NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/12/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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INDEX Puissance Motifs	3-Knödel	Leyland	Divisibilité de n^k + k^n
		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Liste des nombres de Leyland >>> Leyland premiers >>> Leyland du second type >>> Cas: N = n^4 + 4^n >>> Cas de n^k + k^n

NOMBRES de LEYLAND Nombres à motif en puissance comme: 100 = 2^6 + 6^2 ou 32 = 2^4 + 4^2 qui est symétrique 32 = 16 + 16. Ces nombres ont été inventés pour obtenir des nombres le moins typé possible, adéquates pour tester des algorithmes de recherche de primalité.

Paul Leyland

APPROCHE

Définition du nombre de Leyland: Nombres de la forme avec Il en existe autant que l'on veut en donnant à x et y toutes les valeurs numériques croissantes. Voici les dix premiers pour x et y jusqu'à 5: Attention; cette liste ne donne pas toutes les valeurs croissantes des nombres de Leyland. Il faut introduire y = 6 pour avoir L = 100, par exemple. >>> La valeur x et y = 1 est éliminée car produisant une infinité de motifs triviaux, comme: 1^100 + 100^1 = 101. On prend la précaution de demander y plus grand ou égal à x tout simplement pour éviter les doublons commutés comme: 100 = 2^6 + 6^2 = 6^2 + 2^6.

Liste des nombres de Leyland
Table des valeurs croissantes jusqu'à 20 000 000 000 (93 valeurs) L = x^y + y^x

Leyland premiers

Les nombres de Leyland premiers sont rares. Il n'en existe que 5 pour x et y jusqu'à 500: Le plus grand connu en 2012 est: 2638^4405 + 4405^2638 qui comporte 15 071 chiffres. La quantité de premiers de Leyland semble infinie, mais ce n'est pas prouvé. La factorisation des nombres de Leyland n'est pas facile. Ils sont des cas de choix pour tester les algorithmes de factorisation, dit Paul Leyland lui-même. Pour que L soit premier, x et y doivent être premiers entre eux et de parites opposées. Plus grands nombres premiers de Leyland 6763^5122 + 5122^6753 avec 25 05 0chiffres 8656^2929 + 2929^8656 avec 30 008 chiffres

Leyland du second type
L = x^y – y^x En jaune les nombres premiers

Cas: N = n^4 + 4^n
Observation Valeur et factorisation pour n de 1 à 10. Seul 5 est un nombre premier. Tous les suivants sont composés. Est-ce toujours vrai? Oui! Démonstration
Si n est pair: n = 2k N est divisible par 16.	(2k)^4 + (4^2k)	= 16 k^4 + 2^4k = 16 (k^4 + 2^4 k – 4)
Si n est impair, on cherche une factorisation (pas évidente a priori!): mise en évidence d'une identité remarquable du type (a+b)²	N = n^4 + 4^n	= n^4 + 2 n^2 2^n + (2^n)^2 – 2 n^2 2^n = (n^2 + 2^n)^2 – 2^n+1 n^2
Si n est impair la quantité (n+1)/2 est un entier. Mise en évidence d'une identité remarquable du type a² – b² = (a – b)(a + b)	(n^2 + 2^n)^2 – 2^n+1 n^2	= ( n^2 + 2^n – 2^n+1)/2 n ) ( n^2 + 2^n + 2^n+1)/2 n )
Nous obtenons ainsi une factorisation qui semblerait dire que N n'est premier que n = 1.	Pour n = 1, N	= ( 1^2 + 2^1 – 2^1+1)/2 x 1 ) ( 1^2 + 2^1 + 2^1+1)/2 x 1 ) = ( 1 + 2 – 2 ) ( 1 + 2 + 2 ) = 1 x 5 = 5
Reste à savoir si le premier facteur avec un terme négatif ne peut pas prendre la valeur 1.	n^2 + 2^n – 2^n+1)/2 n	> 1 ?
On vérifie		Quantité strictement supérieure à 1.
Conclusion: N est toujours factorisable; Sauf pour n = 1.	N = n^4 + 4^n	= ( n^2 + 2^n – 2^n+1)/2 n ) ( n^2 + 2^n + 2^n+1)/2 n )

Voir Équations diophantiennes / Formes divisibles

Cas de n^k + k^n
Ce tableau ne présente que les nombres premiers de cette forme. Lecture: 3^2 + 2^3 = 9 + 8 = 17, premier 56^3 + 3^56 = 0,52 10^27, premier Les nombres premiers de cette forme sont assez rares. Selon ces tests pour n jusqu'à 1000: Aucun pour n = 11, 13, 14 … Un seul pour n = 4 (démontré ci-dessus), 6, 10, 12, 16…

Suite (miroir) en Divisibilité de n^k + kⁿ

Suite	Nombres de Bell Triplets et cubes
Voir	Puissance – Index Motifs aves les nombres
Diconombre	Nombre – 0,5 Autres nombres
Site	OEIS A076980 – Leyland numbers OEIS A094133 – Prime Leyland numbers Primes and Strong Pseudoprimes of the form x^y + y^x par Paul Leyland Leyland numbers – Numberphile – Video en anglais Primes and Strong Pseudoprimes of the form x^y + y^x
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