NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés

ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 30/03/2014

Débutants	-Ý- RUBRIQUE: DIVISIBILITÉ				Glossaire
§ Retour INDEX		§ Par 42	§ Voir Récapitulatif
Sommaire de cette page >>> PROPRIÉTÉS >>> DÉMONSTRATION >>> EXEMPLES				Pages voisines § Fermat § Nombres magiques § Théorie des nombres

---

DIVISIBILITÉ par 42

Formes polynomiales divisibles

Voir Règles générales

-Ý - PROPRIÉTÉS

Théorèmes

N = n^7 - n est divisible par 42

§ quel que soit n

N = n^7 - n est divisible par 168

§ pour n impair

-Ý - DÉMONSTRATION

Outils

Factorisation N= n(n^6-1)	= (n+1) n (n-1)(n^4+n^2+1)
Trois nombres consécutifs sont	divisibles par 6
Petit théorème de Fermat pour tout p premier	n ^p - n est divisible par p

Démonstration

1ère étape: propriétés de divisibilité des nombres successifs
n^7 - n	= (n+1) n (n-1)(n^4+n^2+1) produit qui contient trois nombres consécutifs	=> N est divisible par 6
2^ème étape: divisibilité selon le petit théorème de Fermat
	avec p = 7 qui est premier	Fermat => N est divisible par 7
3^ème étape: conclusions
n^7 - n

Cas particulier

Cas où n est impair
n^7 - n	= (n+1) n (n-1)(n^4+n^2+1) produit qui contient trois nombres consécutifs dont 2 pairs consécutifs	=> N est divisible par 24
Conclusion
n^7 - n	est divisible par 24 et par 7 donc par leur produit 168 pour tout n impair

-Ý - EXEMPLES

n	N = n^7 - n	N / 42	N / 168
2	126	3
3	2 184	52	13
4	16 380	390
5	78 120	1 860	465
6	279 930	6 665
7	823 536	19 608	4 902
8	2 097 144	49 932	12 483
9	4 782 960	113 880	28 470
10	9 999 990	238 095
11	19 487 160	463 980	115 995
12	35 831 796	853 138
13	62 748 504	1 494 012	373 503
14	105 413 490	2 509 845
15	170 859 360	4 068 080	1 017 020
16	268 435 440	6 391 320	1 597 830
17	410 338 656	9 769 968	2 442 492
18	612 220 014	14 576 667
19	893 871 720	21 282 660	5 320 665
20	1 279 999 980	30 476 190

---

-Ý -	Retour	§ Formes polynomiales en général
	Voir	§ Nombre 42 § Nombre 168 § Divisibilité et Fermat