NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/10/2020 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Nombres de Fermat >>> Propriétés >>> Construction >>> Curiosités >>> Fermat généralisés >>> Fermat se terminent par 7 >>> Fermat et 2 >>> Anglais

NOMBRES de FERMAT

Fermat croyait qu'en ajoutant 1 à ces puissances de 2,

on obtenait toujours des nombres premiers.

Or, selon les connaissances d'aujourd'hui, seuls cinq sont premiers.

Les nombres de Fermat sont un cas particulier des nombres de Cunningham.

NOMBRES de FERMAT
Forme générale Fn = Dn + 1 Autres notations: Fn = 2^2^n = 2^(2^n) Calcul F3 – 1 = 2^2^3 = 2^8 = 256 F3 = 257 Formation

Voir Puissances à étages / Divisibilité par 3 de tels nombres en +2 (et non +1)

Valeurs

Suite >>>

Voir Divisibilité par 641

Curiosité concernant la divisibilité

Un nombre de Fermat (>3) auquel on ajoute 10 est divisible par 3. Il s'agit d'un nombre de Fermat dont le chiffre des dizaines a été augmenter de un, comme 17 qui devient 27; et 27 = 3 x 9.

Cherchons le reste de la division par 3 d'un nombre de Fermat supérieur à 3 (On dit: nombre de Fermat modulo 3).

D'abord la puissance de 2: 2ⁿ est un nombre pair disons 2k.

Le nombre Fermat peut s'écrire F = 2^2k + 1 = 2² . 2² . … + 1

Or 2² = 4 1 mod 3, et F 1 . 1 . 1 … + 1 2 mod 3

Ajouter 10 conduit à F + 10 2 + 1 3 mod 3 0 mod 3

Donc divisible par 3. Comme d'ailleurs F + 1.

Conclusions

Fermat 2 mod 3

Fermat + 1 + 3k 0 mod 3

Voir Divisibilités

Relations entre deux voisins

Voir Formation des nombres de Fermat

Relations entre tous les précédents Autre expression Fn = F0 F1 F2 .... Fn-1 + 2 Exemples F3 = F0 F1 F2 + 2 = 3 x 5 x 17 + 2 = 257 F4 = 3 x 5 x 17 x 257 + 2 = 65 537 Démonstration par induction Voir Induction
Pour F1 c'est vrai.	5 – 3 = 2 F1 – F0 = 2
Supposons la formule vraie pour n	Fn – 2 = F0 . F1 . F2 … Fn-1
L'est-elle pour n + 1?	Fn+1 – 2 = F0 . F1 . F2 … Fn-1 . Fn = (Fn – 2) . Fn
En remplaçant par leur valeur. Identité remarquable >>> Carré d'une puissance en 2 >>> Passage de – 1 à + 1 – 2 Reconnaissance du nombre de Fermat

Curiosité à 2 près (Normale, si on connaît la propriété ci-dessus!)

4 294 967 295 = 3 x 5 x 17 x 257 x 65 537 Le produit des 5 nombres premiers de Fermat connus.

4 294 967 297 = 641 x 6 700 417 Le nombre de Fermat suivant qui n'est pas un nombre premier

Propriétés des NOMBRES de FERMAT

Les cinq plus petits nombres de Fermat (n de 0 à 4) sont premiers. Suite >>> À partir de F2, tous les nombres de Fermat se terminent par 7. Aucun n'est donc un carré. Suite >>> Deux nombres de Fermat sont premiers entre eux. Tout nombre de Fermat +1 est divisible par 6. Suite >>> Tout diviseur de Fn est de la forme 2^m k + 1 avec k impair et m n + 2. Suite >>> Aucun nombre de Fermat n'est triangulaire (sauf 3), ni carré, ni cube. Un nombre de Fermat est premier si, et seulement si, il divise: ou (test de Pépin – 1877) Il n'est possible de construire un polygone régulier à nombre premier de côtés que si ce nombre est un nombre de Fermat premier, etc. Théorème de Gauss Aucun nombre de Fermat n'est somme de deux nombres premiers à l'exception de F1 = 2 + 3. Aucun nombre de Fermat n'est la différence de deux puissances de nombres premiers impairs. La somme des inverses de tous les nombres de Fermat est irrationnelle.

NOMBRES en puissance de 2
Puissance	Nombres de Mersenne	Nombres de Fermat	Nombres de Fermat généralisé
>>>	>>>	>>>

Voir Nombres de Cullen / Nombres de Proth / Nombres de Sierpinski / Nombres de Riesel

Voir Puissances et exposants – Index

NOMBRES de FERMAT – Unité 7
À partir de F2, tous les nombres de Fermat se terminent par 7. Exemple et quasi-démonstration Démonstration par induction (>>>)
Pour n =1, c'est faux, mais Pour n = 2, c'est vrai. Supposons la formule vraie pour n. L'est-elle pour n + 1? Calcul avec relation puissance de 2. Mise en évidence du Fermat précédent.
Passage aux congruences (modulo), en prenant pour vraie la formule pour Fn.	Fn+1 (( 7 ) – 1)² + 1 mod 10 ≡ 6² + 1 = 37 mod 10 ≡ 7 mod 10
La relation est vraie pour 2 et elle est vraie pour n+1 dès qu'elle est vraie pour n, alors elle est toujours vraie pour n à partir de 2

English corner

Fermat first conjectured that all the numbers in the form of 2^2^n +1 are primes. However, in 1732, Leonhard Euler refuted this claim by showing that F5 =2^32 + 1 = 4 294 967 297 = 641 x 6 700 417 is a composite. It then became a question to whether there are infinitely many primes in the form of Fermat numbers. Primes in this form are called Fermat primes. Up-to-date there are only five known Fermat primes.

Voir Anglais – Le bagage minimum

Suite	Valeurs de Fn Diviseurs de Fn
Voir	Mersenne Harshad Nombres polis ou escaliers Théorie des nombres – Index Nombres par leur nom
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