NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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NOMBRES Géométriques

 

>>> INDEX

 

Pairs / Impairs

Carrés

Cubes

Proniques

Pentagonal et suite

Tétraédriques

Triangulaires

Grappes

Pyramidaux

Centrés

Hex

 

Sommaire de cette page

>>> Exemple avec 3 rangées: 10 billes

>>> Énigme avec 20 billes

>>> Nombres tétraédriques

>>> Propriétés des tétraédriques

>>> Tétraédriques palindromes

 

 

 

 

 

 

NOMBRES TÉTRAÉDRIQUES

 ou Nombre pyramide à base triangulaire

 

Nombres figurés associés au tétraèdre.

Formés par la somme des nombres triangulaires.

 

Nombres de la forme: Tn = 1/6  n (n + 1) ( n + 2)

Le sixième du produit de trois nombres consécutifs.

 

Les nombres tétraédriques sont en troisième position dans le triangle de Pascal.

Anglais: Tetrahedral numbers or triangular pyramidal numbers

 

 

 

Exemple avec trois rangées: 10 billes

 

Les trois rangées de 1, 3 et 6 boules (en haut) se superposent pour donner une pile pyramidale de 10 boules (en bas).

              Vue de profil          et            vue de dessus.

 

C'est la disposition des fruits (pommes, pèches …) que l'on trouver sur un étal de maraîcher.

 

 

20 = 1 + 3 + 6 + 10

 

 

Énigme avec 20 billes

 

 

*      On dispose de ces 20 billes. Elles se présentent sous la forme de quatre groupes solidaires: deux de 6 billes et deux de 4 billes.

*      Il s'agit de former un tétraèdre avec ces quatre objets.

*      C'est moins facile qu'il n'y paraît, tant que l'on ne connaît pas la solution!

 

Solution

 

 

 

 

NOMBRES TÉTRAÉDRIQUES

 

*      Les nombres tétraédriques correspondent donc au total de billes d'un empilement pyramidal.

*      Un nombre tétraédrique est égal au cumul des nombres triangulaires

20 = 1 + 3 + 6 + 10

*      Chacun est égal à son prédécesseur plus le triangulaire correspondant

20 = 10 + 10

35 = 20 + 15

 

Côté

Tn

Tétran

1

1

1

2

3

4

3

6

10

4

10

20

5

15

35

6

21

56

7

28

84

8

36

120

9

45

165

10

55

220

11

66

286

12

78

364

13

91

455

14

105

560

15

120

680

n

1/2 n(n+1)

1/6 n(n+1)(n+2)

 

 

Cette vue montre un empilement de triangles:

*      Petit triangle:     T1 = 1

*      Moyen triangle:   T2 = 3

*      Grand triangle :   T3 = 6

*      Tétraédrique: T1 + T2 + T3 = 10

*      Les cinq nombres à la fois triangulaires et tétraédriques:


1, 10, 120, 1 540 et 7 140

*      En notant que:

Les nombres triangulaires sont en deuxième position dans le triangle de Pascal et les tétraédriques en troisième position.

Il est facile d'écrire un programme qui recherche les nombres communs. soit, les nombres qui sont à la fois (intersect) dans la liste (séquence) des triangulaires (binomial, 2) et dans celle des tétraédriques (binomial, 3):

 

 Suite en Produits de consécutifs

 

*      Seuls nombres carrés et tétraédriques: 1, 2 et 140 (Sierpinski)

 

*      Nombre 4-hyper tétraédriques: somme cumulée des nombres tétraédriques qui sont aussi les coefficients du binôme du type (n, 4) = n(n-1)(n-2)(n-3)/24.

Tous ces nombres figurent dans la cinquième diagonale du triangle de Pascal.

Liste: 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365, 1820, 2380, 3060, 3876, 4845, 5985, 7315, 8855, 10626, 12650, 14950, 17550, 20475, 23751, 27405, …

OEIS A000332

  

Voir Pyramide triangle / Nombre 140

 

 

PROPRIÉTÉS des TÉTRAÉDRIQUES

 

Formule de calcul

 

Tetn = 1/6 n (n + 1) (n + 2)

 

Conséquences

*      Un parallélépipède de longueur n+2, de largeur n+1 et de profondeur n contient 6 tétraèdres.

*      Un nombre tétraédrique étant un nombre entier.

Tout produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6.

 

Table de multiplication

*      Dans la table de  multiplication la somme des diagonales donne les nombres tétraédriques

 

Exemple:

10 = 3 + 4 + 3

 

*      Remarquez la symétrie

Tet4 = 20 = 2 (4 + 6)

        = 2 (1x4 + 2x3)

        = 1x4 + 2x3 + 3x2 + 4x1

Tétra

1

2

3

4

5

 

1

2

3

4

5

1

2

4

6

8

10

4

3

6

9

12

15

10

4

8

12

16

20

20

5

10

15

20

25

Forme générale

*      Cette dernière manière d'écrire ci-dessus est générale.

 

Tetn = n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... (n – 2)3 + (n – 1)2 + n

 

Tet5 = 1x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 + 5x1 = 35

 

 

Conséquence

 

Les tétraédriques sont pairs

sauf 1 sur 5 (ceux qui se terminent par 5)

1 4 10 20 35 56 84 120 165

 

 

 

Triangle de Pascal

 

*      Les nombres triangulaires se trouvent dans la 3e colonne du Triangle de Pascal.
Les nombres tétraédriques sont en 4e colonne.

*      La suivante donne les nombres pentatopes (hyper-tétraèdre).

 

*      Présentation droite du triangle de Pascal et mise en évidence des nombres triangulaire et des nombres tétraédriques:

 

 

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

1

3

6

10

15

21

28

36

 

 

1

4

10

20

35

56

84

 

 

 

1

5

15

35

70

126

 

 

 

 

1

6

21

56

126

 

 

 

 

 

1

7

28

84

 

 

 

 

 

 

1

8

36

 Tétraédriques

 

 

 

 

1

9

Nombre Triangulaires

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tétraédriques palindromes

 

*      Un nombre palindrome est un nombre qui peut se lit aussi à l'envers (de droite à gauche).

*      Un nombre tétraédrique palindrome est un nombre palindrome de forme générale n(n+1)(n+2)/6

 

 

 

123321

4567654

…

 

 

17 x 18 x 19 /6 = 969

 

 

*      n = 336 engendre le plus grand

palindrome tétraèdre connu.

Rang

n

Tn

Chiffres

1

1

1

1

2

2

4

1

3

17

969

3

4

21

1771

4

5

336

6378736

7

 

 

 

Table des nombres pseudo-tétraédriques (TT), somme des triangulaires de i à j

TT24 = Triangulaire 2 + Triangulaire 3 + Triangulaire  4  = 3 + 6 + 10 = 19

 

Valeurs suivantes de TT: 1020, 1024, 1044, 1054, 1055, 1056, 1060, 1084, 1085, 1089, 1091, 1105, 1110, 1120, 1130, 1135, 1136, 1139, 1140, 1154, 1156, 1160, 1165, 1176, 1208, 1210, 1211, 1219, 1225, 1246, 1252, 1254, 1270, 1274, 1295, 1296, 1306, 1310, 1316, 1320, 1326, 1329, 1330, 1331, 1344, 1354, 1369, 1375, 1385, 1396, 1407, 1420, 1444, 1456, 1460, 1464, 1484, 1485, 1489, 1505, 1520, 1521, 1530, 1536, 1539, 1540, 1551, 1569, 1570, 1585, 1595, 1600, 1606, 1620, 1630, 1631, 1651, 1660, 1681, 1684, 1687, 1715, 1736, 1738, 1740, 1751, 1760, 1761, 1764, 1767, 1770, 1771, 1784, 1785, 1786, 1802, 1804, 1845, 1849, 1859, 1883, 1891, 1895, 1904, 1920, 1924, 1936, 1940, 1946, 1956, 1968, 1989, 1999, 2004, 2014, 2020, 2023, 2024, 2025, 2035, 2036, 2040, 2050, 2080, 2109, 2110, 2114, 2116, 2135, 2136, 2145, 2180, 2195, 2209, 2216, 2224, 2236, 2244, 2245, 2265, 2280, 2289, 2290, 2296, 2299, 2300, 2304, 2307, 2314, 2324, 2330, 2341, 2360, 2365, 2380, 2401, 2435, 2452, 2460, 2461, 2470, 2471, 2480, 2485 …

 

 

 

 

 

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DicoNombre

*    Nombre 336

*    Nombre 969

Sites

*    OEIS A000292 – Tetrahedral (or triangular pyramidal) numbers

*    OEIS A027568 – Numbers that are both triangular and tetrahedral.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Tetraedr.htm

 

 

 

 

 

 

 

Solution: les quatre étapes

Tetra1.jpg          Tetra2.jpg

Tetra3.jpg          Tetra4.jpg

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