NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 10/07/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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THÉORÈME DE WILSON

Propriété surprenante concernant

la divisibilité des factorielles.

THÉORÈME DE WILSON
(p – 1)! + 1 est divisible par p pour p premier. Exemples 3 est premier; divisible 3 => (3 – 1)! + 1 = 2 + 1 = 3 = 3 x 1 4 est composé; pas divisible par 4. (4 – 1)! + 1 = 6 + 1 = 7 5 est premier; divisible par 5. (5 – 1)! + 1 = 24 + 1 = 25 = 5 x 5 Test Exemple

Cas du nombre 563 et 563^2

Quel sont les nombres de Wilson qui seraient aussi divisibles par le carré de p? Pour p = 5 W = (5 – 1)! + 1 = 25 = 5 x 5 = 5² x 1 BINGO divisible par 5². Pour p = 7 W = (7 – 1)! + 1 = 721 = 7 x 103 Non divisible par 7². Pour p = 11 W = (11 – 1)! + 1 = 362880 = 11 x 329891 Non divisible par 11². Pour p = 13 W = (13 – 1)! + 1 = 479001600 = 13 x 36846277 = 13² x 2834329 BINGO divisible par 13². Pour p = 17 à 557 Aucun divisible par p². Pour p = 563 W = (563 – 1)! + 1 = 0,1128062103 10^1304 = 653 x 0,2003662705 10^1301 = 653² x 0,3558903560 10^1298 BINGO divisible par 563². Ensuite Aucun cas jusqu'à au moins 200 000. Les nombres de Wilson divisibles par le carré de p sont très rares. Aucun autre jusqu'à 20 000 milliards.

Nombre premier de Wilson		haut
Nombre premier p tel p² divise (p – 1)! + 1.	Seuls nombres premiers de Wilson connus : 5, 13, et 563. On conjecture pourtant qu'ils sont en nombre infini. le prochain est supérieur à 2 × 10^13

Suite	Théorème de Wilson Factorielle
Voir	Calculs – Index Divisibilité – Index Petit théorème de Fermat
DicoNombre	Nombre 563 Nombre 3 367
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