NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 04/10/2019 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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DIVISIBILITÉ par 6

Nombres et formes polynomiales divisibles par 6.

Règle

Un nombre est divisible par 6 s'il est pair et si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Ex: 123 456 = 3 x 41 152

Propriétés

Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6 >>>

Tous les nombres premiers sont voisins d'un multiple de 6 >>>

Voir Règles générales / Nombre 6

Nombres de Fermat

Théorème

Tous les nombres de Fermat sont divisibles par 6.

Démonstration

On sait que:

F_n = F₀ F₁ F₂ .... F_n-1 + 2

Avec F₀ = 3:

F_n + 1 = 3. F₁ F₂ .... F_n-1 + 2 + 1

= 3 (F₁ F₂ .... F_n-1 + 1)

Les nombres de Fermat sont impairs; plus un donne un nombre pair.

F_n + 1 = 3 x 2 x K

Donc divisible par 6.

Différence de cubes successifs

La différence entre deux cubes successifs moins 1

est divisible par 6.

Calcul avec identité remarquable:
(n + 1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1

En retirant les extrêmes:

3n² + 3n = 3 n (n + 1)

Parmi deux nombres consécutifs l'un est pair. Leur produit est divisible par 2.

L'ensemble est divisible par 2 et 3, donc par 6.

Propriété

T_n est le nombre triangulaire de rang n.

Exemples

2^3	– 1^3	– 1 =	8 –	1	– 1 =	6 =	1 × 6
3^3	– 2^3	– 1 =	27–	8	– 1 =	18 =	3 × 6
4^3	– 3^3	– 1 =	64 –	27	– 1 =	36 =	6 × 6
5^3	– 4^3	– 1 =	125 –	64	– 1 =	60 =	10 × 6
6^3	– 5^3	– 1 =	216 –	125	– 1 =	90 =	15 × 6
7^3	– 6^3	– 1 =	343 –	216	– 1 =	126 =	21 × 6
8^3	– 7^3	– 1 =	512 –	343	– 1 =	168 =	28 × 6
9^3	– 8^3	– 1 =	729 –	512	– 1 =	216 =	36 × 6
10^3	– 9^3	– 1 =	1000 –	729	– 1 =	270 =	45 × 6
11^3	– 10^3	– 1 =	1331 –	1000	– 1 =	330 =	55 × 6

Avec quatre cubes, on obtient une divisibilité par 12.

4³ + 3³ – 2³ – 1³ – 10

= 64 + 27 – 8 – 1 – 10

= 72 = 6 x 12

Voir Nombres premiers cubains

Nombres en n^3 – n

Théorème Tous les nombres en n^3 – n (cad: le produit de trois nombres consécutifs) sont divisibles par 6 et même par 24 si n est impair. Voir Trois nombres consécutifs Démonstration n^3 – n = n (n² – 1) n (n + 1) (n – 1) (n + 1) n (n – 1) 3 nombres consécutifs L'un d'eux est forcément divisible par 3 De plus, l'un d'eux, au moins, est pair Ce nombre est divisible par 3 et par 2 donc par 6. Propriété valable pour n^3 – n + 6kn Exemple: n^3 – n + 6 n = n^3 + 5n

Voir Divisibilité du produit de nombres consécutifs

Nombres en n³ + 5n

Observations

Théorème

Tous les nombres en n³ + 5n

sont divisibles par 6.

Démonstration

Elle a été donnée ci-dessus. Pour l'exercice reprenons-là.

Le nombre est pair

si n est pair	alors a est pair
si n est impair:
n = 2k + 1	a = (2k + 1) ( (2k + 1)² + 5 )
	a = (2k + 1) ( 4k² + 4k + 1 + 5 )
	a = (2k + 1) ( 2k² + 2k + 3 ) x 2
	Dans les 2 cas: a est pair

Le nombre est divisible par 3

si n est divisible par 3	alors a est divisible par 3
si n n'est pas divisible par 3
n = 3k ± 1	a = (3k ± 1) ( (3k ± 1)² + 5 )
	a = (3k ± 1) ( 9k² ± 6k + 1 + 5 )
	a = (3k ± 1) ( 3k² ± 2k + 2) x 3
	Dans les 2 cas: a est divisible par 3

Suite en Divisibilité des formes polynomiales

Nombres en n (n + 1) (2n + 1)
Observations Tableau donnant n et P le produit n (n + 1) (2n + 1) Puis P divisé par 6 et ses multiples. En rouge, les divisions exactes. Somme des carrés des entiers Voir Démonstration	n P P/6 P/12 P/24 P/48 P/96 1 6 1 2 30 5 3 84 14 7 4 180 30 15 5 330 55 6 546 91 7 840 140 70 35 8 1224 204 102 51 9 1710 285 10 2310 385 11 3036 506 253 12 3900 650 325 13 4914 819 14 6090 1015 15 7440 1240 620 310 155 16 8976 1496 748 374 187 17 10710 1785 18 12654 2109 19 14820 2470 1235 20 17220 2870 1435 21 19866 3311 22 22770 3795 23 25944 4324 2162 1081 24 29400 4900 2450 1225 25 33150 5525 26 37206 6201 27 41580 6930 3465 28 46284 7714 3857 29 51330 8555 30 56730 9455 31 62496 10416 5208 2604 1302 651 32 68640 11440 5720 2860 1430 715 33 75174 12529
Lecture	n (n + 1) (2n + 1) divisible par 6 toujours divisible par 12 pour n = 4 k et n = 4k -1 divisible par 24 pour n = 8 k et n = 8k -1 divisible par 48 pour n = 16 k et n = 16k -1 etc.

Démonstration de la divisibilité de n (n + 1) (2n + 1)
Deux nombres consécutifs sont divisibles par 2, car parmi eux il y a toujours un nombre pair.	2 n (n+1)
Supposons que n = 3k + r Alors pour couvrir tous les nombres r vaut 1, 2 ou 3.	n = 3k + r r = 1, 2 ou 3
Si n = 3k Cette expression est divisible par 3.	n (n + 1) (2n + 1) = 3k (3k + 1) (6k + 1)
Si n = 3k + 1 Cette expression est divisible par 3.	n (n + 1) (2n + 1) = (3k + 1) (3k + 2) (6k + 3)
Si n = 3k + 2 Cette expression est divisible par 3.	n (n + 1) (2n + 1) = (3k + 2) (3k + 3) (6k + 5)
Conclusion pour ces trois cas. Chacun des cas donne une divisibilité par 3, l'expression est divisible par 3 dans tous les cas.	3 n (n + 1) (2n + 1)
Or, elle est aussi divisible par 2. Elle est divisible par le produit de ces deux nombre, ou plus exactement, le PPCM de ces deux nombres.	PPCM (2,3) = 6 6 n (n + 1) (2n + 1)
Note: La barre verticale veut dire "divise" PPCM Plus Petit Commun Multiple.

Divisibilité de N = n (n+1) (n+5) par 6
Selon le reste de la division par 6, nous avons 6 cas.	N = n (n + 1) (n + 5) = n^3 + 6n^2 + 5n N = 6 k + {0, 1, 2, 3, 4, 5}
N = 6k	N = 6k (6k + 1) (6k + 5) divisible par 6.
N = 6k + 1	N = (6k + 1) (6k + 2) (6k + 6) par 6 et par 12.
N = 6k + 2	N = (6k + 2) (6k + 3) (6k + 7) = 2 (3k + 1) x 3 (2k + 1) (6k + 7) par 6.
N = 6k + 3	N = (6k + 3) (6k + 4) (6k + 8) = 3 x (2k + 1) x 2 (3k + 2) x 2 (3k + 4) par 6 et par 12.
N = 6k + 4	N = (6k + 4) (6k + 5) (6k + 9) = 2 (3k + 2) (6k + 5) x 3 (2k + 3) par 6.
N = 6k + 5	N = (6k + 5) (6k + 6) (6k + 10) par 6 et par 12.
Conclusion	N = n (n +1) (n + 5) est divisible par 6 et par 12 pour tous les n sauf n = 2 + 4h (multiple de 4 + 2).
Autres du même type	N = n (n + 4) (n + 5) est divisible par 6 et par 12 pour tous les n sauf n = 1 + 4h (multiple de 4 + 1). N = n (n + 2) (n + 4) est divisible par 3. N = n (n + 1) k est toujours divisible par 2.

Voir Formes comparables / Divisibilité des formes

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