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Nombres ABONDANTS, PARFAITS & DÉFICIENTS On considère
les diviseurs d'un nombre, sauf le nombre lui-même
(diviseurs propres ou diviseurs stricts). On effectue
leur somme (s') ; on compare le nombre initial à cette somme … Le nombre n est parfait en cas d'égalité. À un près, le nombre est presque-parfait.
Les nombres presque-parfaits de
déficience 1 sont les puissances de 2; on ne connait pas de presque-parfait
avec abondance de 1. Voir rubrique débutants pour une introduction en douceur >>> |
Anglais: Abundant, perfect and deficient numbers
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Observations Le chiffre 6 est divisible par 1, par 2 et par 3. Il est
curieux car la somme de ses diviseurs est justement 6. Notez que l'on prend les diviseurs, avec le 1 et
sans le 6. Ce sont les diviseurs propres Le nombre 10 donne la somme de
8 qui est inférieur à 10. Le nombre 20 donne la somme de 22 qui est supérieur à 20. Trois possibilités
Pour
en savoir plus C'est Nicomachus
en 100 après J.-C. dans son livre Introductio
Arithmetica qui introduisit ces noms. |
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Voir Définitions
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Déficients
Abondants
171 078 831 171 078 832
Diviseurs de 90 : {1,
2, 3, 5, 6,
9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}. En rouge, les déficients.
Diviseurs de 20: {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Nombre = somme des diviseurs abondants. Diviseurs de 24: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Nombre pas égal à la somme des diviseurs
abondants. |
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Programme
de recherche des nombres égaux à la somme de leurs diviseurs déficients Appel des logiciels de théorie des nombres. Lancement de la boucle d'analyse des nombre n de 2
à 10000. Si la somme des diviseurs (sigma) n'est pas égale à
2n, on poursuit en évitant les nombres parfaits. La liste des diviseurs est dans A et la somme des
diviseurs que nous cherchons (S) est
initialisée à 0. Boucle d'analyse des diviseurs de 1 à quantité de
diviseurs (nops). Si le diviseur est déficient, alors on ajoute sa
valeur à S. Fin de condition (fi) et fin de boucle (od). Si la somme trouvée S est gale au nombre n, alors
le faire savoir en l'imprimant. En bleu, résultat de l'exécution du programme. Seul
90 ressort pour n jusqu'à 10 000 (et c'est vrai
jusqu'à 1 milliard). |
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Voir Programmation
– Index
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Nombres tels
que:
Ce sont les
nombres abondants record: la somme de ses diviseurs est supérieure à celle de
tous les autres nombres plus petits. |
1, 2, 3, 4, 6, 8, 10,
12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 108, 120, 144, 168,
180, 210, 216, 240, 288, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 630, 660,
720, 840, 960, 1008, 1080, 1200, 1260, 1440, 1560, 1620, 1680, 1800, 1920,
1980, 2100, 2160, 2340, 2400, 2520, 2880, 3024, 3120, 3240, 3360, 3600, 3780,
3960, 4200, 4320, 4620, 4680, 5040, 5760, 5880, 6120, 6240, 6300, 6720, 7200,
7560, 7920, 8400, 8820, 9240, … |
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Définition Selon définition de Ramanujan
, en partant de 1, suite des nombres qui établissent un nouveau record en
quantité de diviseurs. Plus précisément, n est
fortement composé si:
Exemples
Premiers nombres fortement
composés 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180 >>> Ramanujan Le plus grand
trouvé par Ramanujan: 6 746 328 388 800 = 26
x 34 x 52 x 72 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 Il prouve
pour tout nombre hautement composé, les exposants
des facteurs premiers successifs vont en décroissant. Chaque exposant est
plus grand ou égal au suivant. Le dernier
exposant est toujours égal à 1, sauf pour 4 et 36. Il en existe
une infinité. |
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Anglais: Highly composite numbers
Suite
Nombres hautement composés
Voir
Unitairement parfait / Types
de nombres selon leurs diviseurs / Table de diviseurs
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Anglais: Superabondant numbers
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Exemple 70 = 2 x 5 x 7 Somme des diviseurs propres: 1 + 2 + 5
+ 7 + 10 + 14 + 35 = 74 => abondant; Diviseurs 2, 5 et 7 sont premiers =>
déficients; Diviseur 10 = 2 x 5 et somme des diviseurs: 1 + 2 + 5 =
8 => déficient; Diviseur 35 = 5 x 7 et somme des
diviseurs: 1 + 5 + 7 = 13 => déficient. 70 est un nombre abondant primitif. Liste 20, 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464,
550, 572, 650, 748, 836, 945, 1184,
1312, 1376, 1430, 1504, 1575, 1696, 1870, 1888, 1952, 2002, 2090, 2205, 2210,
2470, 2530, 2584, 2990, 3128, 3190, 3230, 3410, 3465, 3496, 3770, 3944, 4030,
4070, 4095, 4216, 4288 … 945 est le plus petit impair. Voir Nombre semi-parfaits
primitifs |
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Anglais: Primitive abondant numbers
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Voir |
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