Divisibilité somme

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/12/2018 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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INDEX Divisibilité Partition		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Cas q = 2 >>> Cas q = 3 >>> Cas q = 4

SOMME DE NOMBRES

Parmi Q nombres pris au hasard, il existe q nombres dont la somme est divisible par q. Quelle est la valeur de Q en fonction de q?

Approche

Avec deux nombres (Q = 2)

Avec deux nombres pairs, la somme est paire: 2 + 4 = 6.

Par contre avec un pair et un impair, la somme est impaire: 2 + 3 = 5.

Il faut plus de deux nombres pris au hasard pour que la somme soit paire.

Avec trois nombres (Q = 3)

Si le troisième nombre est impair, la somme est paire: 2 + 3 + 5 = 10.

S'il est pair, patatras, la somme reste impaire: 2 + 3 + 4 = 9.

D'une manière générale (Q = n)

Ayant obtenu une somme paire avec n – 1 nombres si le énième nombre est impair, la somme est impaire. Pas bon!

Ayant obtenu une somme impaire avec n – 1 nombres si le énième nombre est pair, la somme reste impaire. Pas bon!

Bilan

Quelle que soit la quantité de nombres choisis au hasard, il est impossible d'assurer que leur somme sera paire.

Ce résultat est à rapprocher du problème de la paire de chaussettes: vous aurez beau avoir une montagne de chaussettes de chaque pied, il se peut que vous en tiriez une infinité sans obtenir une paire.

Cas q = 2

Nous allons maintenant nous poser un autre type de question. Nous avons le droit de faire le tri parmi les Q nombres. Est-ce que nous pouvons en trouver deux tels que leur somme soit paire?

Avec Q = 2 ce n'est pas possible. Mais dès qu'il y a trois nombres (Q = 3) parmi eux il y en a toujours au moins deux ayant la même parité.

Bilan q = 2 Q = 3

Avec trois nombres choisis au hasard, il existe au moins une paire de nombres dont la somme est divisible par 2.

Voir Principe des tiroirs

Cas q = 3

Notre défi: trouver une somme divisible par 3, c'est-à-dire égale à 0 modulo 3. Les nombres sont choisis parmi une liste de nombres:

divisibles par 3, soit N 0 mod 3,

divisibles par 3 avec reste de 1, soit N 1 mod 3, ou

divisibles par 3 avec reste de 2, soit N 2 mod 3.

Si pas de chance, nous tirons deux de chaque; soit 6 nombres avec les valeurs modulo 3 suivantes:

0 0 1 1 2 2

Le nombre suivant amènera le troisième larron en 0, 1 ou 2 qui permettra une somme de trois nombres dont le modulo sera nul. Q_max = 7.

Mais, il est possible de faire mieux car 0 + 1 + 2 = 3 0 mod 3, relation qui nous amène deux solutions avec Q = 6 seulement.

Analyse expérimentale

Analyse raisonnée

Nous le constatons et nous le devinons, le cas critique est celui où nous aurions quatre nombres deux de types différents. Par exemple: 0, 0, 1, 1.

Avec un cinquième nombre, s'il est du type 0 ou 1, c'est bon. S'il est du type 2, c'est bon aussi car 0 + 1 + 2 0 mod 3.

On peut vérifier que cela est vrai dans tous les cas: i, i , j, j. Avec i ou j, ça marche; et avec k aussi car en redonnant leur valeur: 0 + 1 + 2 0 mod 3.

Bilan q = 3 Q = 5

Avec cinq nombres choisis au hasard, il existe au moins un triplet de nombres dont la somme est divisible par 3.

Cas q = 4