introduction à la divisibilité

À savoir pour débuter
Développement décimal d'un nombre
Un nombre N peut s'écrire comme la somme de ses chiffres, chacun multiplié par la puissance de dix qui convient à sa position. D'une manière générale (ou générique).	1234 = 1 x 1000 + 2 x 100 + 3 x 10 + 4 N = … + 1000m + 100c + 10d + u

Divisibilité d'une somme

Une somme est divisible par 3 si chaque terme de la somme est divisible par 3, mais seulement.

Une somme est divisible par k si chaque terme de la somme est divisible par k, mais pas seulement: la somme peut être divisible par k sans que chaque terme le soit.

6 + 12 + 15 divisible par 3 ?

6 = 3 x 2

12 = 3 x 4

15 = 3 x 5

Chacun divisible par 3.

La somme est divisible par 3.

En effet: 6 + 12 + 15 = 33 = 3 x 11

Pas seulement, par exemple 1 + 5 = 6 est divisible par 3 sans que 1 et 5 le soit !

Voir Divisibilité – Propriétés

Divisibilité d'un produit

Un produit est divisible par 3 si un de ses facteurs est divisible par 3.

Un produit est divisible par k si un de ses facteurs est divisible par k.

6 x 7 divisible par 3 ?

6 = 3 x 2

7 pas divisible par 3

Un seul facteur divisible par 3

Le produit est divisible par 3.

En effet: 6 x 7 = 42 = 3 x 14

Reste de la division

Une belle invention bien pratique: lorsque seule la notion de divisibilité est recherchée, inutile de faire la division complète. Seul le reste de la division est important. On peut tout à fait ignorer le quotient.

En arithmétique avancée, on parle de modulo et de congruences.

Propriété

Si une opération est juste, elle l'est également en ne retenant que les restes de la division par un nombre quelconque k.

Exemples

Explications

Avec les restes de la division par 2, nous trouvons une somme égale à 2. Mais, dans le monde des restes de la division par 2, seuls 0 et 1 sont possibles. En fait, 2 doit à nouveau être divisé par 2 et il produit, bien sûr, u reste nul. Même chose pour 3 et 5.

Avec 7, il est plus astucieux de considérer les écarts à 7, en plus et en moins. Par exemple 6 = 7 x 0 + 6 = 7 x 1 – 1. Ici, prendre – 1 simplifie le calcul.

Avec 9, la somme 21 est un nombre à deux chiffres. On peut dire: 21 = 9 x 3 + 3. On peut aussi recommencer l'opération 2 divisé par 9 donne un reste égal 2 et pour 1 le reste est 1. Somme 3.

DIVISIBILITÉ PAR 2
Soit N et son développement décimal.	N = … + 1000m + 100c + 10d + u
Prenons le nombre sans ses unités et écrivons chacun des termes en facteur de 2.	N' = … + 1000m + 100c + 10d N' = … + 2 x 500 m + 2 x 50 c + 2 x 5 d
Chaque terme est un produit dont l'un des facteurs est 2: il est divisible par 2. Tous les termes de la somme sont divisible par 2: la somme N' est divisible par 2.
Nouvelle écriture de N:	N = 2 k + u
Conséquence: N divisible par 2 si u est divisible par 2.

Bilan

Ce résultat est connu: N est divisible par 2, s'il est pair; c'est-à-dire si le chiffre des unités est pair.

Cette démarche est utile car, sur un cas très simple, elle permet de comprendre la logique utilisée dans les autres cas.

DIVISIBILITÉ PAR 5
Soit N et son développement décimal.	N = … + 1000m + 100c + 10d + u N' = … + 1000m + 100c + 10d
Pour les mêmes raisons que ci-dessus, N' est divisible par 5. N divisible par 5 si u est divisible par 5.

Voir Suite en divisibilité par 5 et 10

DIVISIBILITÉ PAR 3
Soit N et son développement décimal.	N = … + 1000m + 100c + 10d + u
Que peut-on dire de 10d ?	d est quelconque. Je ne peux rien en déduire.
Quid des facteurs en 10? Aubaine! Tous les restes sont égaux à 1.	10 = 3 x 3 + 1 100 = 3 x 33 + 1 1000 = 3 x 333 + 1 etc.
J'écris l'image de l'opération donnant N dans le monde des restes de la division par 3 (on note: mod 3). les nombres en 10 sont remplacés par leur reste (1), et, les chiffres des (…, m, c, d et u) sont conservés car nous ne savons pas quel est le reste de leur division par 3.	N = … + 1000m + 100c + 10d + u N _{mod 3} = … + (1) x m + (1) x c + (1) x d + u N _{mod 3} = … + m + c+ d + u
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Pour bien comprendre, un autre exemple explicité: L'astuce consiste à remplacer 100 et 10 par 99+1 et 9+1. Le reste n'est que calcul pour faire émerger un facteur 3 et mettre en évidence la somme des chiffres du nombre: 798 = 3k + 7 + 8 + 9 = 3k + 24 = 3 (k + 6). Ce nombre est bien divisible par 3.

Voir Suite en divisibilité par 3

DIVISIBILITÉ PAR 7
Soit N et son développement décimal.	N = … + 1000m + 100c + 10d + u
Les puissances de 10 dans le monde de la division par 7 (mod 7).	10 = 7 x 1 + 3 100 = 7 x 14 + 2 1000 = 7 x 142 + 6 etc.
Revenons à N mod 7: les nombres en 10 sont remplacés par leur reste, et, les chiffres des (…, m, c, d et u) sont conservés.	N _{mod 7} = … + (6) x m + (2) x c + (3) x d + u N _{mod 7} = … + 6m + 2c+ 3d + u
Un nombre est divisible par 7 si la somme pondérée 6m + 2c + 3d + u est divisible par 7. La suite des nombres: 1, 3, 2, 6 … est appelée la clé (ou empreinte) de divisibilité.
Exemple avec 1 239.	N _{mod 7} = 6x1 + 2x2+ 3x3 + 9 = 6 + 4 + 9 + 9 = 28 = 7 x 4

Voir Suite en divisibilité par 7 pour des méthodes plus simples

Un peu de formalisme

Soit deux nombres entiers a et b, avec a différent de 0.

On dit que a divise b, noté ab, s'il existe un nombre entier c tel que b = a . c.

On dit aussi que b est divisible par a, que b est un multiple de a ou encore que a est un diviseur de b.

Suite Divisibilité

English corner

Let a and b be integers, a b. We say that a divides b, denoted by ab, if there exists an integer c such that b = a . c.

We also say: b is divisible by a, b is a multiple of a, or a is a divisor of b.

A number is divisible by 3 if and only if (iff) its sum of digits is divisible by 3. For instance, since 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 is divisible by 3, then the number 123456789 is divisible by 3, and by 9, using the same token.

To check whether a number is divisible by 4, we need only check whether the last two digits are divisible by 4.

Bilan: les trois méthodes

Il existe trois méthodes principales pour rechercher une divisibilité:

1) Examen du dernier chiffre (ou des derniers): 10, 5 et 2.
Méthode de la clé de divisibilité >>>

2) Addition des chiffres: 9 et 3.
Méthode de la somme de tranches de chiffres >>> (exemple avec 37);

3) Addition de k fois le dernier chiffre à droite ou à gauche.
Méthode de l'unité tronquée >>> (exemple avec 7).

Bilan selon la méthode >>>

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