NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 06/10/2025 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	COMPTER - Combinatoire
Débutants Dénombrement	FACTORIELLES			Glossaire Combinatoire
INDEX Compter Dénombrer	Index factorielle	Introduction	Propriétés	Tronquées
	Produits Carrés	Bhargava	Super-factorielles	Primorielle
	Jamais carré	Oscillante	Sous-factorielle	Comporielle
	Prime inside		Généralisées
		Sommaire de cette page >>> Index >>> Factorielle >>> Valeurs >>> Propriétés >>> Identité >>> Quantité de facteurs dans les factorielles >>> Programmation >>> Nombres de Jordan-Polya >>> Racines carrée des factorielles >>> Factorielles Harshad (ou Niven)

FACTORIELLES

Index et introduction

La somme des entiers consécutifs conduit aux nombres triangulaires; leur produit aux factorielles.

Factorielle n, avec n un entier naturel, est notée n! (1808 – Christian Kramp). Sa valeur est le produit de tous les entiers de 1 à n.

n! = 1 x 2 x 3 x … x n

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

Extraordinaire:

40 585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5!

Trouvé en 1964

À partir de 2!, tous les nombres factoriels sont pairs.
Et, évidemment n! + 1 est impair, tout comme (n – 1)! + 1 pour n > 2.

La quantité de permutations de n objets est égale à factorielle n.

Il existe de nombreuses variantes impliquant le produit des nombres successifs d'une suite: factorielle de premiers, de Fibonacci …

Relation fondamentale: 10! = 10 x 9! => n! = n (n – 1)! ou (n + 1)! = (n + 1) n!

Vocabulaire

Une factorielle (nom féminin): nombre notée n!

Un nombre premier factoriel, une valeur factorielle (adjectif).

Anglais: factorial; Espagnol: factorial; Italien: fattoriale; Allemand: Facultät.

Quelle est la suite ?

Réponse: 120 = 5!.

Chaque nombre est suivi de sa factorielle. Après 4, on trouve 4! = 24.

INDEX

Factorielles

& ses formes variées

Index	Factorielles	Tronquées
Débutant	Facto. de factorielles	Généralisées
Familiarisation	Sous-factorielle	Gamma
Coefficients multinomiaux		Alternée

Combinatoire – Glossaire

Nombres consécutifs – Index

Quart de finale et factorielles impaires

Fonction digamma

Variantes

Sous-factorielle notée !n
Factorielle –1 ou + 1	Primorielle Notée n#
Double factorielle Paire et impaire, notée n!!	Primorielle + 1
Multi-factorielle notée !!!...	Comporielle
Hyperfactorielle – Somme	Factorielle Fibonacci
Hyperfactorielle – Puissance	Nombres de Jordan-Polya
Super factorielle notée n$	Factorielle k-tuple
Pricarielle	Factorielle oscillante
Bhargava	Nombres idéaux

Comparaison entre variantes de factorielles.

Factorielles 1 = k² : problème de Brocard.

Nombres primoriels

Factorielles premières

Les factorielles en question sont en fait les factorielles 1.

Factorielles Prem	Multifactorielles		Primorielles
Bilan et records		Super-primorielle

Forme

Zéros finaux	Facteurs dans la factorielle
100 !	Premiers dans les factorielles

Relations

Factorielle = somme	Sommation Ramanujan
Factorielle et sommes	Partition avec consécutifs
Factorielle et exponentielle	Factorielle et puissance
Somme des inverses des factorielles = e
Somme alternée de factorielles tronquées = 1/2
Différences finies des factorielles tronquées

Notations

>>>	>>>	>>>	>>>

>>>	>>>	>>>	>>>

On trouve aussi: la somme cumulée des factorielles, parfois notée !!n

Exemple: !!4 = 0! + 1! + 2! + 3! = 10.

Note: pour avoir le symbole dièse: Alt étant enfoncé, tapez 9839 et lâchez; pour bémol, idem avec 9836

Valeurs

Calculs

Table des factorielles de 1 ! à 50 !
100 !	Nombres de Stirling	Formule de Stirling
Calcul	Logarithmes	Formule de Ramanujan
Calculette	Programmation	Formule de Polignac

Somme	Somme des inverses	Différence
Double	Produit	Quotient
	Sommes et produits

Curiosités en sommes et produits de factorielles

Sommes minimales impliquant les factorielles

Nombre 61

Nombre 145

Nombre 222

Nombre 40 585

Nombre 2, 718 = e et les factorielles

Factorielles de 70, 100, 1000 (calculs)

Nombres pairs bien placés dans une liste

Nombre = somme ou produit des factorielles de ses chiffres

Identités

Simples	Additions	Multiplications
		Produits carrés

Propriétés

Th. de Wilson	Divisibilité		Premières
Smarandache	Pairs et impairs		Chiffres et carrés
n! n'est jamais un carré		Facteurs premiers

Factorielles + 1

Factorielle – 1 = 1x1! + 2x2! +3x3! +…

Factorielle: nième différence d'une puissance n

Factorielles divisées

Factorielles et grands nombres

Factorielles et leurs diviseurs

Problème de Brocard (n! + 1 = k²)

Factorielles et théorème fondamental de l'arithmétique

Identités et factorielles doubles

Divisibilité de (p .q)!

Applications

Compter

Dénombrement

Loto

Quantité de permutations des nombres

Devinette

Quel est le dernier chiffre du produit suivant:

1 x 2 x 3 x 4 x 5 … x 257

Solution

Une idée des factorielles

Dans le troisième tableau, les objets noirs rouges et orange ne sont pas répétés.

Ils sont disposés dans l'ordre du représentant figurant dans la première colonne.

Voir Les nombres factoriels par Nathan 8 ans

Voir Brève 692

FACTORIELLE – Approche
Quelle est la quantité de façons de placer trois personnes sur un banc? Je place d'abord l'un des personnages: Lucky Luck ou Tintin ou Donald. Soit trois possibilités. Maintenant que j'ai choisi l'un d'eux, je choisis le suivant parmi les deux qui restent. Soit deux possibilités. Ultime étape, je place le dernier. Étant tout seul, il ne reste plus qu'une seule possibilité. Bilan, il ya 3 x 2 x 1 possibilités. Ce produit des nombres successifs jusqu'à 3 est appelé factorielle 3 et noté: 3!
Quantité de permutations sur un banc: n!

Quelle est la quantité de façons de placer trois personnes autour d'une table ronde? Beaucoup moins que sur un banc. Une fois le premier personnage positionné, il reste deux possibilités pour les deux autres. À la différence du banc, le premier personnage peut se mettre dans l'une des trois positions sans que cela change le voisinage de chacun. Bilan, il n'y a que deux possibilités. Ce sont les 3 x 2 x 1 possibilités du banc, divisés par les 3 positions indifférentes du premier personnage. Soit 3 x 2 x 1 / 3 = 2 x 1possibilités

Quantité de permutations autour d'une table ronde: (n – 1)!

Ne pas confondre Il serait différent de trouver le nombre de cas possibles, avec trois personnes qui peuvent être : soit gaies (G), soit tristes (T). C'est le dénombrement de trois objets pouvant prendre deux états. Deux possibilités pour le premier Deux pour le deuxième, et Deux pour le troisième. Bilan: 2 x 2 x 2 = 2^3 = 8 possibilités.

Voir Dénombrement – vue générale / Problème des places assises autour d'une table

Illustration avec choix de quatre fruits

Voir Brève de maths - Factorielles

VALEURS

Avant les ordinateurs, les factorielles étaient connues jusqu'à 300!, plus quelques autres rares cas. Exemples de valeurs Avec les trois lettres A, B et C, il y a 3! = 6 permutations possibles Avec les trois lettres A, B, C et D, il y a 4! = 24 permutations possibles Avec 12 personnes à table midi et soir, la permutation de tous les convives autour de la table prendra 546 siècles pour 11! = 39 916 800 repas. Avec 52 cartes, la quantité de permutations s'élèvent au nombre énorme de 52 ! = 80 658 … un nombre de 68 chiffres. Valeurs de transition en puissances 10 Explications: les factorielles sont limitées aux nombres entiers. La fonction Gamma est la fonction des factorielles généralisées aux nombres réels. Cependant les logiciels et calculettes calculent directement les factorielles de nombres réels. Exemple avec calculette Exemple avec logiciel Maple Limite de calcul de la calculette Windows: 3 248! Merci à Denis Bertin pour cette remarque Factorielles décimales: généralisation des factorielles aux nombres non-entiers via la fonction gamma d'Euler.

Suite en Table des factorielles / Calcul des factorielles / Quantité de permutations des nombres /

Nombre 69 / Nombre 449

Le zéro qui donne 1

Comment montrer logiquement que 0! = 1

Autre méthode: (x + 1)! = (x + 1) x!

Avec x = 0: (0+1)! = (0 + 1) 0!

1! = (1) 0!

1 = 0!

Voir Nombre 0

Amusement

Amusement avec des factorielles: En effet, soustraction de fractions: Or 100! = 99! x 100:

Racine carrée des factorielles

Factorielles Harshad (ou Niven)		haut
Harshad Factorielles divisible par la somme de ses chiffres: nombres de Harshad. NON-Harshad Il faut atteindre 432 pour trouver un nombre factoriel qui n'est pas divisible par la somme de ses chiffres. Sch(432!) = 3897 = 9 × 433. Liste: 432, 444, 453, 458, 474, 476, 485, 489, 498, … OEIS A066419

Suite	Factorielles – Propriétés Rencontre inattendue Identités Chiffres carrés Devinette – Solution et compléments – Quantité de facteurs dans une factorielle Programmation de factorielle n Nombre de Jordan-Polya Familiarisation avec les factorielles Super-factorielles Divisibilité des produits de différences Divisibilité de la somme des entiers par des factorielles Nombres pairs bien placés Nombre lui-même présent dans sa factorielle Voir haut de page
Voir	Compter Débutant et dénombrement Nombres PPCM
DicoNombre	Nombre 3 249 (limite de calcul de la calculette Windows) Nombre 5 040 Nombre 3 628 800
Site	Ensembles finis, dénombrement, ensembles infinis – Géraud Sarrebourse de la Guillonnière – 2014 – pdf 59 pages
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Compter/SixFact.htm