NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 15/04/2025 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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NOMBRES PARFAITS

On considère les diviseurs d'un nombre; On effectue leur somme; On compare le nombre initial à cette somme: PARFAIT: s'il y a égalité. Les nombres parfaits sont rares. Même si on conjecture qu'il y en a une infinité. On en connaît 51 en 2021. Ils sont liés aux nombres de Mersenne premier par une formule. Ils sont triangulaires, sommes des cubes des impairs. Etc.

Il n'existe que huit nombres parfaits inférieurs à un mille trillions (10^21) 6 28 496 8 128 33 550 336 8 589 869 056 137 438 691 328 2 305 843 008 139 952 128

Cool SVP! Voir Débutant

Anglais: Perfect numbers

Selon la somme par rapport au nombre

Rappel, vous pouvez consulter la Page débutants

Un petit avant-goût!

Voici la physionomie d'un nombre parfait*: une puissance k-1 de deux multipliée par une puissance k de deux moins 1. Si ce deuxième facteur (nombre de Mersenne) est premier alors le nombre est parfait.

Notez la ressemblance des facteurs en puissance de deux: le "moins un" est soit dans l'exposant soit en soustraction.

* Tous les parfaits pairs sont de cette forme.

On ne sait pas s'il existe des nombres parfaits impairs.

Approche avec deux exemples
n = 10 est divisible par 1, 2 et 5	n = 6 est divisible par 1, 2 et 3
Le plateau est divisé n parts. On prend les parts selon les diviseurs.
La somme des parts est plus petite que 10 parts. C'est un nombre déficient.	La somme des parts est justement 6. C'est un nombre parfait.

NOMBRES PARFAITS

Définition

NOMBRE PARFAIT: nombre égal à la somme

de ses diviseurs propres. = n

Exemples

	Diviseurs	Somme des diviseurs
6	3, 2, 1	3 + 2 + 1 = 6
28	14, 7, 4, 2, 1	14 + 7 + 4 + 2 + 1 = 28
496	1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248	1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

À noter

On note que la somme des diviseurs ( ) inclut le nombre n lui-même

Alors que la somme des diviseurs propres ( ') l'exclut

Soit la relation: = ' + n

Or pour un nombre parfait, selon sa définition: ' = n

En remplaçant, on trouve pour un nombre parfait: = 2 n

Définition alternative

NOMBRE PARFAIT: nombre dont la somme

des diviseurs vaut le double du nombre. = 2n

À ce titre les nombres parfaits pourraient être baptisés bi-parfait.
Les nombres parfaits sont des nombres multi-parfaits d'ordre 2 ou bi-parfait ou 2-parfait.

PARFAITS et nombres figurés

Tous les nombres parfaits pairs (connus) sont

triangulaires et hexagonaux.

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 3 + ... + 7

496 = 1 + 2 + 3 + ... + 31

8 128 = 1 + 2 + 3 + ... + 127

Etc.

Tous les nombres parfaits sont la somme des cubes des nombres impairs consécutifs.

6	Exception
28	1^3 + 3^3
496	1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3
8 128	1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 + 11^3 + 13^3 + 15^3
Etc.

RELATION FONDAMENTALE

Formule d'Euclide

Si N = 2^n-1 ( 2ⁿ – 1) avec p = (2ⁿ – 1) premier,

alors N est parfait.

Tous les nombres parfaits connus aujourd'hui répondent à la formule d'Euclide. Léonard Euler (1707-1783) a démontré que tous les parfaits pairs sont de ce type.

On ne sait toujours pas s'il existe des nombres parfaits impairs (testé jusqu'à 10¹⁵⁰).

Une puissance de deux moins un est un nombre de Mersenne.

Voir Démonstration / Divisibilité / Exemple avec modulo

Exemples

n	2^n – 1	p = 2^n – 1	N	p premier	M
1	2^0 = 1	2^1 – 1 = 1	1	NON
2	2^1 = 2	2^2 – 1 = 3	6		6
3	2^2 = 4	2^3 – 1 = 7	28		28
4	2^3 = 8	2^4 – 1 = 15	120	NON
5	2^4 = 16	2^5 – 1 = 31	496		496
Suite

Binaire

Impliquant des puissances de 2, il n'est pas surprenant que les nombres parfaits prennent une forme sympathique en binaire:

6 110

28 11100

496 111110000

8 128 1111111000000

Historique

Euclide avait trouvé cette formule. Euler démontre la réciproque (1749):

Il montre que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme.

Or, on ne connaît que des nombres parfaits pairs

Il se trouve que (2ⁿ – 1) est un nombre de Mersenne et, les nombres de Mersenne ne sont premiers que si n lui-même est premier.

Pour n = 3, on a: 2ⁿ – 1 = 8 – 1 = 7, premier et N = 4 x 7 = 28

Pour n = 4, on a: 2ⁿ – 1 = 16 – 1 = 15, composé

Pour n = 5, on a: 2ⁿ – 1 = 32 – 1 = 31, premier et N = 16 x 31 = 496

En 1963, à l'Université de l'Illinois, on a trouvé un nombre parfait pour n = 11 213 qui s'exprime avec 6 751 chiffres et se décompose en 22 425 diviseurs. C'était le nombre parfait n°23.

En 2016, on a trouvé le Mersenne premier n°49 qui est aussi le nombre premier le plus grand que l'on connaisse.

Voir Liste des nombres parfaits / Record du plus grand premier

/ Historique des nombres de Mersenne

En résumé – Théorème

N est un nombre parfait si et seulment s'il est de la forme 2^p-1 (2^p – 1 ) et si (2^p – 1) est premier.

si (2^p – 1) est premier, alors p est lui-même premier.

Illustration

Parfait	Mersenne Premier	Premier
2^p^-1 ( 2^p – 1 )
	2^p – 1
		p
Parfait Mersenne premier L'un entraîne l'autre.
	Si Mersenne alors p est premier Pas l'inverse: p premier ne donne pas toujours un Mersenne premier.

Point de situation

PROPRIÉTÉS

Infinité ? Conjecture Il y a une infinité de nombres parfaits. Les nombres parfaits sont rares. On en connaît seulement 49, autant que de Mersenne premiers connus. On connait bien tous les nombres de Mersenne premiers successifs jusqu'au 45^e. Voir Liste On ne pas si les nombres parfaits sont en nombre infini. Probablement oui, car la série harmonique diverge. Existe-t-il une infinité de nombres de Mersenne composés ? Euler a montré que : Si k > 1 et p = 4k + 3 est premier, alors 2p + 1 est premier si et seulement si 2^p = 1 (mod 2p + 1). Donc, si p = 4k + 3 et 2p + 1 sont premiers alors le nombre de Mersenne 2^p – 1 est composé. Il semble raisonnable d'affirmer qu'il y a une infinité de telles paires p et 2p + 1. 6 et 28 Tous les nombres parfaits pairs se terminent par 6 ou 28. Tous les nombres parfaits se terminent par 6 ou 28. La séquence du chiffre final semble vouloir nous dire quelque chose, mais n'est pas régulière: 6, 8, 6, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 8, 6, 6, 6, 6, .... Racine numérique La racine numérique (ou preuve par 9) des nombres parfaits est égale à 1 (sauf pour 6). Exemple: 28 2 + 8 = 10 1 Inverses La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait est égale à 2. Exemple: 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2 Cette propriété n'est pas magique! Essayez de réduire au même dénominateur et vous verrez. Et, bien sûr, la réciproque est vraie: si la somme des inverses des diviseurs d'un nombre, y compris ce nombre, est égale à " 2 ", le nombre est parfait.  Pairs uniquement ? Conjecture Il n'existe pas de nombres parfaits impairs. S'il existe des nombres parfaits impairs, ils doivent être très grands (au moins 300 chiffres) - Brent et Cohen (1989). On sait que, divisé par 12, il reste 1, Et divisé par 36, il reste 9; Ils ont au moins 6 facteurs premiers; Etc. C'est un carré, multiplié par une puissance impaire d'un nombre premier seul. Il est divisible par au moins 8 premiers. il a au moins 29 facteurs premiers (pas nécessairement distincts). Il a un diviseur premier plus grand que 10^20. Harmonique : Tous les nombres parfaits sont harmoniques: la moyenne harmonique des diviseurs est un nombre entier. Quantité de chiffres Le ratio entre p (la puissance de 2) et la quantité de chiffres Q du nombre parfait approche log(10) / log(4) = 1,660964048… Pour le plus grand connu en 2016 (P49), on a p = 74 207 281 et Q = 44 677 235 et p/Q = 1,660964046…

Anecdote

198 585 576 189	René Descartes pensait avoir découvert un nombre parfait impair, sauf que 22 021 n'est pas premier. On ne connaît toujours pas de nombre parfait impair à ce jour.
Décomposition de Descartes	N = 3^2 . 7^2 . 11^2 . 13^2 . 22 021 = 198 585 576 189
Somme des diviseurs	= 397 171 152 378 = 2 x 198 585 576 189
Véritable décomposition	N = 3^2 . 7^2 . 11^2 . 13^2 . 19^2 . 61
Somme des diviseurs	= 426 027 470 778 N n'est pas parfait, il est abondant

Voir Nombre 198 585 576 189

THÉORÈMES

Voyons les premiers nombres parfaits, décomposés en facteurs partiels:

6	28	496	8 128
2 x 3	4 x 7	16 x 31	64 x 127

Ils sont tous le produit d'une puissance de 2 et de la puissance suivante de 2 moins 1, comme 4 x 7 = 2² x (2³ – 1). En fait, ils sont de la forme 2^{n – 1} (2ⁿ – 1) et chaque 2ⁿ – 1 est un nombre premier de Mersenne.

Théorème 1

k est un nombre parfait pair, si et seulement si, il est de la forme

2^{n – 1} (2ⁿ – 1) avec 2ⁿ – 1 premier (premier de Mersenne).

Théorème 2

Si 2ⁿ – 1 est premier, alors n est premier.

La recherche des nombres de Mersenne est aussi celle des nombres parfaits pairs.

Théorème 3

Soit p et q premiers.

Si divise M_p = 2^p – 1, alors q = 1 (mod 8) et q = 2 k.p + 1

pour quelques valeurs entières de k.

Théorème 4

Soit p = 3 (mod 4), un premier.

2p + 1 est aussi un premier si et seulement si 2p + 1 divise M_p.

Theorems

Theorem One: k is an even perfect number if and only if it has the form 2^n-1(2ⁿ – 1) and 2n – 1 is prime.

Theorem Two: If 2ⁿ – 1 is prime, then so is n.

TRIPARFAIT
Dans le cas d'un nombre triparfait, la somme des diviseurs, y compris lui-même, est égale à trois fois le nombre: Cas de 120 = 2^3 . 3 . 5 et la somme de tous ses diviseurs: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 3 x 120. Les triparfaits sont tous pairs. S'il en existe un impair, il est supérieur à 10^50. On ne connaît que six nombres triparfaits:
120 672 523 776 459 818 240 1 476 304 896 51 001 180 160	= 2^3 x 3 x 5 (Mersenne 1557) = 2^5 x 3 x 7 (Fermat 1636) = 2^9 × 3 × 11 × 31 = 2^8 × 5 × 7 × 19 × 37 × 73 = 2^13 × 3 × 11 × 43 × 127 = 2^14 × 5 × 7 × 19 × 31 × 151

NOMBRES MULTIPARFAITS OU PARFAITS MULTIPLICATIFS

Définition

La somme des diviseurs, y compris lui-même, fait k fois le nombre: = k . n

n est appelé k-parfait.

On connaît plus de 500 nombres multiparfaits jusqu'à l'ordre 8. On conjecture qu'il existe des nombres k-parfait pour toutes les valeurs de k.

2⁵ x 3³ x 5 x 7 est le premier tétraparfait.

2⁷ x 3⁴ x 5 x 7 x 11² x 17 x 19, le premier pentaparfait.

Quelques multiparfaits Pn

P2	6, 28, 496, 8128 … (nombres parfaits)
P3	120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 31001180160 …
P4	30240, 32760, 2178540, 23569920 …
P5	14182439040, 31998395520, 518666803200 …
P6	154345556085770649600, 9186050031556349952000 …

Quantité minimum de facteurs premiers distincts

P3	P4	P5	P6	P7
3	4	6	9	14

Lehmer 1901

Quantité de nombre multiparfaits connus

1911	251	Carmichael et Mason
1929	334	Poulet
1953	397	Franqui and García
1954	482	Brown
1954	539	Franqui and García
2000	> 2 000

On pense connaître tous les multiparfaits d'ordre 3, 4, 5, 6 et 7.

Le plus grand connu

De l'ordre de 7,3 10 ^{1 345} Moxham - Février 2000

Multi ou hyper ?

Nombres multiparfaits harmoniques

Nombres égaux à n fois le rapport entre la quantité de diviseurs et la somme des diviseurs propres:

Exemple:

H(140) = 140 x 12 / 336 = 5

Liste

1, 140, 270, 672, 1638, 2970, 6200, 8190, 18600, 18620, 27846, 30240, 32760, 55860, 105664, 117800, 167400, 173600, 237510, 242060, 332640, 360360, 539400, 695520, 726180, 753480, 950976, 1089270, 1421280, 1539720, …

Voir Nombres d'Ore (semblables)

Programmation Maple

Commentaires Appel aux logiciels de théorie des nombres. Lancement d'une boucle d'analyse des nombres de 1 à 1000. Calcul du rapport. Si ce rapport est un entier et que le nombre n'est pas parfait, le nombre est ajouté à la liste L. Impression de la liste, en bleu.

Voir OEIS A090945 / Programmation – Index

Nombres HYPERPARFAITS
Définition Un nombre k-hyperparfait est tel que: Un nombre 1-hyperparfait est un nombre parfait: Un nombre 2-hyperparfait (2-HP) est de la forme: Un nombre 3-hyperparfait (2-HP) est de la forme: Relations	Listes 2-HP: 21, 2 133, 19 521, 176 661, 1 29 127 041, 328 256 967 373 616 371 221,... Ex: 3-HP: 325, aucun autre jusqu'à n = 1 000 000 4-HP: 1 950 625, 1 222 640 625, 186 264 514 898 681 640 625 5-HP: aucun connu 6-HP: 301, 16 513, 60 110 701, 1 977 225 901 2 733 834545 701 232 630 479 398 401 10-HP: 159 841 11-HP: 10 693 12-HP: 697, 2 041, 1 570 153, 62 722 153, 10 604 156 641, 13 544 168 521, 1 792 155 938 521 18-HP: 1 333, 1 909, 24 69 601, 893 748 277, 322 685 352 001, 8 992 165 119 733, 42 052 982 615 431 201

Nombres ANTIPARFAITS
Nombres égaux à la somme des diviseurs retournés (lus de droite à gauche).	Exemple Diviseurs de 244: 1, 2, 4, 61, 122 Retournés: 1, 2, 4, 16, 221 Somme: 244 Liste des cinq connus 6, 244, 285, 133 857, 141 635 817.

Anglais: anti-perfact numbers

English corner
A positive integer n is called a perfect number if it is equal to the sum of all of its positive divisors, excluding n itself.

Grand merci à Maximilian pour ses remarques

Suite	Programmation de la recherche des parfaits Liste des nombres parfaits Traité sur les nombres parfaits Presque parfait Voir haut de page Totient parfait Nombres parfaits – Théorie des nombres
Voir	Calcul mental – Index Démonstration de la formule d'Euclide Géométrie – Index Nombres bons Nombres de Mersenne Nombres économes, équidistants et prodigues Nombres premiers records Tables abondants / déficients Théorie des nombres – Index Types de nombres selon leurs diviseurs
DicoNombre	Nombre 1,66… Nombre 198 585 576 189
Sites	Nombre hyperparfaits – Wikipédia Répartition des nombres superabondants par Paul Erdös et JL Nicolas – Définition des nombres hautement composés et superabondants. Prefect number – Wolfram MathWorld Mersenne Primes: History, Theorems and List – Chris Caldwell A Study of Hyperperfect Numbers – Judson McCranie – 2000 – Très complet avec listes et references. OEIS A007593 - 2-hyperperfect numbers: n = 2*(sigma(n) - n - 1) + 1. OEIS A028500 – 12-hyperperfect numbers: n = 12*(sigma(n) - n - 1) + 1
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