NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Divisibilité

 

Débutants

Division

Produit de nombres consécutifs

 

Glossaire

Division

 

 

INDEX

 

Divisibilité

 

Général

2 Nb

3 Nb / pair

3 Nb / impair

Récapitulatif

4 Nb

5 Nb / pair

5 Nb / Impair

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Observation des valeurs numériques

>>> Explications – Cas des multiples de 4

 

 

 

 

Produit de TROIS nombres consécutifs

IMPAIR / PAIR / IMPAIR

 

Toujours divisible par 12 au moins

 

 

 

Approche

Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6

 

 

Que se passe-t-il si n est pair ou multiple de 2 ?

 

 

6 |  (n – 1) n (n+ 1)

 

Exemple

3 x 4 x 5 =    60 = 6 x 10

4 x 5 x 6 = 120 = 6 x 20

 

 

Note   (n – 1) n (n + 1) = n (n – 1) (n + 1) = n (n² – 1) = n3 – n

Notation:  la barre verticale signifie "divise"

Note: la somme de trois nombres consécutifs ne présente pas d'intérêt: Au mieux, sur trois nombres consécutifs deux sont pairs et le troisième impair. ce qui ne suffit pas pour que la somme soit divisible par 2. En fait le PGCD de nombres consécutifs est toujours égal à 1 (aucun diviseur commun)

 

 

Observation des valeurs numériques

Le tableau donne la valeur du produit
P =  (n – 1) n (n + 1)
pour n pair.

 

Ce produit est divisé successivement par 6, 12, 24 et 48.

 

En rouge les valeurs non fractionnaires.

 

Ex: 5 x 6 x 7 = 210

divisible par 6 et par 12

Conclusions liées aux observations

 

Pour n pair:  (n – 1) n (n + 1)

 

*       Divisible par   6 pour n =   2k
          C'est la règle générale qui s'applique
          Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6

*       Divisible par 12 pour n =   4k

*       Divisible par 24 pour n =   8k

*       Divisible par 48 pour n = 16k

*      

*       Divisible par 3 x 2p pour n = 2p

 

 

 

 

Explications - Cas des multiples de 4

 

Remplaçons n par 4k

 

 

 

Cette expression est divisible par 4

 

Or le produit est déjà divisible par 6

 

 

(n - 1) n (n + 1)

= (4k - 1) 4k (4k + 1)

= 64k3 - 4k

 

4 | (n - 1) n (n + 1)

 

6 | (n - 1) n (n + 1)

Il est divisible par le PPCM de ces deux diviseurs.

 

PPCM (4,6) = 12

 

12 | (n - 1) n (n + 1) pour n = 4k

 

PPCM: Plus petit commun multiple.

Ici: 4 = 2 x 2 et 6 = 2 x 3

L'un des facteurs 2 est en commun, il ne compte qu'une seule fois.

Les autres sont uniques, ils comptent pleinement.

Soit le PPCM de (4 et 6) = 2 x 2 x 3 = 12

 

Suite en Divisibilité du produit de trois nombres consécutifs  / impairs

 

 

  

Suite

*  Divisibilité du produit de trois nombres consécutifs – cas impair

*  Nombres pairs et impairs – théorie

*  Divisibilité de la somme de nombres consécutifs

*  Produit de consécutifs = carré?

*  Factorielles tronquées et leur divisibilité

Voir

*  Nombres consécutifsIndex

*  DivisibilitéIndex

*  Divisibilité – Formes divisibles selon les diviseurs

*  Divisibilité des nombres consécutifsDémo

*  Somme de q nombres divisibles par q

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