NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 07/02/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Formule de Binet et Fibonacci généralisés		Fraction 1/89 et polynôme générateur
	Fibonacci et fractales
		Sommaire de cette page >>> Somme >>> Résumé des propriétés >>> Triangle de Fibonacci >>> Cumul >>> Addition magique >>> Divisibilité par 9 >>> Divisibilité par 11 >>> Récapitulatif divisibilité >>> Premiers entre eux >>> Carrés >>> Somme de deux carrés – Spirale >>> Curiosités numériques

SUITE DE FIBONACCI

Propriétés

Revue des principales propriétés des nombres de Fibonacci.

SOMME – Selon la définition
Chaque terme est la somme des deux précédents. Chaque terme est la différence entre ses deux voisins.	Fn+1 = Fn + Fn–1 Fn = Fn+1 – Fn–1

Devinette

Six nombres dont la somme est 13. À partir du troisième, chacun est la somme des deux précédents. Le dernier est le quadruple du premier. Valeur des deux premiers nombres ?

Solution

Résumé des principales propriétés
Rapport: le nombre d'or
Calcul direct d'un nombre de Fibonacci (formule de Binet) >>>l
Somme	Fi + j = Fi+1 . Fj + Fi. Fj–1
Cumul	Fn+2 = F1 + F2 +...+ Fn + 1
Un sur deux	Fn – 1 = Fn-1 + Fn-3 + Fn-5 + … F3 ou 2
Cumul pondéré	nFn+2 – Fn+3 = F1 + 2F2 +...+ nFn – 2
Carré	F12 = 144 = 12² Seul Fibonacci carré, hors 1.

Divisibilité >>>	Si n divise m, alors Fn divise Fm
Divisibilité par 11 >>>
Divisibilité par 29 >>>	Fn + Fn+1 + … + Fn+13
Trois Fibonacci consécutifs sont premier entre eux >>>	(Fn-1, Fn) = (Fn-1, Fn+1) = (Fn, Fn+1) = 1
Le PGCD de deux Fibonacci est égal au Fibonacci d'indice égal à ce PGCD >>>	(Fn, Fm) = F(n, m)
Quatre Fibonacci consécutifs forment un triplet de Pythagore	Fn+2 . Fn+3 – Fn . Fn+1 2 . Fn+1 . Fn+2 Fn . Fn+3

Démonstration Fibonacci et triplets de Pythagore

Les quatre nombres successifs de Fibonacci: x, y, x + y, x + 2y

Vérification que a² = b² + c²:

a = (x + y) (x + 2y) – xy => a² = x⁴ + 4x³y + 8x²y² + 8xy³ + 4y⁴

b = 2y (x + y) => b² = 4x²y² + 8xy³ + 4y⁴

c = x (x + 2y) => c² = x⁴ + 4x³y + 4x²y²

Fibonacci entre eux	Fn – Fn-1 – Fn-2 = 0
Carrés entre eux	Fn^2 – 2Fn-1^2 – 2Fn-2^2 + Fn-3^2 = 0
Cubes entre eux	Fn^3 – 3Fn-1^3 – 6Fn-2^3 + 3Fn-3^3 + Fn-4 = 0
Généralisation Puissances entre elles Triangle de Fibonacci =>	Table Elle donne les coefficients (dits de de Fibonacci) des expressions du type de celles-ci-dessus. Calcul Factorielle de Fibonacci: n!F = 1 x 1 x 2 x 3 x 5 x 8 x … x Fn Exemple: 5!F = 2 x 3 x 5 = 30 6!F = 2 x 3 x 5 x 8 = 240 Les suivantes: 3120, 65520, 227680, 122522400, 10904493600, … Coefficients du triangle Voir similitude avec les Coefficients du binôme

Carré et produit	Fn^2 = Fn–1. Fn+1 + (–1)^n–1 Voir Démonstration
Somme de carrés	F1^2 + F2^2 +…+ Fn^2 = Fn . Fn+1
Carré généralisé (G est la suite de Fibonacci dont les valeurs de départ ne sont pas précisées)	Gn^2 = Gn-1 . Gn–2+ e (G2^2 – G1^2 – G1G2) ( avec e = 1 ou -1)
Somme de carrés	Fn^2 + Fn+1^2 = F2n+1
Différence de carrés	Fn+2^2 – Fn+1^2 = Fn . Fn+3
Lien avec la suite de Lucas	Ln = Fn-1 + Fn+1 Ln = F2n / Fn
Premier On ne sait s'il existe une infinité de Fibonacci premiers. PGCD = Plus grand commun diviseur	Fn et Fn+1 sont premiers entre eux. PGCD ( Fi , Fj ) = FPGCD (i, j) Réciproque non valable. Le plus petit contre-exemple est F19 = 4181 = 37 x 113.
Divisibilité Veut dire: quelque soit n, il existe …	Si j divise i alors Fj divise Fi

Fractions de Fibonacci

Voir Sommation des nombres de Fibonacci

Fibonacci et nombre d'or	Exemple avec F6 = 8 et F7 = 13
Démonstration avec la formule de Binet, en posant Le membre de gauche devient (en multipliant les termes en puissance n – 1 pour le passer en puissance n) En développant En calculant les trois termes en A Qui vaut En calculant les trois termes en B Qui vaut Bilan

CUMUL
La somme des n premiers nombres de Fibonacci, plus 1, donne le terme de rang n+2.	Fn+2 = F1 + F2 +...+ Fn + 1
Voir Addition magique
La somme de 2 en 2 des nombres de Fibonacci, en conservant les 2 premiers, donne le nombre de rang suivant.	F2n+1 = F1 + F2 + F4 + F6 ... + F2n

ADDITION MAGIQUE
Construire une suite de Fibonacci avec origines quelconques (sur l'exemple a = 3 et b = 8) La somme de tous les nombres jusqu’à n (cumul) est égale au nombre de rang n + 2 diminué du 2^e nombre Exemple 3 + 8 + 11 = 22 = 30 – 8

Voir Somme magique (tour de magie)

DIVISIBILITÉ par 9
Un nombre de Fibonacci est divisible par 9, si et seulement si N et Fn sont pairs (pour F > 9).

DIVISIBILITÉ par 11
Un nombre de Fibonacci est égal à 1/11^e de la différence entre les deux nombres de Fibonacci éloignés de cinq rangs de part et d'autre. Exemple F10 = 55 F15 – F5 = 610 – 5 = 605 = 11 x 55 Tableau Le tableau commence par deux nombres quelconques n et m FK = n FK+1 = m FK+2 = n + m FK+3 = n + 2 Etc. Les deux colonnes de droites montrent la différence entre deux Fibonacci quelconques séparés de dix rangs. Tous les nombres dans la parie rose sont divisibles par 11.	pour n>10 Fk+10 – Fk = 11. Fk+5
La somme de dix nombres successifs est égale à 11 fois le septième (k+6) terme. En prenant deux nombres de Fibonacci a et b et leur successeurs jusqu'au rang 9, la somme des termes en a donne 55a et celle des termes en b donne 88b, deux valeurs divisibles par 11. S = 55a + 88 b = 11 (5a + 8b) Notez que la valeur entre parenthèse est un nombre de Fibonacci: S = 11 Fk+6	Fk + Fk+1 +...+ Fk+9 = 11. Fk+6

Récapitulatif de la divisibilité des sommes de k Fibonacci successifs

Ex: la somme pour k = 14 est divisible par 29

1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144+233+377 = 986 = 29 x 34

PREMIERS entre eux
Deux termes voisins sont premiers entre eux. C'est vrai également pour les trois paires formées avec trois Fibonacci consécutifs. Démonstration Démonstration par récurrence. Les deux premiers nombres de Fibonacci sont étrangers. Supposons que ce soit vrai pour tout couple de la suite de Fibonacci. Construction des nombres de Fibonacci. En notant cette expression comme une division: quotient et reste. Même chose pour la suivante. Évaluons les PGCD de ces deux termes à l'aide de l'algorithme d'Euclide. En descendant jusqu'au premier nombre de Fibonacci.	Fn et Fn+1 sont premiers entre eux. F0 = 0 F1 = 1 PGCD (F0, F1) = 1 PGCD (Fn , Fn+1) = 1 Hypothèse Fn+1 = Fn + Fn-1 On prend la précaution de noter que la suite est croissante. Fn+1 = 1x Fn + Fn-1 Fn = 1x Fn-1 + Fn-2 En couleur, les termes qui se propagent dans l'algorithme d'Euclide PGCD (Fn , Fn+1) = PGCD (Fn-1 , Fn) PGCD (Fn , Fn+1) = PGCD (Fn-1 , Fn) = PGCD (Fn-2 , Fn-1) = … = PGCD (F0, F1) = 1 La relation supposée est vrai pour n+1, elle est vraie pour tout n.
Le PGCD de deux nombres de rang i et j est égal au nombre de Fibonacci de rang PGCD de i et j.	PGCD ( Fi , Fj ) = FPGCD (i, j) Exemple: F6 = 8 et F9 = 34 PGCD (6,9) = 3 et F3 = 2 PGCD (8, 34) = 2

CARRÉS avec trois consécutifs
Le carré d'un nombre de Fibonacci est égal au produit des deux voisins à 1 près.	Relation de Simson Fn^2 = Fn–1x Fn+1 + (–1)^n–1
Autrement dit: pour trois termes consécutifs, le produit des extrêmes est égal au carré du terme central à une unité près. Le sens alterne tout le long de la suite.

Voir Paradoxe de Lewis Carroll

SOMME de deux CARRÉS
La somme des carrés de deux nombres de Fibonacci consécutifs donne un autre nombre de Fibonacci.	Fn ² + Fn+1 ² = F2n+1 Note: n + n + 1 = 2n + 1
Exemple: 5² + 8² = 25 + 64 = 89 qui est le Fibonacci de rang 2 x 5 + 1 = 11.
Métaphore de l'escargot qui agrandit sa coquille au fur et à mesure de sa croissance: Carré unité, puis un autre carré unité. Résolution: voir plus grand ! Le carré suivant aura une longueur égale à la somme des deux longueurs précédentes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…
Spirale d'or Spirale logarithmique dont le facteur de croissance est le nombre d'or. Elle est auto-similaire (fractale).		Spirale de Fibonacci Construite par quarts de cercle tangents aux côtés des carrés dont les côtés sont les nombres successifs de Fibonacci. Bonne approximation de la spirale d'or.

Voir Spirale logarithmique / spirale du pentagone

Présentation de la spirale de Fibonacci avec quadrillage

CURIOSITÉS NUMÉRIQUES
/		Aucun Fibonacci n'est le produit de deux Fibonacci.
/		Aucun Fibonacci n'est cube (hormis 1) Testé jusqu'à 10 000.
F10	55	Le plus petit Fibonacci repdigit. Le seul jusqu'à au moins 1 000 000 (mon test).
F12	144	Seul Fibonacci carré (hormis 1) connu. Fibonacci égal au carré de son indice.
F12 F 13 F14	144 233 377	Curiosité de trois presque repdigits consécutifs.
F22	17 711	Le plus grand Fibonacci connu formé de chiffres impairs seulement.
F31	1 346 269	Le plus petit Fibonacci en même temps nombre de Smith.
F74	1 304 969 544 928 657	Le plus petit Fibonacci contenant tous les chiffres.
	1/89 = 0, 012359550561797…	Somme des chiffres des nombres de Fibonacci successifs selon leur rang..

Devinette – Solution

Énigme

Six nombres dont la somme est 13. À partir du troisième, chacun est la somme des deux précédents. Le dernier est le quadruple du premier. Valeur des deux premiers nombres ?

Solution

On écrit les six nombres en fonction de leurs relations (bleu).

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