NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 05/12/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Nombres

ABONDANTS, PARFAITS & DÉFICIENTS

On considère les diviseurs d'un nombre, sauf le nombre lui-même (diviseurs propres ou diviseurs stricts).

On effectue leur somme (s') ; on compare le nombre initial à cette somme … Le nombre n est parfait en cas d'égalité. À un près, le nombre est presque-parfait.

Les nombres presque-parfaits de déficience 1 sont les puissances de 2;

on ne connait pas de presque-parfait avec abondance de 1.

Voir rubrique débutants pour une introduction en douceur >>>

Anglais: Abundant, perfect and deficient numbers

Approche

Observations

Le chiffre 6 est divisible par 1, par 2 et par 3. Il est curieux car la somme de ses diviseurs est justement 6. Notez que l'on prend les diviseurs, avec le 1 et sans le 6. Ce sont les diviseurs propres

Le nombre 10 donne la somme de 8 qui est inférieur à 10.

Le nombre 20 donne la somme de 22 qui est supérieur à 20.

Trois possibilités

Pour en savoir plus

Déficients

Parfaits

Abondants

C'est Nicomachus en 100 après J.-C. dans son livre Introductio Arithmetica qui introduisit ces noms.
Il pense que tous les nombres impairs sont déficients. Il est vrai que la plupart des nombres abondants sont pairs. Le plus petit nombre abondant impair est 945 = 3³x5x7. Ils sont seulement 23 jusqu'à 10 000: 945, 1575, 2205, 2835, 3465, 4095, 4725, 5355, 5775, 5985, 6435, 6615, 6825, 7245, 7425, 7875, 8085, 8415, 8505, 8925, 9135, 9555, 9765. Ils sont nombreux de la forme 575 + 630k. Ils le sont tous pour k de 0 à 51. OEIS A005321

Abondant, parfait, déficient …
Notations Définitions

Voir Définitions

Propriétés

Déficients Il existe une infinité de nombres déficients pairs comme impairs. Tous les nombres premiers sont déficients (somme égale à 1); de même que leurs puissances. Toutes les puissances de 2 sont presque parfaites (déficience égale à 1). Anglais: least deficient or near-perfect numbers. Tout diviseur propre d'un nombre parfait ou d'un nombre déficient est déficient. Tous les nombres impairs ayant un ou deux facteurs distincts est déficient. Les nombres impairs sont souvent déficients, et la plupart des nombres abondants sont pairs. Pour n grand, il existe au moins un nombre déficient dans l'intervalle . Abondants Il existe une infinité de nombres abondants pairs comme impairs. Environ 24,8% des nombres sont abondants (entre 24,74 et 24,80). Le plus petit abondant impair est 945 = 3^3x5x7. Ils sont seulement 23 jusqu'à 10 000. Tous les multiples d'un nombre abondant sont abondants. Tous les multiples d'un nombre parfait sont abondants. Les nombres abondant sont en nombre infini. Les nombres abondant pairs sont en nombre infini. Les nombres abondant impairs sont en nombre infini. Tous les nombres supérieurs à 20 161 sont la somme de deux nombres abondants. Les nombres 54 et 56 sont abondants avec la même somme S = 120, et c'est la première paire. La suivante est 60 et 78 avec S = 168. Il faut atteindre 5 391 411 025 pour avoir un nombre abondant non divisible pr 2 ou par 3. Aucun nombre d'abondance égale à 1 n'a été trouvé (nombre presque-parfait ou semi-parfait). 5 775 et 5 776 sont deux nombres abondants consécutifs Le plus petit triplet de nombres abondants consécutifs à été trouvé seulement en 1975 par Laurent Hodges et Micahel Reid: 171 078 830 171 078 831 171 078 832 Le nombre n = 90 serait le seul nombre, non parfait, dont la somme des diviseurs déficients est égale à n (testé jusqu'à 10^9). Diviseurs de 90 : {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}. En rouge, les déficients. Les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs abondants sont nombreux. C'est le cas lorsque n est abondant et qu'aucun de ses autres diviseurs ne sont abondants. Diviseurs de 20: {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Nombre = somme des diviseurs abondants. Diviseurs de 24: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Nombre pas égal à la somme des diviseurs abondants.

Exemple de programmation (Maple)
	Programme de recherche des nombres égaux à la somme de leurs diviseurs déficients Appel des logiciels de théorie des nombres. Lancement de la boucle d'analyse des nombre n de 2 à 10000. Si la somme des diviseurs (sigma) n'est pas égale à 2n, on poursuit en évitant les nombres parfaits. La liste des diviseurs est dans A et la somme des diviseurs que nous cherchons (S) est initialisée à 0. Boucle d'analyse des diviseurs de 1 à quantité de diviseurs (nops). Si le diviseur est déficient, alors on ajoute sa valeur à S. Fin de condition (fi) et fin de boucle (od). Si la somme trouvée S est gale au nombre n, alors le faire savoir en l'imprimant. En bleu, résultat de l'exécution du programme. Seul 90 ressort pour n jusqu'à 10 000 (et c'est vrai jusqu'à 1 milliard).

Voir Programmation – Index

Nombre hautement abondants
Nombres tels que: Ce sont les nombres abondants record: la somme de ses diviseurs est supérieure à celle de tous les autres nombres plus petits.	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 108, 120, 144, 168, 180, 210, 216, 240, 288, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 630, 660, 720, 840, 960, 1008, 1080, 1200, 1260, 1440, 1560, 1620, 1680, 1800, 1920, 1980, 2100, 2160, 2340, 2400, 2520, 2880, 3024, 3120, 3240, 3360, 3600, 3780, 3960, 4200, 4320, 4620, 4680, 5040, 5760, 5880, 6120, 6240, 6300, 6720, 7200, 7560, 7920, 8400, 8820, 9240, …

Nombres fortement (ou hautement) composés

Définition

Selon définition de Ramanujan , en partant de 1, suite des nombres qui établissent un nouveau record en quantité de diviseurs. Plus précisément, n est fortement composé si:

Exemples

48	= 2^4 x 3 a 10 diviseurs: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
60	= 2² x 3 x 5 en a 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Voir Base de numération 60

Premiers nombres fortement composés

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180 >>>

Ramanujan

Le plus grand trouvé par Ramanujan:

6 746 328 388 800 = 2⁶ x 3⁴ x 5² x 7² x 11 x 13 x 17 x 19 x 23

Il prouve pour tout nombre hautement composé, les exposants des facteurs premiers successifs vont en décroissant. Chaque exposant est plus grand ou égal au suivant.

Le dernier exposant est toujours égal à 1, sauf pour 4 et 36.

Il en existe une infinité.

Anglais: Highly composite numbers

Suite Nombres hautement composés

Voir Unitairement parfait / Types de nombres selon leurs diviseurs / Table de diviseurs

Nombres superabondants

Un nombre superabondant est plus " abondant " relativement que le précédent. Il s'agit de record d'abondance croissante. Plus précisément: n est superabondant si: Les premiers superabondants: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 10080, 15120, 25200, 27720, 55440, 110880, 166320, 277200, 332640, 554400, 665280, 720720, 1441440, 2162160, 3603600, 4324320, 7207200, 8648640, 10810800 … Notez que cette liste est différente de celle des nombres hautement composés, même si elle commence de la même façon.. Un nombre N colossalement abondant est tel qu'il existe , tel que pour tout n: Les nombres premiers sont super déficients, car seul 1 est diviseur. La somme des diviseurs propres est donc minimale ( = 1).

Anglais: Superabondant numbers

Nombres abondants primitifs

Nombre abondant dont les diviseurs propres sont tous déficients. Il n'est donc pas multiple strict d'un nombre abondant. Ils sont en nombre infini. Les nombres en 2^np sont abondants primitifs si p est premier impair non-Mersenne et 2^nest la plus grande puissance de 2 inférieure à p. Exemple 70 = 2 x 5 x 7 Somme des diviseurs propres: 1 + 2 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35 = 74 => abondant; Diviseurs 2, 5 et 7 sont premiers => déficients; Diviseur 10 = 2 x 5 et somme des diviseurs: 1 + 2 + 5 = 8 => déficient; Diviseur 14 = 2 x 7 et somme des diviseurs: 1 + 2 + 7 = 10 => déficient; Diviseur 35 = 5 x 7 et somme des diviseurs: 1 + 5 + 7 = 13 => déficient. 70 est un nombre abondant primitif. Liste 20, 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, 550, 572, 650, 748, 836, 945, 1184, 1312, 1376, 1430, 1504, 1575, 1696, 1870, 1888, 1952, 2002, 2090, 2205, 2210, 2470, 2530, 2584, 2990, 3128, 3190, 3230, 3410, 3465, 3496, 3770, 3944, 4030, 4070, 4095, 4216, 4288 … 945 est le plus petit impair. Voir Nombre semi-parfaits primitifs

Anglais: Primitive abondant numbers

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Site	Répartition des nombres superabondants par Paul Erdös et JL Nicolas – Définition des nombres hautement composés et superabondants. OEIS A005101 – Abundant numbers (sum of divisors of n exceeds 2n). OEIS A071395 – Primitive abundant numbers (abundant numbers all of whose proper divisors are deficient numbers). OEIS A091191 - Primitive abundant numbers: abundant numbers having no abundant proper divisor. OEIS A006038 – Odd primitive abundant numbers
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