – 1 = (n – 1) (n + 1)	Si n impair. Car, alors, produit de deux pairs successifs dont l'un est divisible par 4.	démo
	4ⁿ – 2ⁿ = 2ⁿ (2ⁿ – 1) 4ⁿ + 2ⁿ = 2ⁿ (2ⁿ + 1)	Pour n < 2 Divisible par 48 pour n pair ou impair >>>
	3ⁿ – 1	Pour n pair. Note: 3ⁿ – 1 est, lui, toujours pair, car étant factorisable en (3 – 1) k.	démo
	3²ⁿ – 1
	3²ⁿ + 7 5²ⁿ + 7 (2k+1)²ⁿ + 7		démo
	3ⁿ + 7ⁿ – 2
2ⁿ⁺²	3^{2^n} – 1	Exemple pour n = 1 => 8 \| 8.	démo
9	(n–1)³ + n³ + (n+1)³	Somme de trois cubes successifs. Divisible par 18 pour n = 2k	démo
	a³ + 1 et a³ – 1	(+1) pour a = 2 mod1 et (-1) pour a = 1 mod 3	démo
	1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ + 5ⁿ + 6ⁿ + 7ⁿ + 8ⁿ	Pour n impair. Propriété générale pour tous les nombres impairs.	démo
	5ⁿ – 4ⁿ	Pour n pair. Divisible par 11 pour n = 5k.	démo
	5ⁿ + 4ⁿ	Pour n impair. Divisible par 63 pour n = 3 + 6k.
	10ⁿ + 3 . 4ⁿ⁺² + 5	Si 4 divisible par 4 pour n>1; Si 2 divisible par 6 et par 60 pour n = 2k>2; Si 0 divisible par 8 pour n>2 et par 56 pour n = 2k>2.
	N – rN	Nombre N et son retourné rN. N = 10a + b et rN = 10b + a dont la différence est 9a – 9b.	démo

11	aa…abb…b	Avec quantité paire de chiffres	>>>
	n⁴ + 3n² – 7	Divisible par 11 pour n = {4, 5, 6, 7} + 11k Divisible par 3 pour n = {1, 2} + 3k Divisible par 7 pour n = {0, 2, 5} + 7k Divisible par 9 pour n = {4, 5} + 9k
	n + r	Un nombre ajouté à son retourné est divisible par 11 si sa quantité de chiffres est paire.	démo
	6ⁿ – 5ⁿ	Divisible par 11 pour n pair Divisible par 7 pour n = 3k Divisible par 77 pour n = 6k	démo
	6ⁿ + 5ⁿ	Divisible par 11 pour n impair
	3ⁿ⁺⁰ – 4⁴ⁿ⁺⁰	Si 0 et 0 + 5k divisible par 11 Si 1 et 4 + 5k divisible par 11 Si 2 et 3 + 5k divisible par 11 Si 3 et 2 + 5k divisible par 11 … Divisible par 77 pour {0, 0}_P, {1, 4}_I, {2, 8}_P, {3, 12}_I, {4, 1}_P… L'indice impose que n soit pair ou impair.	démo
	10^{2n – 1} + 1	Ces nombres en 10…01, comportant une quantité paire de 0, sont divisibles par 11. Divisibles aussi par 91 pour n = 2 + 3k.
12	(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)	Produit des différences de quatre nombres distincts.	démo
	(3n + a)² – (3n – a)²	Le développent donne 12 a.n.
	(n+1)³ + n³ – (n–1)³ – (n–2)³ – 10	Avec cubes de quatre nombres successifs.	démo
	x (x + 1) (x + 2) (x + 5) x (x + 1) (x + 4) (x + 5) x (x + 1) (x + 5) (x + 6) x (x + 3) (x + 4) (x + 5) x (x + 3) (x + 5) (x + 5)		>>>
	p + p'	Somme de deux nombres premiers jumeaux.	démo
13	7ⁿ – 6ⁿ	Pour n pair.	démo
	31^{n + 1} + 18^{n – 1} 31ⁱ^{x n + 1} + 18ⁱ^{x n – 1}	Vraie pour (i, i + 4k)
	p¹² – q¹²	Pour p et q non divisibles par 13.
14	3^{4n + 2} + 5^{2n + 1} 3 ⁱ^{x n + 2} + 5 ^j^{x n + 1}	Vraie pour i + j = 6k (jaune dans le tableau). Vraie pour toutes les valeurs i et j du tableau avec n = {quelconque, 2k, 3k, 6k}.
15	(n+1) (n+3) (n+5) (n+7) (n+9)	Avec n pair (5 nombres impairs consécutifs).	démo
	4ⁿ – 1	Divisible par 15 pour n pair; Divisible par 11 pour n = 5k; Divisible par 4095 pour n = 6k; Divisible par 165 pour n = 10k.	démo
	8ⁿ – 7ⁿ	Pour n pair	démo
	3n⁵ + 5n³ + 7n	Divisible aussi par 30 pour n pair.. Voir Entier curieux	démo
	2⁽⁴ⁿ⁾ – 1	Divisible aussi par 1365 = 7 x 13 x 17 pour n =3k.
16	n⁴ + 4ⁿ	Pour n pair.	démo

24	p² – 1	p premier n >3 ou mieux p impair non multiple de 3 Voir Cas de n² + 1	démo
	n³ – n = (n–1) n (n+1)	n impair et n premier. Divisible par 6 = 3! pour tout n.	démo démo démo
	n (n+1) (n+2) (n+3)	Quatre nombres consécutifs. Un produit de quatre nombres consécutifs est divisible par 4! = 24
	n (n²– 1) (3n + 2)	Divisible aussi par 48 pour n = {7, 8, 9, 10} + 8k
	n (n²– 1) (i . n + j)	Pour (1,2), (1,6), (2,0), (2,4), (3,2) … Divisible par 48 pour (2,4); Divisible par 36 pour (3,0); Divisible par le double sous condition comme: tous sauf pour 2 + 4k.
	5ⁿ – 1	Pour n pair Divisible par 15 624 = 7 x 8 x 9 x 31 pour n = 6k	démo
	n^x– n ^{x – 2}	x > 4 Vraie pour x = 3 ou 4 et n 2 + 4k
	n¹⁴ – 1	n premier n >3
	p² – 1	p premiers p > 3	>>>
	p² – q²	p & q premiers p & q > 6	>>>
	3ⁿ + 7ⁿ – 10	Si – 2 divisible par 8; Si – 4 divisible par 6; Si – 6 divisible par 4; Si – 7 divisible par 3; Si – 8 divisible par 2.
	2 . 7ⁿ + 3 . 5ⁿ – 5	Divisible aussi par 24 pour (1,5) et (3,2) avec n pair.	démo variante
25	7²ⁿ + (2^3n-3) (3^n-1)
27	10ⁿ⁺¹ – 9n – 10 3 + 33 + … + 33…3_n	33…3_n est composé de n fois le chiffre 3 Voir Repdigit	démo
29	F_n + F_n+1+ … + F_n+13	Somme de 14 nombre de Fibonacci consécutifs	>>>

30	n⁵ – n	Divisible aussi par 60 pour n pair.	démo
31	2⁵ⁿ – 1		démo
32	3²ⁿ + 24n – 1	Et divisible par 64 pour n pair.
33	33 . xyzt	Permutation circulaire	Nb33
35	6ⁿ – 1	Pour n pair. Divisible par 5 pour tout n et par 7 pour n pair.	démo
	4ⁿ – 3ⁿ	Pour n = 4k. Divisible par 7 pour n pair. Jamais divisible par 2 ou par 3.	démo
	3⁶ⁿ – 2⁶ⁿ		démo
37		Car = 111 x a = 3 x 37 x a
	37 . xyz	Permutation circulaire	Nb37
41	41 . xyztu	Permutation circulaire	Nb41
42	n⁷ – n	Divisible aussi par 84 sauf pour n = 2 + 4k.	démo
43	6ⁿ⁺² + 7²ⁿ⁺¹
48	7ⁿ – 1	Pour n pair Divisible aussi par 96 pour n = 4k.	démo
	4ⁿ – 2ⁿ = 2ⁿ (2ⁿ – 1) 4ⁿ + 2ⁿ = 2ⁿ (2ⁿ + 1)	Divisible par 48 pour n pair > 3 et par 768 = 2⁸ x 3 pour n pair >7. Normal avec le facteur 2ⁿ. Divisible par 48 pour n impair > 4 et par 768 pour n impair >8.
	n (n²+ 20) = n³ + 20n	Pour n pair. Divisible par 96 pour n = 8k.
49	2³ⁿ⁺³ – 7n – 8	Divisible aussi par 96 pour n = 2k.
60	a.b.c	Si a, b et c forment un triplet de Pythagore
63	2ⁿ – 1	Divisible par 63 pour n = 6k. Divisible par 3 pour n pair.
	8ⁿ – 1 = 2³ⁿ – 1	Pour n pair. Divisible par 7 pour tout n.	démo
66	n¹¹ – n		démo
73		Car 73 divise 10001.	démo
75	10ⁿ – 5ⁿ = 5ⁿ (2ⁿ – 1)	Pour n pair >1 Divisible par 25 pour tout n.	démo
77	4ⁿ – 3ⁿ	Pour n = 10k. Divisible par 7 pour n pair.	démo
80	9ⁿ – 1	Pour n pair. Divisible par 8 pour tout n. Divisible par 160 pour n = 4k.	démo
81	10ⁿ⁺¹ – 10 – 9n	Divisible aussi par 162 pour n = 2k.
84	n⁷ – n = n (n⁶ – 1)	Divisible par 84 sauf pour n= 2 + 4k. Divisible par 42 pour tout n.
91	p¹² – q¹²	p (>1) et q non divisibles par 91. p = 2 et q = 1 2¹² – 1 = 2095 = 91 x 45	>>>
		1001 = 11 x 91	>>>
99	10ⁿ – 1 = 999…9	Divisible par 9 pour tout n. Divisible par 99 pour n pair.	démo
	100ⁿ – 1 = 9999…99	Divisible par 99 pour tout n.
	r – n	Un nombre soustrait de son retourné est divisible par 99 si la quantité de chiffres est impaire.	démo

111		Les nombres ayant leurs chiffres égaux par paquets de trois sont divisibles par 111.	>>>
120	(n–2) (n–1) n (n+1) (n+2)	Cinq nombres consécutifs. Un produit de cinq nombres consécutifs est divisible par 5! = 120	démo
	(n–1) n (n+1) (n+2)	Sauf pour n = 4 + 5k	>>>
	11ⁿ – 1	Pour n pair. Divisible par 10 pour tout n.	démo
	n⁵ – 5n³ + 4n = (n – 2)(n – 1) n (n + 1)(n + 2)	Pour n > 2 Divisible aussi par 840 sauf pour {10 ou 11} + 7k.	démo
127	2⁷ⁿ – 1		démo
133	11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹	133 = 7 x 19.	démo
137		10001 = 73 x 137	démo
138	n²³ – n		démo
143	12ⁿ – 1	Divisible par 11 pour tout n. Divisible par 13 pour n pair. Divisible par 143 pour n pair.	démo
168	13ⁿ – 1	Pour n pair. Divisible par 12 pour tout n.	démo

222	Sp / sc	Somme des permutations sur somme des chiffres.	démo
240	n⁴ – 1	n premier n > 5	démo
	n⁵ – n	Divisible par 240 pour n impair. Divisible par 30 pour tout n. Divisible par 8 pour n impair.	démo
	(n–2) (n–1) n (n+1) (n+2)	n pair	démo
	n⁸– n ⁴ n^a– n ^{a – 4}	Divisible par 240 pour tout n. D'une manière générale pour a > 7.
264	n¹⁰ – 1	n premier > 3 et 11.	démo
282	n⁴⁷ – n
480	n⁸ – 1	n premier > 5
480	n⁹ – n = n ( n⁸ – 1)	n impair
504	(c – 1) c (c + 1)	c est un cube = n³	démo
	p⁶ – 1 = (p³ – 1)(p³+ 1)	n premier >3, sauf 7	démo
	n⁷ – n = n (n⁶ – 1)	n premier > 3
	n^a– n ^{a – 4}	Pour a > 8
510	n¹⁷ – n		démo
512	3²ⁿ⁺⁵ + 160n² – 56n – 243	Pour tout n. Divisible par 2048 pour n impair.	démo
576	5^{(2n + 2)} – 24n – 25	Pour tout n. Divisible par 1152 pour n = {3 ou 4} + 4k	démo
641	F₅ = 2^{2^5} + 1	Fermat #5	démo
720	n² (n²– 16)	Vraie pour n = 4, 6, 14, 24, 30, 36, 40, 50 …
798	n¹⁹ – n		démo
840	n⁷ – 7n⁵ + 14n³ – 8n	Divisible aussi par 1680 sauf pour n = {3 ou 5 } + 8k.
870	n²⁹ – n

1 590	n⁵³ – n		démo
1 806	n⁴³ – n		démo
2 304	7²ⁿ – 48n – 1	Note: 2304 = 48² Divisible aussi par 4608 pour n = {1 ou 4 } + 4k.
2 730	n¹³ – n	Note: 2730 = 2 x 3 x 5 x 7 x 13 Divisible aussi par 5460 sauf pour n = 2 + 4k.	démo
2 880			démo
13 530	n⁴¹ – n		démo
14 322	n³¹ – n		démo
33 744	n³⁶ – 1	Si n premier avec 2, 3, 19 et 37 Note: 33 744 = 2⁴ x 3 x 19 x 37
65 520	n¹² – 1	n premier > 10
1 919 190	n³⁷ – 1

Voir Autres formes polynômiales en équations diophantiennes

Formes littérales

	a² b²	si a b	>>>
p	n^p – n	p premier
p	n^p-1 – 1	p premier n premier avec p *Fermat*	démo
p	(n + m)^p – (n^p + m^p)	p premier	démo
p	n^p + m^p	p premier et p divise n + m	démo
p	(p – 1)! + 1	p premier *Wilson*
r !	n(n+1)(n+2) …(n+r)	Produit de r nombres consécutifs	démo
n²	(n + 1)ⁿ – 1
(n – 1)²	n^k – 1	si k est divisible par n – 1 et n >1
p² + p + 1	pⁿ⁺¹ + (p+1)^2n-1
2^b – 1	ne divise jamais 2^a – 1	a et b > 2
a^{2^n} + 1	a^{2^m} – 1	m > n

D'autres formes

N	1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + ... + (N–1)ⁿ	Pour tout N impair et n impair	>>>
(a – b)	aⁿ – bⁿ	Pour tout n	>>>
(a – b) (a + b)	aⁿ – bⁿ	Pour n pair	>>>
a² + b²	(a⁴ⁿ – b⁴ⁿ)

En puissance de 2, 3 et 5

A est divisible par B pour tout n et k entiers positifs.

Nombres consécutifs

La somme de k nombres consécutifs est divisible par k si k est impair et par k/2, si k est pair.

Le produit de k nombres consécutifs est divisible par factorielle k. >>>

S = n + n+1 + n+2 + … + n+k

S = kn + (1 + 2 + 3 +…+ k)

S = kn + k (k + 1) / 2

S = k { n + (k + 1) / 2}

Divisible par k si k+1 est pair; soit k impair.

Carrés, factorielles
Différence de deux carrés N, la différence des carrés de a et b, est divisible par la somme et par la différence de a et b.	N = a² – b² = s . e s = a + b e = a – b
Factorielles Produit de factorielles.	Soit a = (p!)^q. q! et b = (q!)^p. p! Alors n = (p . q)! est divisible par a et b.