NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/03/2017 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Divisibilité
Débutants Division	Produit de nombres consécutifs				Glossaire Division
INDEX Divisibilité	Général	2 Nb	3 Nb / pair	3 Nb / impair
	Récapitulatif	4 Nb	5 Nb / pair	5 Nb / Impair
		Sommaire de cette page >>> Approche >>> Observation des valeurs numériques >>> Explications – Cas des multiples de 4

Produit de TROIS nombres consécutifs

PAIR / IMPAIR / PAIR

Toujours divisible par 24 au moins

Approche
Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6 Que se passe-t-il si n est pair ou multiple de 2 ? Nous allons voir que dans ce cas le 6 se transforme en 24.	6 | (n-1) n (n+ 1) = n Exemple 3 x 4 x 5 = 60 = 6 x 10 4 x 5 x 6 = 120 = 6 x 20 24 | (n-1) n (n+ 1) pour n impair
Note (n-1) n (n+ 1) = n (n – 1) (n + 1) = n (n² – 1) = n^3 – n Notation: la barre verticale signifie "divise"

Observation des valeurs numériques

Le tableau donne la valeur du produit
P = (n-1) n (n+1)
pour n impair.

Ce produit est divisé successivement par 24, 48, 96 et 192.

En rouge les valeurs non fractionnaires.

Ex: 6 x 7 x 8 = 336

divisible par 24 et par 48

Conclusions liées aux observations

Pour n IMpair: (n-1) n (n+1)

Divisible par 6 pour n = 2k + 1
C'est la règle générale qui s'applique
Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6
Mais les impairs font mieux!

Divisible par 24 pour n = 2k + 1

Divisible par 24 pour n = 4k ± 1 (équivalent à 2k + 1)

Divisible par 48 pour n = 8k ± 1

Divisible par 96 pour n = 16k ± 1

Divisible par 192 pour n = 32k ± 1

Divisible par 384 pour n = 64k ± 1

…

Divisible par 12 x 2^p pour n = 2^p k + 1

Note: 2 k +1 est équivalent à 4k 1

Voyez l'illustration

2	3	4	5	6	7	8
	2 k + 1		2 k + 1		2 k + 1
	4 k – 1		4 k + 1		4 k – 1

De sorte que 4k 1 atteint tous les nombres impairs et

ceux-ci bénéficient de la propriété de divisibilité par 24

Explications - Cas en 4k plus ou moins 1
Remplaçons n par 4k +1 Cette expression est divisible par 4. Or le produit est déjà divisible par 6.	(n - 1) n (n + 1) = (4k) (4k +1) (4k + 2) = 64k3 +48k² + 8k 8 | (n - 1) n (n + 1) 6 | (n - 1) n (n + 1)
Il est divisible par le PPCM de ces deux diviseurs.	PPCM (6,8) = 24 24 | (n - 1) n (n + 1) pour n = 4 k + 1
La formule est symétrique en 4k – 1.	24 | (n - 1) n (n + 1) pour n = 4 k - 1
PPCM: Plus petit commun multiple Ici: 6 = 2 x 3 et 8 = 2 x 2 x 2 L'un des facteurs 2 est en commun, il ne compte qu'une seule fois Les autres sont uniques, ils comptent pleinement Soit le PPCM de (4 et 6) = 2 x 2 x 2 x 3 = 24

Suite en Divisibilité du produit de quatre nombres consécutifs

Suite	Divisibilité du produit de trois nombres consécutifs – Cas pair Nombres pairs et impairs – théorie Divisibilité de la somme de nombres consécutifs Produit de consécutifs = carré? Factorielles tronquées et leur divisibilité
Voir	Nombres consécutifs – Index Divisibilité – Index Divisibilité – Formes divisibles selon les diviseurs Divisibilité des nombres consécutifs – Démo Somme de q nombres divisibles par q
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