NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

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INDEX

 

Type de nombres

 

Nombres entiers

Entier en polynôme

 

Sommaire de cette page

>>> Formes polynomiales donnant un entier

>>> Démonstration par induction

>>> Autres formes polynomiales donnant un entier

 

Voir Nombres entiers

 

 

 

Formes polynomiales donnant un entier

 

Affirmation

Montrez que l'expression suivante est un nombre entier:

 

 

N = n^5/5 + n^3/3 + 7n/15

 

Réduction au même dénominateur

 

Exemples

Voir Divisibilité des polynômes

 

 

Démonstration par induction

Pour k = 1, c'est vrai

n5

+

n3

+

7n

=

1

+

1

+

7

= 1

5

3

15

5

3

15

Supposons la formule vraie pour k,

L'est-elle pour k + 1?

 

m =

k5

+

k3

+

7k

5

3

15

 

m' =

(k+1)5

+

(k+1)3

+

7(k+1)

5

3

15

 

15 m' = 3(k+1)5 + 5(k+1)3 + 7(k+1)

Rappel du développement du binôme en utilisant le triangle de Pascal

2

=>

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

 

3

=>

 

 

1

 

3

 

3

 

1

 

 

4

=>

 

1

 

4

 

6

 

4

 

1

 

5

=>

1

 

5

 

10

 

10

 

5

 

1

Développons 15m'

15m' =

3 k5

+ 3 x 5k4

+ 3 x 10k3

+3 x 10k2

+ 3 x 5k

+ 3 x 1

 

 

+ 5 x k3

+ 5 x 3k2

+ 5 x 3k

+ 5 x 1

 

 

 

 

 + 7k

+7

= 3 k5

+ 15k4

+ 35k3

+45k2

+ 37k

+ 15

En divisant par 15 et en ordonnant pour mettre en évidence m.

En fait m est la somme de m qui est supposé être un entier, et d'un polynôme en k qui lui aussi donne un entier.

Alors la somme de ces deux termes entiers est un entier

CQFD.

m' =

k5

+ k4

30k3

+

5k3

+ 3k2 +

30k

+

7k

+ 1

5

15

15

15

15

 

m' =

k5

+

k3

+

7k

+ k4 + 2k3 + 3k2 + 2k + 1

5

3

15

 

m' = m +  k4 + 2k3 + 3k2 + 2k + 1

 

 

Autres formes polynomiales donnant un entier

On montrerait de la même manière que les expressions suivantes donnent des nombres entiers:

 

 

n7

+

n5

+

n3

+

n2

37n

7

5

3

2

210

 

n11

+

n5

+

n3

+

62n

11

5

3

165

 

 

 

 

Suite

*       Démonstration par récurrence

Voir

*       Algèbre – Les bases

*       Type de nombres

*       Inverses et formes polynomiales

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