nombres géométriques - tétraèdres

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 27/12/2024 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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NOMBRES TÉTRAÉDRIQUES

ou Nombre pyramide à base triangulaire

Nombres figurés associés au tétraèdre.

Formés par la somme des nombres triangulaires.

Nombres de la forme: T_n = 1/6 n (n + 1) ( n + 2)

Le sixième du produit de trois nombres consécutifs.

Les nombres tétraédriques sont en troisième position dans le triangle de Pascal.

Anglais: Tetrahedral numbers or triangular pyramidal numbers

Exemple avec trois rangées: 10 billes

Les trois rangées de 1, 3 et 6 boules (en haut) se superposent pour donner une pile pyramidale de 10 boules (en bas).

Vue de profil et vue de dessus.

C'est la disposition des fruits (pommes, pèches …) que l'on trouver sur un étal de maraîcher.

20 = 1 + 3 + 6 + 10

Énigme avec 20 billes

On dispose de ces 20 billes. Elles se présentent sous la forme de quatre groupes solidaires: deux de 6 billes et deux de 4 billes.

Il s'agit de former un tétraèdre avec ces quatre objets.

C'est moins facile qu'il n'y paraît, tant que l'on ne connaît pas la solution!

Solution

NOMBRES TÉTRAÉDRIQUES

Les nombres tétraédriques correspondent donc au total de billes d'un empilement pyramidal.

Un nombre tétraédrique est égal au cumul des nombres triangulaires

20 = 1 + 3 + 6 + 10

Chacun est égal à son prédécesseur plus le triangulaire correspondant

20 = 10 + 10

35 = 20 + 15

Côté	T_n	Tétra_n
1	1	1
2	3	4
3	6	10
4	10	20
5	15	35
6	21	56
7	28	84
8	36	120
9	45	165
10	55	220
11	66	286
12	78	364
13	91	455
14	105	560
15	120	680
n	1/2 n(n+1)	1/6 n(n+1)(n+2)

Cette vue montre un empilement de triangles:

Petit triangle: T₁ = 1

Moyen triangle: T₂ = 3

Grand triangle : T₃ = 6

Tétraédrique: T₁ + T₂ + T₃ = 10

Liste des nombres tétraèdres:

0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925, 3276, 3654, 4060, 4495, 4960, 5456, 5984, 6545, 7140, 7770, 8436, 9139, 9880, 10660, 11480, 12341, 13244, 14190, 15180

Les cinq nombres à la fois triangulaires et tétraédriques:

1, 10, 120, 1 540 et 7 140

En notant que:

Les nombres triangulaires sont en deuxième position dans le triangle de Pascal et les tétraédriques en troisième position.

Il est facile d'écrire un programme qui recherche les nombres communs. soit, les nombres qui sont à la fois (intersect) dans la liste (séquence) des triangulaires (binomial, 2) et dans celle des tétraédriques (binomial, 3):

Suite en Produits de consécutifs

Seuls nombres carrés et tétraédriques: 1, 2 et 140 (Sierpinski)

Nombre 4-hyper tétraédriques: somme cumulée des nombres tétraédriques qui sont aussi les coefficients du binôme du type (n, 4) = n(n-1)(n-2)(n-3)/24.

Tous ces nombres figurent dans la cinquième diagonale du triangle de Pascal.

Liste: 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365, 1820, 2380, 3060, 3876, 4845, 5985, 7315, 8855, 10626, 12650, 14950, 17550, 20475, 23751, 27405, …

OEIS A000332

Voir Pyramide triangle / Nombre 140

PROPRIÉTÉS des TÉTRAÉDRIQUES

Formule de calcul

Tet_n = 1/6 n (n + 1) (n + 2)

Conséquences

Un parallélépipède de longueur n+2, de largeur n+1 et de profondeur n contient 6 tétraèdres.

Un nombre tétraédrique étant un nombre entier.

Tout produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6.

Table de multiplication

Dans la table de multiplication la somme des diagonales donne les nombres tétraédriques

Exemple:

10 = 3 + 4 + 3

Remarquez la symétrie

Tet₄ = 20 = 2 (4 + 6)

= 2 (1x4 + 2x3)

= 1x4 + 2x3 + 3x2 + 4x1

Tétra	1	2	3	4	5
	1	2	3	4	5
1	2	4	6	8	10
4	3	6	9	12	15
10	4	8	12	16	20
20	5	10	15	20	25

Forme générale

Cette dernière manière d'écrire ci-dessus est générale.

Tet_n = n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... (n – 2)3 + (n – 1)2 + n

Tet₅ = 1x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 + 5x1 = 35

Conséquence

Les tétraédriques sont pairs

sauf 1 sur 5 (ceux qui se terminent par 5)

1 4 10 20 35 56 84 120 165

Triangle de Pascal

Les nombres triangulaires se trouvent dans la 3^e colonne du Triangle de Pascal.
Les nombres tétraédriques sont en 4^e colonne.

La suivante donne les nombres pentatopes (hyper-tétraèdre).

Présentation droite du triangle de Pascal et mise en évidence des nombres triangulaire et des nombres tétraédriques:

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	3	6	10	15	21	28	36
1	4	10	20	35	56	84
1	5	15	35	70	126
1	6	21	56	126
1	7	28	84
1	8	36	Tétraédriques
1	9	Nombre Triangulaires
1

Tétraédriques palindromes

Un nombre palindrome est un nombre qui peut se lit aussi à l'envers (de droite à gauche).

Un nombre tétraédrique palindrome est un nombre palindrome de forme générale n(n+1)(n+2)/6

123321

4567654

…

17 x 18 x 19 /6 = 969

n = 336 engendre le plus grand

palindrome tétraèdre connu.

Rang	n	T_n	Chiffres
1	1	1	1
2	2	4	1
3	17	969	3
4	21	1771	4
5	336	6378736	7

Table des nombres pseudo-tétraédriques (TT), somme des triangulaires de i à j

TT₂₄= Triangulaire 2 + Triangulaire 3 + Triangulaire 4 = 3 + 6 + 10 = 19

Valeurs suivantes de TT: 1020, 1024, 1044, 1054, 1055, 1056, 1060, 1084, 1085, 1089, 1091, 1105, 1110, 1120, 1130, 1135, 1136, 1139, 1140, 1154, 1156, 1160, 1165, 1176, 1208, 1210, 1211, 1219, 1225, 1246, 1252, 1254, 1270, 1274, 1295, 1296, 1306, 1310, 1316, 1320, 1326, 1329, 1330, 1331, 1344, 1354, 1369, 1375, 1385, 1396, 1407, 1420, 1444, 1456, 1460, 1464, 1484, 1485, 1489, 1505, 1520, 1521, 1530, 1536, 1539, 1540, 1551, 1569, 1570, 1585, 1595, 1600, 1606, 1620, 1630, 1631, 1651, 1660, 1681, 1684, 1687, 1715, 1736, 1738, 1740, 1751, 1760, 1761, 1764, 1767, 1770, 1771, 1784, 1785, 1786, 1802, 1804, 1845, 1849, 1859, 1883, 1891, 1895, 1904, 1920, 1924, 1936, 1940, 1946, 1956, 1968, 1989, 1999, 2004, 2014, 2020, 2023, 2024, 2025, 2035, 2036, 2040, 2050, 2080, 2109, 2110, 2114, 2116, 2135, 2136, 2145, 2180, 2195, 2209, 2216, 2224, 2236, 2244, 2245, 2265, 2280, 2289, 2290, 2296, 2299, 2300, 2304, 2307, 2314, 2324, 2330, 2341, 2360, 2365, 2380, 2401, 2435, 2452, 2460, 2461, 2470, 2471, 2480, 2485 …

Nombres géométriques	Introduction Valeurs Théorie Nombres triangulaires et tétraédriques Tables des nombres somme de triangulaires
Voir	Empilement des sphères – Conjecture de Kepler Géométrie – Index Liste des noms des nombres Partition Tétraèdre Tétraèdre: volume Théorie des nombres
DicoNombre	Nombre 336 Nombre 969
Sites	OEIS A000292 – Tetrahedral (or triangular pyramidal) numbers OEIS A027568 – Numbers that are both triangular and tetrahedral.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Tetraedr.htm

Solution: les quatre étapes

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