NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 23/10/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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Divisibilité

d'une somme de puissance (1/2)

Surprenant! La somme des puissances des nombres consécutifs est presque toujours divisible par le nombre qui suit.

Approche
Sur la page précédente nous avons montré que N = 7 divise la somme des puissances impaires (n = 2k + 1) de cette somme jusqu'à 6 (= 7 - 1) Voici quelques applications numériques Þ Qu'en est-il d'une manière générale ?	7 | 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n pour n = 2k+ 1 n = 1, S = 21 = 7 x 3 n = 3, S = 441 = 7 x 63 n = 5, S = 12201 = 7 x 1743 n = 7, S = 376761 = 7 x 53823

Voir Somme des carrés de 1 à n

Cas de N impair

Pour différentes valeurs de N impaires, nous allons constituer le tableau montrant la divisibilité de la somme S.

S est la somme des puissances n des nombres entiers consécutifs jusqu'à N non compris.

Les cases jaunes indiquent la divisibilité par N (résultats entiers); les cases bleues montrent la non-divisibilité (résultats fractionnaires).

Exemple: 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100; le nombre suivant est 5; il est impair et la somme est bien divisible par 5.

Une observation de ce tableau (et, c'est valable pour sa suite) montre que la divisibilité est vraie pour tous les n impairs. Normal, c'est la démonstration vue en page précédente.

En outre, certaines valeurs paires de n dont également divisibles:

Pour N = 3 et 9 jamais divisibles

Pour N = 5 et 7 divisible, sauf si n est multiple de N-1

Voici le tableau récapitulatif pour N impair:

	Divisibilité par N
	n Impair	n Pair	Sauf n multiples de
N = 3	X	non
5	X	X	4
7	X	X	6
9	X	non
11	X	X	10
13	X	X	12
15	X	non
17	X	X	16
19	X	X	18
21	X	non
23	X	X	22
25	X	X	24
27	X	non

Conclusion

Pour la somme de N – 1 puissances, N étant impair:

N | 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + ... + (N – 1)ⁿ

N divise cette somme sauf si

N = 3 + 6k et n est pair

ou

N 3 + 6k et n = N – 1

Cas de N pair

Même démarche que pour les valeurs de N impaires.

Les fractions témoignent de la non-divisibilité.

Une observation de ce tableau (et, c'est valable pour sa suite) montre que la divisibilité est vraie

TOUJOURS si N est un multiple de 4 et n est impair (>1); et

JAMAIS dans tous les autres cas.

Voici le tableau récapitulatif pour N impair

N	Divisibilité par N
	n Impair	n Pair
2	non	non
4	OUI	non
6	non	non
8	OUI	non
10	non	non
12	OUI	non
14	non	non
16	OUI	non
18	non	non
20	OUI	non
22	non	non
24	OUI	non
26	non	non

Conclusion

Pour la somme de N – 1 puissances, N étant pair:

N | 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + ... + (N-1)ⁿ

N divise cette somme

si N = 4 k et n est impair.

Suite	Bilan et exemples numériques Divisibilité de cinq puissances consécutives
Voir	Soustraction puissances A^n + B^N Divisibilité – Index Somme de puissances Somme et produit de k nombres
Aussi	Diviseurs Nombres consécutifs Formes polynomiales divisibles
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/SomPuiss.htm