Carrés curiosités

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 31/12/2023 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Forme en 5, 5k–1 ou 5 k+1 >>> Premier² = 24k + 1 >>> Forme des carrés en 2, 3 et 4 >>> Forme des carrés en 5 >>> Forme des carrés en 8 >>> Forme des carrés en 24 >>> Forme des carrés des nombres premiers >>> Somme des chiffres du carré = carré >>> Chiffres dans les carrés >>> Fraction de carrés (curiosité) >>> Carrés curieux >>> Somme de deux et de trois carrés consécutifs >>> Inverse des carrés >>> Carré et cube à la fois >>> Deux entre carré et cube

FORMES DES CARRÉS

Caractérisation

Divisibilité par k

Quelques propriétés et curiosités avec les carrés des nombres.

Tout carré n² ou n² – 1 est divisible par 3.

Tout carré n² ou n² – 1 est divisible par 4.

Tout carré n² ou n² – 1 ou n² + 1 est divisible par 5. >>>

Le produit ou le quotient de deux carrés est un carré (entier ou fraction).

Tout nombre carré pair est la somme de quatre carrés identiques; impair, somme d'au plus trois carrés différents. >>>

Tout carré de nombre premier, à partir de 5, est une multiple de 24 plus 1. >>>

Magie des nombres

111 111 111² = 123 456 78 9 87 654 321

Relation entre le carré d'un nombre et trois factorielles successives

Voir Repunit / Pannumérique / Pépites

Devinette

Montrer qu'il n'existe aucun couple (x, y)

tel que x² + 4y et y² + 4x soient des carrés.

Solution

FORME en 5, 5+1 ou 5–1

Un nombre au carré est un multiple de 5 ou un voisin.

Démonstration

On développe le carré de chaque cas de division par 5.

(5k)²	= 25k
(5k+1)²	= 5k (5k+2) + 1
(5k+2)²	= 5k (5k+4) + 4
(5k+3)²	= 5 (k+1) (5k+1) + 4
(5k+4)²	= 5 (k+1) (5k+3) + 1

Chaque expression conduit à un nombre de la forme:

Le chiffre des unités d'un carré sont autour du 0 eu du 5:
(9, 0, 1) ou (4, 5, 6).

Les nombres carrés sont sur la colonne des multiples de 5 ou juste voisins

Voir Brève de maths 476 / Nombre 5

Premier² = 24k + 1
Un nombre premier au carré, sauf 2 et 5, est un multiple de 24 plus 1.
Démonstration Un nombre premier est de la forme 6k1 Son carré Si k est pair, alors 3k² est pair et 3k² + 1 est impair. Si k est impair, alors 3k² est impair et 3k² + 1 est pair. Idem avec les igne moins. Dans les deux, l'un des deux est pair. P² – 1 est divisible par 12 et par 2; donc par 24.

Voir Divisibilité par 24 / Séquence en 24 / Nombre 24

Carrés en 2n² ± 1

FORME en 2, 3 et en 4

Un nombre au carré ne change pas de parité.

Exemples: 4² = 16; 5² = 25

Explications: Pair: (2k)² = 4k², divisible par 2.

Impair: (2k+1)² = (4k² + 4k) + 1 = 4k(k + 1) + 1, reste un.

Tous les carrés sont de la forme 3k ou 3k + 1.

Exemples: 3² = 15 = 3 x 5; 4² = 16= 3 x 5 + 1; 5² = 25 = 3 x 8 + 1

Explications: Avec n = 3h => n² = 9h² = 3 x 3h²

Avec n = (3h – 1) => (3h – 1)² = 9h² – 6h + 1 = 3h (3h – 6) + 1

Avec n = (3h + 1) => (3h + 1)² = 9h² + 6h + 1 = 3h (3h + 6) + 1

Tous les carrés sont de la forme 4k ou 4k + 1.

Exemples: 4² = 16 = 4 x 4; 5² = 25 = 4 x 6 + 1;

6² = 36 = 4 x 9; 7² = 49 = 4 x 12 + 1

Explications: Avec n = 4h => n² = 16h² = 4 x 4h²

Avec n = (4h – 2) => (4h – 2)² = 16h² – 16h + 4 = 4 (4h² – 4h + 1)

Avec n = (4h – 1) => (4h – 1)² = 16h² – 8h + 1 = 4 (4h² – 2h) + 1

Avec n = (4h + 1) => (4h + 1)² = 16h² + 8h + 1 = 4 (4h² + 2h) + 1

Voir Identités remarquables / Divisibilité par 3

FORME en 5
Tous les carrés sont des multiples de 5 ou des multiples de 5 1 Exemples Démonstration
Soit la division de n par 5	n = 5q + r
Au carré	n² = 25q² + 10qr + r²	(Identité remarquable)
	n² = 5 (5q² + 2qr) + r²
Prenons tous les restes possibles de la division par 5
r = 0	n² = 5 (5q² + 2qr)	divisible par 5, reste 0
r = 1	n² = 5 (5q² + 2qr) + 1	reste 1
r = 2	n² = 5 (5q² + 2qr) + 4	reste 4, soit 5 – 1
r = 3	n² = 5 (5q² + 2qr) + 9	reste 9, soit 5 – 1
r = 4	n² = 5 (5q² + 2qr) + 16	reste 16, soit 5 + 1
On trouve toujours un des cas suivants:	5k 5k – 1 5k + 1

FORME en 8

Tous les carrés sont des multiples de 8

ou des multiples de 8 + 1

ou des multiples de 8 + 4

n² = {0, 1, 4} mod 8

Voir Modulo

Tous les carrés de nombres impairs

sont des multiples de 8 + 1

Impair² = 1 mod 8

Voir Démonstration et exemples

Exemples

FORME en 24

n² = 24 k + 1

pour tout n premier > 3 et en général, pour tout n impair non multiple de 3.

Exemples

5² = 24 + 1

7² = 48 + 1

11² = 120 + 1

Etc.

Voir Démonstration / Séquence en 24

CARRÉS des NOMBRES PREMIERS

Le carré d'un nombre premier (> 5)

se termine par 1 ou 9.

En effet l'unité d'un nombre premier est 1, 3 7 ou 9;

et l'unité de leur carré est, 1, 9, 9 ou 1.

Somme des chiffres du carré = carré
Nombre, son carré et la somme de ses chiffres lorsque celle-ci est un carré. En rouge ou bleu, suite de nombres dont la somme des chiffres du carré est un carré. Certaines valeurs sont triviales comme 10, 20 ou 30.
Somme des chiffres du cube = carré & Somme des chiffres du cube = cube

Chiffres dans les carrés

Carrés comportant deux chiffres (n suivi de son carré)

[11, 121], [12, 144], [15, 225], [21, 441], [22, 484], [26, 676], [38, 1444], [88, 7744], [109, 11881], [173, 29929], [212, 44944], [235, 55225], [264, 69696], [3114, 9696996], [81619, 6661661161], … En rose, les palindromes; liste pour n jusqu'à dix millions.

Carrés les plus petits comportant k chiffres:

n, n², ses chiffres

1, 1, {1}

4, 16, {1, 6}

13, 169, {1, 6, 9}

Ex: 13² = 169 est le plus petit carré comportant trois chiffres quelconques

32, 1024, {0, 1, 2, 4}

113, 12769, {1, 2, 6, 7, 9}

322, 103684, {0, 1, 3, 4, 6, 8}

1017, 1034289, {0, 1, 2, 3, 4, 8, 9}

3206, 10278436, {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}

10124, 102495376, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

32043, 1026753849, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Plus petit carré pannumérique (10)

99 066² = 9 814 072 356, le plus grand

Carrés les plus petits comportant k chiffres successifs de 1 à 9:

n, n², ses chiffres

1, 1, {1}

11, 121, {1, 2}

111, 12321, {1, 2, 3}

Ex: 111² = 12321 est le plus petit carré comportant les trois premiers chiffres.

182, 33124, {1, 2, 3, 4}

368, 135424, {1, 2, 3, 4, 5}

1112, 1236544, {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5116, 26173456, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

5904, 34857216, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

11826, 139854276, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Plus petit carré pannumérique (9)

30 384² = 923 187 456, le plus grand

Les plus petits carrés qui associés couvent tous les chiffres

Avec deux carrés et nombres de 1 à 100 (le premier nombre est le plus petit)

18² et 867² => 324 et 751689

42² et 945² => 1764 et 893025 (avec 0)

Avec deux carrés et somme des nombres minimale

57² et 126² => 3249 et 15876 (somme 183)

126² et 153² => 15876 et 23409 (avec 0; somme 279)

Avec trois carrés et nombres de 1 à 100 (le premier nombre est le plus petit)

4², 28², 73², => 16, 784, 5329

9², 48², 87² => 81, 2304, 7569 (avec 0)

Avec trois carrés et somme des nombres minimale

5², 28², 37² => 25, 784, 1369 (somme 70)

18², 24², 33² => 324, 576, 1089 (avec 0; somme 75)

Avec quatre carrés et nombres de 1 à 100 (le premier nombre est le plus petit)

1², 5², 22², 86² => 1, 25, 484, 7396

1², 6², 28², 95² => 1, 36, 784, 9025 (avec 0)

Avec quatre carrés et somme des nombres minimale

3², 9², 18², 24² => 9, 81, 324, 576 (somme 54)

3², 9², 24², 48² => 9, 81, 576, 2304 (avec 0; somme 84)

Suite Carrés avec chiffres répétés / Brève de maths 474

FRACTION DE CARRÉS (curiosité)

Voir Fraction – Glossaire

CARRÉS CURIEUX
32 043 ² =	1 026 753 849	Pannumérique
99 066 ² =	9 814 072 356	Pannumérique
36 363 636 364 ² =	13 223 140 496 13 223 140 496	Nombre "jumeaux"
505 025 ² =	255 050 250 625	Le nombre est dans son carré
146 509 717 ² =	21 465 097 175 420 089	''
495 475 ² =	245 495 475 625	Le nombre est dans son carré, au centre
625 000 ² =	390 625 000 000	''
971 582 ² =	943 971 582 724	''
177 656 344 ² =	31 561 776 563 446 336	''
18 212 890 625 ² =	331 709 384 918 212 890 625	Même terminaison (automorphique)

Somme de deux et de trois carrés consécutifs
5 =	1² + 2² =	0² + 1² + 2²
365 =	13² + 14² =	10² + 11² + 12²
35 645 =	133² + 134² =	108² + 109² + 110²
3 492 725 =	1 321² + 1 322² =	1 078² + 1 079² + 1 080²
342 251 285 =	13 081² + 13 082² =	10 680² + 10 681² + 10 682²

Voir Suite / Nombres consécutifs

INVERSE DES CARRÉS

Formules d'Euler

Autres

Voir Identité d'Euler / Euler / Progressions géométriques

CARRÉ ET CUBE à la fois

Un nombre carré et cube à la fois est de la forme 7k ou 7k + 1.

Cette table donne toutes les valeurs pour n 1 million:

Ce sont les puissances 6 des nombres de 1 à 10.

Preuve

Si un nombre est un carré et un cube, il est aussi une puissance sixième.

Or, avec le petit théorème de Fermat et si n non divisible par p

Et, si divisible, alors le reste de la division par 7 est nul.

Voir Nombres 64 / 729 / 4 096 / Calcul d'Inaudi (calculateur prodige)

DEUX ENTRE CARRÉ ET CUBE

D'après Fermat, il n'existerait que 5 nombres entiers dont le carré augmenté de 2 donnerait un cube:

Exemples

5² + 2 = 3³

25 + 2 = 27

Il se trompait: il n'existe que cette seule solution à l'équation:

Y² + 2 = X³

Voir Équations diophantiennes

Devinette – Solution

Problème: Montrer qu'il n'existe aucun couple (x, y) tel que x² + 4y et y² + 4x soient des carrés; x et y sont des entiers positifs.

Exemple: x = 2 et y = 3.

Alors: x² + 4y = 16 = 4² et y² + 4y = 15 = 4² – 1.

Raté à une unité près (coquetterie: avec le même carré:4²).

C'est le seul exemple à 1 près.

Suivant, avec un écart de 3: x=3 et y=4; x²+4y = 25 et y²+4x = 28.

Solution

On suppose que
On pose cette inégalité
Majoration de x par y
Majoration avec 4
Inégalité qui nous intéresse
Carré de chaque côté
Seule possibilité
En développant
Et en évaluant x
Le numérateur est impair, non divisible par 4	Impossible

Retour

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