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DIVISIBILITÉ par 12

Critères de divisibilité, cas de divisibilités inattendues, et formes polynomiales divisibles par 12.

Propriété spectaculaire!

12 divise toujours le produit des différences de quatre nombres >>>

Voir Nombre 12 dans le DicoNombre

Critère de divisibilité par 12
Le nombre doit d'abord être pair. Moyen facile d'éliminer tous les impairs d'un coup d'œil.		144 est pair
Il est divisible par 3.		1 + 4 + 4 = 9 divisible par 3
Il est divisible par 4.		44 est divisible par 4
Divisible à la fois par 3 et par 4, ce nombre est divisible par 12		144 = 12 x 12
Autre exemple	1 481 472 pair 1+4 = 5; 5 + 4 = 9; 7+2 = 9 => divisible par 3 72 est divisible par 4 ce nombre est divisible par 12: 1 481 472 = 12 x 123 456

Voir Multiplication rapide par 12

Divisibilité par 12 avec quatre nombres
Prenons les quatre premiers nombres (dans les carrés) et calculons la différence entre chaque couple (les six segments bleus et rouges). Le produit de ces différences est égal à 12.
Prenons d'autres nombres quelconques mais distincts. Ils sont disposés dans l'ordre croissant pour l'esthétique. Le produit de toutes les différences est encore divisible par 12.

Voir Divisibilité par 12 de quatre cubes

Quelques exemples: le produit des différences est toujours divisible par 12

a, b, c et d sont les quatre nombres; les six D_i sont les différences; P est le produit des six différences.

En marron, les facteurs qui produisent 12 ou un multiple.

Propriétés
Théorème Le produit de toutes les différences entre quatre nombres distincts est divisible par 12. Distincts, car deux nombres égaux produiraient une différence nulle qui mettrait a zéro le produit. D'une manière générale Le PGCD des produits des différences de quatre nombres quelconques distincts est égal à 12.	Formulation La barre verticale se lit: " divise". Soit: douze divise le produit P formé des différences indiquées avec a, b, c et d, quatre nombres entiers dans l'ordre croissant. Note: si non croissant, prendre la valeur absolue des différences. Plus grand commun diviseur de tous les produits Le nombre 12 est bien la limite. C'est le plus grand nombre qui divise l'infinité de tous ces produits. Ce que montre le tableau ci-dessus.
Généralisation Le PGCD des produits des différences de n nombres quelconques distincts est égal à 1! x 2! x 3! x … (n-1)! Distincts, car deux nombres égaux produisent une différence nulle qui met a zéro le produit. On peut formuler également: Le produit des différences deux à deux de n nombres est un multiple de 1!x2!x…(n-1)! Let a0, a1, a2,…, an be any n + 1 integers. The product of their pairwise differences is a multiple of 0! 1! ... n!	PGCD des produits pour n nombres Voir Super factorielle Historique: en 1892, H.W. Segar avait constaté que le produit des différences de n entiers est divisible par 2! x 3! x … (n-1)! Rapporté par Dickson.

Voir Factorielle / Divisibilité du produit de nombres consécutifs

Démonstration
Deux temps pour la démonstration.	Divisibilité par 2 puis divisibilité par 4.
Outil principal: le principe des tiroirs.	Avec quatre objets pour trois tiroirs, l'un des tiroirs contiendra au moins deux objets.
On reprend la présentation en graphe en l'orientant pour pouvoir y pratiquer des sommes vectorielles. Les nombres sont dans l'ordre croissant: a < b < c < d; et, les flèches pointent vers un plus grand nombre. Chaque vecteur représente une différence comme (a – b) pour le vecteur horizontal supérieur. De sorte que, par exemple: (a – b) + (b – d) = (a – d)	La flèche de a vers b représente la différence a – b
Divisibilité par 3 On s'intéresse au sommet "a" duquel partent trois vecteurs. Deux cas possibles il existe au moins une différence issue de "a" divisible par 3; ou aucune différence n'est divisible par 3. Dans le premier cas, le produit complet est divisible par 3; dans le second cas, il faut montrer que cette situation engendre une autre différence divisible par 3. Rappel: la division par 3 peut donner trois types de restes:0, 1 ou 2. On dit que qu'en mod 3, la différence vaut 0, 1 ou 2.	Si, issue du sommet "a", aucune différence n'est divisible par 3, on a: D'après le principe des tiroirs, trois cas pour deux possibilités, alors deux différences sont soit à 1 soit à 2 mod 3. Par exemple: Or, nous avons la somme: (a – b) + (b – d) = (a – d) 1 + 0 = 1 mod 3 Cette relation impose que l'une des différence soit égale à 0 mod 3; ce qui veut dire que cette différence est divisible par 3. Il existe donc toujours une différence divisible par 3, et le produit complet est divisible par 3. Ce raisonnement s'applique à toutes les configurations possibles pour le sommet "a".
Divisibilité par 4 Toujours avec le sommet "a", il faut identifier deux vecteurs pairs (deux différences paire) pour obtenir la divisibilité par 4. Trois cas: deux ou trois vecteurs pairs un vecteur pair aucun vecteur pair Conclusion Divisible à la fois par 3 et par 4, le produit est divisible par 12 ∎	Avec deux ou trois différences paires émanant du sommet "a", nous avons immédiatement notre divisibilité par 4. Avec une seule différence paire, les deux autres sont impaires et leur différences est paire (même principe de somme et différence de vecteurs utilisé ci-dessus). Avec trois différences impaires, on réalise deux somme/différences qui sont paires. Illustration

Produit de différences

Le produit de différences est noté . Soit un ensemble de nombres (x₁, x₂, …, x_n); les différences de toutes les paires ordonnées où l'index du premier nombre est plus petit que celui du second; leur produit est (delta n).

Δn is the product of the difference of all ordered pairs of (x₁, x₂, …, x_n) where the index of the first is less than the index of the second.

Théorème

12 divise la somme de deux nombres premiers jumeaux

12 ( p + p' )

à partir des jumeaux 5 et 7.

Voir Règles générales de divisibilité

Démonstration par induction

Un nombre premier supérieur à 3 est impair.

Son jumeau également.

La somme s'écrit =>

p = 2k + 1

p' = 2k + 1 + 2 = 2k + 3

p + p' = 4 k + 4 = 4 (k + 1)

La somme est divisible par 4.

4 (p + p')

Maintenant, examinons les deux nombres face à leur divisibilité par 3.

Il y a trois cas pour p : le reste est 0, 1 ou 2; et

Voyons le cas de p' = p + 2 en conséquence.

p	p'
3h	3h + 2	p non premier (divisible par 3).
3h + 1	3h + 3	p' non premier (divisible par 3).
3h + 2	3h + 4	seul cas où p et p' peuvent être premiers (deux premiers jumeaux).

Conservons ce dernier cas qui correspond à notre hypothèse, et voyons leur somme.

p + p' = 3h + 2 + 3h + 4

= 6h + 6

= 6 (h + 1)

La somme est divisible par 6.

6 (p + p')

La somme est divisible par 4 et par 6.

Elle est divisible par leur PPCM

4 = 2 x 2

6 = 2 x 3

PPCM(4,6) = 2 x 2 x 3 = 12

CQFD

12 (p + p')

Voir Démonstration via la barre magique des premiers

Somme des nombres premiers jumeaux et leur division par 12
p p' p + p' (p+p')/12 5 7 12 1 11 13 24 2 17 19 36 3 29 31 60 5 41 43 84 7 59 61 120 10 71 73 144 12 101 103 204 17 107 109 216 18 137 139 276 23 149 151 300 25 179 181 360 30 191 193 384 32 197 199 396 33 227 229 456 38 239 241 480 40 269 271 540 45 281 283 564 47 311 313 624 52 347 349 696 58 419 421 840 70 431 433 864 72 461 463 924 77 521 523 1044 87 569 571 1140 95

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Sites	Four Numbers, Six Differences, GCD of the Products – Cut-the-Knot – Alexander Bogomolny Modulus Arithmetic and a Solution to Differences – NRICH enriching mathematics The product of all differences of the possible couples of six given positive integers is divisible by 960 – Mathematics forum Factorials dividing the product of differences or r integers – History of the theory of numbers – volume 1, page 269 – Leonard Eugene Dickson – 1919, ré-édité en 2005 The product of all differences of the possible couples of six integer – Mathematics Stack Exchange (forum)
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