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En bref
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DIVISIBILITÉ p Critères
de divisibilité et formes polynomiales divisibles. Rappel: la Racine numérique
(RN) d'un nombre est la somme de ses chiffres, répétée jusqu'à obtenir un
nombre à un seul chiffre. Ex: 1234
=> 1 + 2 + 3 + 4 = 15 et 15 => 1
+ 5 = 6 Souvenez-vous: un nombre
(n) divisé par trois donne un reste de 0, 1 ou 2; ou en symétrisant: –1, 0 ou
+1. On note n = {3k – 1;
3k; 3k +1}. Ce qui veut dire que tout nombre peut s'écrire: 3k – 1 ou
3k ou 3k + 1. Rien d'autre! |
Devinette: deux nombres divisibles par 3
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Prenez deux nombres (a et b) au hasard, leur somme (s) et leur différence (d).
Alors, l'un de ces quatre nombres (a, b, s, d), au moins, est divisible par
3. 3
La
barre verticale signifie divise. On
lit: trois divise l'un des nombres a, b, s ou d. Démonstration Si l'un des deux nombres (a ou b) est
divisible par 3, c'est bon. Si les deux ne sont pas divisibles par 3, alors
voyons la somme et la différence de tels nombres dont le reste de la division
par 3 est soit 1 soit -1:
Les cas marqués en jaune, en quinconce,
prouve la divisibilité par 3 dans tous les cas. Exemples: 7 + 5 = 12 = 3 x 4; 8 – 5 = 3; 10 + 5 = 15
= 3 x 5; etc. |
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Plancher (n/3) = (n – n mod 3)
/ 3
Note: cette propriété est valable pour toute division en adaptant l'argument
du modulo. Démonstration selon la valeur de n mod 3 |
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n mod 3 = 0 |
n mod 3 = 1 |
n mod 3 = 2 |
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n = 3q |
n = 3q + 1 |
n = 3q + 2 |
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n/3 = q |
(n – 1) / 3 = q |
(n – 2) / 3 = q |
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Anglais pour plancher: floor
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Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses
chiffres est divisible par 3. Voir Démonstration / Divisibilité
par 9 Si un nombre est divisible par 3 toute
permutation de ses chiffres est divisible par 3. En effet,
quelle que la position des chiffres, la somme reste identique. |
123 => RN
= 6 => oui, divisible par 3 124 => RN
= 7 => non divisible par 3 12345 => 15 => 6 => oui 123456789 => 45 => 9 => oui 111 => 3
=> oui 777 => 21
=> 3 => oui 100000010000001
=> 3 => oui 123 = 3
x 41 132 = 3
x 44 213 = 3
x 71 231 = 3
x 77 312 = 3 x
104 321 = 3 x
107 |
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Voir Somme / Permutation/ Semi-pannumériques
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Divisibilité d'un nombre à deux chiffes Un nombre N peut s'écrire avec ses dizaines
(d) et ses unités (u), comme indiqué. |
N = 10d + u N = 9d + d + u Par exemple: 25 = 2 x 10 + 5; ici d =
2 et u = 5. |
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Pour que N
soit divisible par 3, il faut que N/3 soit un nombre
entier K. |
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Seule
possibilité pour que K soit entier: |
d + u divisible par 3 |
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Divisibilité d'un nombre à trois chiffes Un nombre N
peut s'écrire avec ses centaines (c),
dizaines (d) et ses unités (u), comme indiqué. |
N = 100c + 10d + u N = 99c + 9d + c + d + u |
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Pour que N
soit divisible par 3, il faut que N/3 soit un nombre entier K. |
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Seule
possibilité: |
c + d + u divisible par 3 |
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Divisibilité d'un nombre à n chiffres Toutes les puissances
de 10 sont divisible par 3 à un près. Comme pour
deux ou trois chiffres, on retrouvera |
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Qui conduit
à la généralisation |
N est divisible par 3 si
la somme des chiffres est divisible par 3. |
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Divisibilité par 9 Observez que
l'on peut diviser par 9 |
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Conclusion
immédiate: |
N est divisible par 9 si
la somme des chiffres est divisible par 9. |
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Méthode par modulo pour trois chiffres On indique mod pour signifier que l'on ne
s'intéresse qu'aux restes de la division par 3. Par exemple 10 |
N = 99c + 9d + c + d + u
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Un nombre est
divisible par 3 si son modulo 3 est nul. |
Qui se lit: 3 divise N
si (c+d+u) est congru à 0 modulo 3. |
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Méthode générale avec les modulos |
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Or: |
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On peut
écrire: |
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Multiple de
9 (et a fortiori de 3) si: |
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Cad. |
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Voir Divisibilité
par 9
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Ce monsieur passe à la caisse avec:
Le monsieur signale poliment à la personne de la caisse qu'il
doit y avoir une erreur. Comment le sait-il? |
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3 3 3 La barre verticale se
lit: "divise". Le produit de trois nombres successifs est divisible par
3. Le
cube de n diminué de n est divisible par 3. En fait divisible par 6 >>> Explication: parmi trois nombres successifs, il en est toujours un qui est
divisible par 3. De sorte que cette propriété est vraie pour trois nombres successifs ou plus. Les
permutations des chiffres sont également divisibles par 3. Le
carré de n diminué de 1 est
divisible par 3 si n ne l'est pas. |
1 x 2 x 3
= 3 x 2 2 x 3 x 4 = 3
x 6 3 x 4 x 5 = 3 x 20 4 x 5 x 6
= 3 x 40 5 x 6
x 7 = 3 x 70 33 – 3 = 27 – 3 =
24 = 3 x 8 43 – 4 = 64 – 4 =
60 = 3 x 20 53 – 5 = 125 – 5 = 120 = 3 x 40 11 x 12 x 13 x 14 = 3 x 8008 = 24 024 6 x 7 x 8 = 336 = 3 x 112
633 = 3 x 211 6 => 6² – 1 = 35 7 => 7² – 1 = 48 = 3 x 16 8 => 8² – 1 = 63 = 3 x 21 9 => 9² – 1 = 80 Explication: (3k +
0)² = 9k² + 0 (3k +
1)² = 9k² + 6k + 1 (3k –
1)² = 9k² – 6k + 1 |
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La
concaténation des chiffres de trois nombres successifs est divisible par 3. Soit un des nombres divisible par 3; ses deux voisins se
compensent: l'un est divisible par 3 à -1 près et l'autre à +1 près.
L'ensemble est divisible par 3.
Si
le nombre central est divisible par 3, les nombres formés sont également
divisibles par 9. En effet, si
n central divisible par 9; ses deux voisins s'annihilent dans la division par
9. |
123 = 3 x 41 234 = 3 x 78 345 = 3 x 115 RN(n) = 3k RN(n-1) = 3k' – 1 RN(n+1) = 3k" + 1 RN (de tous) = 3 (k+k'+k") 232 425 = 3 x 77 475 222 345 = 3 x 74 115 543 222 = 3 x 181 074 997 998 999 = 3 x 332 666
333 995 996 997 = 9 x 110 666
333 RN(n) = 0 RN(n-1) = – 1
RN(n+1) = + 1 RN (de tous) = 0 |
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Voir Carré
/ Cube / Concaténation / Divisibilité par 9 / Calcul mental
Combien de nombres divisibles par 3 ?
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Avec les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5}
combien peut-on former de nombres à cinq chiffres divisibles par 3? |
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Parmi cinq
nombres quelconques, pas nécessairement distincts, il en existe toujours
trois dont la somme est divisible par 3 (S3). Exemple (ici, trois sommes possibles)
Parmi quatre
nombres, la probabilité d'obtenir S3 divisible par 3 est: 70,3%. Et pour
trois nombres, elle est de 34,4%. |
Sachant que le reste de la division par 3 est 0,
1 ou 2, on déduit: Cas 1 Si trois restes parmi les cinq sont égaux, leur
somme est divisible par 3. Exemple avec le reste 2: 2 + 5 + 11 = 18,
divisible par 3. Cas 2 Dans le cas contraire, les
seuls combinaisons de restes possibles sont: (0, 0, 1, 1, 2) ou (0, 0,
1, 2, 2) ou (0, 1, 1, 2, 2), sinon, il y en aurait trois égaux. En choisissant les nombres dont les restes sont
(0, 1, 2), la somme sera divisible par 3. Exemple: 3 + 4 + 5 = 12, divisible
par 3. |
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Généralisation Démonstration due à Erdös et Ziv –
1961 |
Théorème Parmi 2n – 1
nombre positifs, on peut toujours en choisir n tel
que leur somme est divisible par n. |
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Voir Congruence
(mod)
Cycle en 153
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Tous les nombres divisibles par
3 ont un cycle-cube qui se termine
par 153. Le cycle-cube consiste à faire la somme
des cubes des chiffres du nombre et à recommencer sur la somme obtenue. Exemple:
93 = 729 => 73 + 23 + 93 =
1080 => 13 + 83 = 513 => 53 + 13
+ 33 = 153 |
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3 si A et B non multiple
de 3 La différence de deux
carrés est divisible par 3 quand les deux nombres ne le sont pas et quand les
deux le sont. |
4² – 2² = 16 –
4 = 12 = 3 x 4 4² – 3² = 16 –
9 = 7 5² – 3² = 25 –
9 = 16 6² – 3² = 36 –
9 = 27 = 3 x 9 7² – 3² = 49 –
9 = 40 7² – 4² = 49 – 16 = 33 = 3 x 11 |
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Explication: tableau des 3
x 3 cas possibles:
Les quatre cases d'angle correspondent
à deux nombres non divisibles par 3. |
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3 Une telle expression est
toujours divisible par 3. |
En multipliant A² – B² par AB, nous
transformons, les 1 des cases en croix en 3, ce qui rend toutes ces cases
divisibles par 3. 4 x 2 (16 – 4) = 8 x 12 = 96 = 3 x 32 7 x 5 (49 – 25) = 35 x 24 = 3 x 8 x 35 |
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Ces expressions sont
premières pour le seul cas où p = 3.
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Un nombre n
à trois chiffres dont ceux-ci sont en progression arithmétique,
alors n est divisible par 3. |
n
= 100a + 10b + c = 100a + 10(a + r) + (a + 2r) = 111a + 12r = 3 (37a +
4r) |
a = 4 & r = 2 => n = 468 a = 5 & r = 2 => n = 579 Valable même si les retenues interviennent: a = 6 & r = 2 => n = 690 |
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Les seuls 16 nombres à
trois chiffres à progression arithmétique |
[123, 234, 345, 456, 567, 678, 789] [135, 246, 357, 468, 579] [147, 258, 369] [159] |
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Généralisation à de plus grands nombres. La relation est la même si le chiffre a est remplacé par un nombre A. |
n = 100A + 10(A + r) + (a + 2r) = 3
(37A + 4r) Autre façon de voir: La somme des chiffres sera égale à: A+ A
+ r + A + 2r = 3A + 3r Elle est divisible par 3, le nombre l'est
également. |
A
= 7 & r = 3 => n
= 100x7 + 10x10 + 13 = 813 A
= 7 & r = 4 => n
= 100x7 + 10x11 + 15 = 825 A = 45 & r = 12 => n = 100x45 + 10x57 + 69 = 5 139 |
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Une puissance de 2 accolée (concaténée) à la
suivante forme un nombre divisible par 3. La même
propriété de divisibilité par trois se retrouve aussi pour:
Voir Brève de math
491 |
Propriété
Exemple: 25
= 32 et 26 = 64. Le nombre 3264 est divisible par 3. Vrai aussi en
permutant: 6432 est divisible par 3. Démonstration Si la racine numérique
de 2n est R, la racine numérique de 2n+1 = 2 x 2n
est 2 x R. La racine numérique de
la concaténation est donc 3R. Ce qui montre que le tout st divisible par 3. Propriété
Exemple: 83 = 512 et 84 = 4096; le
nombre 5124096 est divisible par 9. |
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Démo rapide Sachant que 3 divise n3 – n (cas de trois nombres
successifs), on peut déduire => |
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Démo par induction |
Pour n = 0: n3
+ 2n = 0 qui est divisible par3 Confirmation avec n =
1: 13 + 2x1 = 3 qui est divisible par 3 Re-confirmation avec n = 2: 23 + 2x2 = 12 qui est
divisible par 3 |
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Hypothèse: il est vrai
que (n3 + 2n) est divisible par 3. |
Expression pour n = k +
1: (k + 1)3 + 2
(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 2k + 2 = (k3 + 2k) +
3(k² + k + 1) Or, selon l'hypothèse (n3
+ 2n) est divisible par 3. Le second terme, avec le
facteur 3, est divisible par 3. Donc, toute l'expression
est divisible par 3. Vraie pour 0 et vraie
pour n+1 lorsque vraie pour n, alors par induction,
vraie tout le temps ∎ |
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Voir Brève de Math
492
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5n
– 2n est divisible par 3 pour tout nombre non-négatif |
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50 – 20 = 3 Vrai. |
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5k – 2k
sont divisibles par 3. |
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Voir Démonstration
par induction
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3 Démonstration |
1 (2x 1 + 7)
= 9 = 3 x 3 |
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Validation
du point de départ |
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f(1) |
= 2 + 7 |
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Validation
de la récurrence |
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f(n) |
= 3 .k |
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f(n+1) |
= (n+1) ( 2(n+1)² + 7 ) = (n+1) (2n² + 4n + 9) = n (2n² + 4n + 9) + (2n² + 4n + 9) = 2n3 + 4n² + 9n
+ 2n² + 4n + 9 = 2n3 + 6n² + 13n + 9 |
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f(n+1)
– f(n) |
= 2n3 + 6n² + 13n + 9 – 2n3 –
7n + 9 = 6n² + 6n + 9 = 3 (2n² + 2n + 3) |
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f(n)
f(n+1) |
= 3 . k = 3 . h |
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Conclusion |
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Voir Démonstration
par induction
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3 avec
n> 0 |
n = 1 => 22 + 5 = 9 = 3 x 3 n = 2 => 24 + 5 =16 + 5 = 21 = 3 x 7 n = 3 => 28 + 5 = 256 + 5 = 261 = 3 x
87 n = 4 => 216 + 5 = 65 536 + 5 = 65
541 = 3 x 21 47 |
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Rappel |
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Calcul |
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Modulo 3 |
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Expression complète mod 3 |
(1
+5) |
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Généralisation |
5 peut être remplacé par tout nombre de
la forme 3k + 2. Notamment 2. |
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Voir Nombres de Fermat
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La somme de ses achats s'écrit: 2 x 6 + 3 x (?) + 4 x 15 Chacun des termes de la somme est divisible
par 3; la somme doit l'être. Dans ce cas, la somme des chiffres doit aussi
être divisible par 3. Or 82 euros donne 8 + 2 = 10 non divisible par 3. Donc,
erreur! |
Combien de nombres divisibles par 3 ?
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Avec les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5}
combien peut-on former de nombres à cinq chiffres divisibles par 3? Tout d'abord constatons que la somme de
ces chiffres et égale à 15, nombre divisible par 3. Les seuls groupes de cinq nombres dont
la somme est divisible par 3 sont: {1, 2, 3, 4, 5} et {0, 1, 2, 4, 5}. En permutant les cinq chiffres de
{1, 2, 3, 4, 5}, il est possible de former 5!
= 120 nombres tous divisibles par 3. Avec les cinq chiffres {0, 1, 2, 4, 5}, il est possible de former
5! = 120 nombres tous divisibles par 3, sauf ceux commençant par 0, soit 4! =
24. (il y a effectivement 4! nombres qui commencent par chacun des cinq
chiffres, ce qui donne 5 x 4! = 5! au total) Bilan: 120 + (120 – 24) = 216 nombres
divisibles par 3. |
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Affirmation Tout les nombres pairs >38 sont la somme de deux
nombres composés impairs. |
Exemples 40 = 1 + 39 = 15 + 25 42 = 9 + 33 = 15 + 27 = 21 + 21 |
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Trois
cas possibles n = 2m avec
m = 3k ou 3k +1 ou 3k + 2 Oui, selon
que le reste de la division par 3 est 0, 1 ou 2. Analysons ces trois cas. |
42 = 2 x 21 = 2 x (3 x 7 + 0) 44 = 2 x 22 = 2 x (3 x 7 + 1) 46 = 2 x 23 = 2 x (3 x 7 + 2) |
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Cas
m = 3k => n = 6k On cherche à
trouver une relation équivalente avec une somme de deux termes dont chacun
est impair composé. On montre
que n = 12 ne peut pas être somme de deux composés impairs. |
Une somme de deux termes impairs: n = 6k = 3(2k – 1) + 3 Le premier terme est le produit de deux nombres
impairs (3 et 2k – 1), il est impair et composé. Le second est bien impair, mais il est premier. Poursuivons la recherche: n = 6k = 3(2k – 2) + 6 Pas de chance, 6 est pair. n = 6k = 3(2k – 3) + 9 Cette fois 9 est composé impair, c'est bon ! Quant au premier terme, il ne doit ni être
négatif (k>1), ni premier (k différent de 2). Soit k > 2 et donc n >
12. Avec 1 qui est impair sans être premier, on
aurait 12 = 1 + 11 à rejeter car 11 est premier. |
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Cas
m = 3k + 1 => n = 6k + 2 On cherche à
trouver une relation équivalente. On montre
que n = 38 ne peut pas être somme de deux composés impairs. |
n = 6k + 2 = 3(2k – 1) + 5 On a bien deux termes mais 5 est premier. On cherche les valeurs telles que le5 devienne un nombre composé impair. Il faut
aller jusqu'à: n = 6k + 2 = 3(2k – 11) + 35 Alors, pour éviter que le premier terme soit
négatif ou premier, k > 6 et n > 38. Avec 1 qui est impair sans être premier, on
aurait 38 = 1 + 37 à rejeter car 37 est premier. |
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Cas
m = 3k + 2 => n = 6k + 4 On cherche à
trouver une relation équivalente. On montre
que n = 38 ne peut pas être somme de deux composés impairs. |
n = 6k + 4 = 3(2k – 1) + 7 On a bien deux termes mais 7 est premier. Les valeurs qui conviennent: n = 6k + 4 = 3(2k – 7) + 25 Alors, pour éviter le cas du premier terme égal à
3, il faut rejeter k = 4 et n = 28. Avec 1 qui est impair sans être premier, on
aurait 28 = 1 + 27, possible car 27 est composé. |
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Bilan Après le nombre 38, tous les nombres pairs sont
somme de deux nombres composés impairs |
Il est toujours possible de trouver une partition
d'un nombre pair en deux nombres composés impairs sauf pour n > 12, 28,
38, au final n > 38. Liste des nombres pairs somme de deux impairs composés
jusqu'à 42
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Anglais: What is the maximum even number that cannot be
expressed as sum of two composite odd numbers?
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Suite |
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Voir |
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DicoNombre |
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