critères de divisibilité, caractères généraux

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	DIVISION
Débutants Division	Divisibilité			Glossaire Division
INDEX Type de nombres et divisibilité Décomposition	Index divisibilité	Critères	Critères généraux
	Racine Numérique	Divisibilité par 7, 11 et 13	Par 7
	Clé de divisibilité	Divisibilité par 73, 137 …	Par 11, 101, 99, 999
	Divisibilité sauf deux	Nombres polydivisibles	Curiosités
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CRITÈRES de DIVISIBILITÉ

Comment déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre ? Quelles sont les formes des nombres divisibles par un autre ? Ici, nous passons en revue les meilleurs critères pour les divisibilités par 2, 3, 4, 5, 6, … jusqu'à 1111.

Deux méthodes systématiques sont expliquées en clé de divisibilité. La solution générale pour une divisibilité par un nombre premier est explicitée en: méthode par unité tronquée.

Notations

R.N.

= Racine numérique.

= Somme numérique.

= somme des chiffres jusqu’à n’obtenir qu’un seul chiffre.

= preuve par neuf.

Exemple

R.N. (3456) = 3 + 4 + 5 + 6 = 7 + 5 + 6 = 12 + 6 = 3 + 6 = 9 (= 0)
et, aussi plus rapide : 3 + (4 + 5) + 6 = 9 + 9 = 9 (= 0)

du = nombre formé des dizaines et unités.

u = chiffre des unités,

d = chiffre des dizaines,

c = centaines,

m = milliers.

(…) = tous les autres chiffres du nombre

En jaune classique et relativement simple;

CRITÈRES (ou caractères) de DIVISIBILITÉ
Par	Règle	Exemple	Commentaires	Liens
2	Pair: u = {0, 2, 4, 6, 8}.	124	4 est pair	>>>
3	R.N. divisible par 3.	123	R.N.(123) = 1 + 2 + 3 = 6	>>>
4	Le nombre formé par les deux derniers chiffres (du) est divisible par 4. ou encore: 2d + u est divisible par 4.	565 544	44 = 11 x 4	>>>
5	Se termine par 0 ou 5. u ={0, 5}.	565 545		>>>
6	Pair et divisible par 3.	288	R.N.(288) = 9	>>>
7₁	On prend tous les chiffres sauf le dernier. On soustrait 2 fois le dernier. On vérifie si le résultat est divisible par 7.	364	36 – 2x4 = 28 28 = 7x4	>>>
7₂	Multiplier le chiffre de gauche par 3 et ajouter au chiffre suivant. Répéter jusqu'au dernier chiffre. Si le résultat est divisible par 7, c’est bon.	364	3x3+ 6 =15 5x3 + 6 = 21
7₃	Soustraction alternée des tranches de trois chiffres divisible par 7.	8 638	638 – 8 = 630 = 90 x 7
8	Les 3 derniers chiffres sont divisibles par 8 (classique). ou mieux: cd + u/2 divisible par 4.	565 448	120/8 = 15 44 + 8/2 = 48	>>>
9	R.N. divisible par 9.	182 736	R.N. = 0	>>>
10	Terminé par 0.	100		>>>

Carte bancaire

Son n° et son code d'authenticité associés dans une addition particulière (algorithme de Luhn) conduisent à un nombre divisible par 10, preuve de sa validité. >>>

11₁	Pour une quantité paire de chiffres identiques.	33 33 33 3 33 33	oui non	>>>
11₂	Pour les nombres à trois chiffres a, b, c : On vérifie si a + c – b est 0 ou 11	484 913	4 + 4 - 8 = 0 9 + 3 - 1 = 11	>>>
11₃	Général : Sp = somme des chiffres de rang pair ; Si = pour les impairs ; Sp – Si est divisible par 11 alors N l'est.	181 907	Sp = 8+9+7=24 Si = 1+1+0=2 Sp-Si= 22	>>>
11₄	Soustraire le dernier chiffre et recommencez.	1 353	135-3 = 132 13-2 = 11	>>>
11₅	Somme des blocs de deux chiffres	1 353	13 + 53 = 66	>>>
12	Divisible par 3 et par 4. 4 (…) + du.	144	4x(1) + 44 = 48 = 12 x 4	>>>
13₁	Soustraction alternée des tranches de trois chiffres divisible par 13.	16 042	042 – 16 = 26 26 = 13 x 2	>>>
13₂	Itération sur dizaines plus 4 fois l'unité. Itération sur dizaines moins 9 fois l'unité.	16 042	1604 + 4x2 = 1612 161 + 4x2 = 169 16+ 4x9 = 52	>>>
7, 11 et 13	Somme alternées des blocs de trois chiffres	12 357 345	357 – (12 + 345) = 0	>>>
15	Divisible par 3 et 5.	45
16	Cas général des puissances de 2: 16 = 2⁴ alors les quatre derniers chiffres doivent être divisibles par 16.	180 016		>>>
17	Itération sur dizaines moins 5 fois l'unité. Ou somme alternée sur huit chiffres.	58 752	5875 – 5x2 = 5865 586 – 5x5 = 561 56 – 5x1 = 51	>>>
19	Itération sur dizaines plus 2 fois l'unité. Voir Nombre 19	14 991	1499 + 2x1 = 1501 150 + 2x1 = 152 15 + 2x2 = 19	>>>

Note: les méthodes par itération ou par épluchage sont aussi désignées comme critère dominos.

20	Unité = 0 (divisible par 10) et dizaine divisible par 2.	80	Unité = 0 et dizaine => 8 / 2 = 4
23₁	Itération sur dizaines plus 7 fois l'unité.	276	27 + 7 x 6 = 69	>>>
23₂	Itération sur centaines plus 3 fois dizaines et unités.	2 829	28 + 3x29 = 115
24	Divisible par 3 et 8. 16 (…) + cdu.	29 640	16 (2+9) + 640 = 176 + 640 = 816 816 = 24 x 34	>>>
25	Terminé par 00, 25, 50 ou 75.	275
27	Si la somme des blocs de trois chiffres est divisible par 27.	33 345	33 + 345 = 378 378 = 27 x 14	>>>
29	Itération sur dizaines plus 3 fois l'unité.	3 567	356 + 3x7 = 377 37 + 3x7 = 58	>>>
31	Itération sur dizaines moins 3 fois l'unité.	3 813	381 – 3x3 = 372 37 – 3x2 = 31	>>>
33	Divisible par 3 et 11.	99
36	Divisible par 4 et 9.	432		>>>
37₁	Si la somme des blocs de trois chiffres est divisible par 37.	45 695	45 + 695 = 740 740 = 20 x 37	>>>
37₂	Itération sur dizaines moins 11 fois l'unité.	45 695	4569 – 11x5 = 4514 451 – 11x4 = 407 40 – 11x7 = –37
40	2c + d divisible par 4 et u = 0.	49 360	3x2 + 6 = 12 => 12 = 4x3; et u = 0
41	Si somme des tranches de cinq chiffres est divisible par 41.	50617 28349	50617 + 28 349 = 78 966 Suite en dessous	>>>
41 bis	Itération sur dizaines moins 4 fois l'unité.	78 966	7896 – 4x6 = 7872 787 – 4x2 = 779 77 – 4x9 = 41	>>>
43₁	Itération sur dizaines plus 13 fois l'unité. ou, souvent plus facile: Itération sur dizaines moins 30 fois l'unité.	19 608	1960 – 30x8 = 1720 172 – 30x0 = 172 17 – 30x2 = – 43	>>>
43₂	Itération sur centaines moins 3 fois dizaines et unités.	19 608	196 – 3x8 = 172
45	Divisible par 5 et par 9. 10 (…) + u.	5535	10 x (5+5+3) + 5 = 135 = 3 x 45	>>>
47₁	Itération sur dizaines moins 14 fois l'unité.	564	56 – 14x4 = 0	>>>
47₂	Itération sur centaines plus 8 fois dizaines et unités.	580 215	5802 + 8x15 = 5922 59 + 8x22 = 235
48	16 (…) + mcdu.	59 232	16 x 5 + 9232 = 9312 = 48 x 194

50	Terminé par 00 ou 50.
53₁	Itération sur dizaines plus 16 fois l'unité.	636	63 + 16x6 = 159	>>>
53₂	Itération sur centaines moins 9 fois dizaines et unités.	65 402	654 – 9x2 = 636 6 – 9x36 = –318
61	Itération sur dizaines moins 6 fois l'unité.	732	73 – 6x2 = 61	>>>
67₁	Itération sur dizaines moins 20 fois l'unité.	804	80 – 20x4 = 0	>>>
67₂	Itération sur centaines moins 2 fois dizaines et unités.	82 678	826 – 2x78 = 670
71	Itération sur dizaines moins 7 fois l'unité.			>>>
73	Si somme alternée des tranches de quatre chiffres est divisible par 73.			>>>
77	Soustraction alternée des tranches de trois chiffres divisible par 77.	17 094	94 – 17 = 77	>>>
79	Itération sur dizaines plus 8 fois l'unité.			>>>
83	Itération sur dizaines plus 25 fois l'unité.			>>>
89₁	Itération sur dizaines plus 9 fois l'unité.	1 068	106 +9x8 = 178
89₂	Itération sur centaines moins 8 fois dizaines et unités.	109 826	1098 – 8x26 = 890
91	Itération sur dizaines moins 9 fois l'unité.	1 092	109 – 2x9 = 91	>>> >>>
96	64 (…) + Dmcdu.
97	Itération sur dizaines moins 29 fois l'unité.	2 425	242 – 29x5 = 97	>>>
99₁	Divisible par 9 et par 11	86922	8+6+2+2= 18 8+9+2-6-2= 11
99₂	Somme des blocs de deux chiffres	1 188	11 + 88 = 99	>>>
100	Terminé par 00. d = 0 et u = 0.
101	Si somme alternée des tranches de deux chiffres est divisible par 101.	12 423	1 – 24 + 23 = 0	>>>
111₁	Somme des blocs de trois chiffres	13 653	13 + 653 = 666	>>>
111₂	Divisible par 3 et par 37.
125	cdu = {000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875}.	7 375	375
137	Si somme alternée des tranches de quatre chiffres est divisible par 137.			>>>
143	Si somme alternée des tranches de trois chiffres est divisible par 143.	14 157	157 – 14 = 143	>>>
200	c pair, d = 0 et u = 0.	11 800	800
250	cdu = {000, 250, 500, 750}.
303	Somme des blocs de quatre chiffres	373 902	37 + 3902 = 3939	>>>
333	Somme des blocs de trois chiffres			>>>
399	A centaines + B (deux derniers chiffres) est divisible par 399	2 394	23 + 4 x 94 = 399	>>>
500	cdu = {000, 500}.	1 500
909	Somme des blocs de quatre chiffres	373 902	37 + 3902 = 3939	>>>
999	Somme des blocs de trois chiffres	111 807	11 + 1807 = 1818	>>>
1000	Terminé par 000. c = 0, d = 0 et u = 0.	123 000
1001	Somme alternée des blocs de trois chiffres	1 235 234	1 – 235 + 234 = 0	>>>
1111	Somme des blocs de quatre chiffres	135 8753	135 + 8753 = 8888	>>>

Voir aussi Divisibilité par l'unité tronquée / Empreinte de divisibilité /

Divisibilité "du" / Divisibilité "cdu"

Aussi: 133 / 222 / 240 / 504 / 512 / 576 / 641 / …

DIVISIBILITÉ des NOMBRES CONSÉCUTIFS

Deux nombres consécutifs

Parmi deux nombres consécutifs, il y en a toujours un qui est pair.

Le produit de deux nombres consécutifs est toujours pair.
n (n + 1) est divisible par 2.

Trois nombres consécutifs

Parmi trois nombres consécutifs, il y en a toujours un qui est divisible par 3.
Aussi: il y en toujours au moins 1 qui est pair.

Le produit de trois nombres consécutifs est toujours divisible par 6.
(n – 1) n (n + 1) est divisible par 6.

Remarquons que 6 = 2 x 3 = 3 ! (factorielle 3)

n nombres consécutifs

Le produit de r nombres consécutifs est toujours divisible par r!.
(n – 1) n (n + 1) est divisible par 6.

Voir Démonstration

Exemples avec r = 5

Voir Coefficient du binôme / Factorielle tronquées et somme des facteurs / Identités remarquables et consécutifs

Cas particuliers

Deux nombres pairs consécutifs

Parmi deux nombres consécutifs pairs consécutifs, l'un des deux est divisible par 4.

Le produit de deux nombres PAIRS consécutifs est toujours divisible par 8.
2n (2n + 2) est divisible par 8.

Trois nombres consécutifs, le central est impair

Parmi trois nombres consécutifs, l'un est divisible par 3. Comme le central est impair, il est flanqué de deux nombres pairs consécutifs, dont le produit est divisible par 8.

Le produit de trois nombres consécutifs dont le central est impair,
est toujours divisible par 24.
(I – 1) I (I + 1) est divisible par 24.

Voir Divisibilité par 24

Nombres BLOCS

Propriété

Un nombre formé de blocs répétitifs est divisible par ce bloc.

Exemples

Explication: 555 = 500 + 50 + 5 = 5 (100 + 10 + 1) = 5 x 111

565656 = 560000 + 5600 + 56 = 56(10000 + 100 + 1) = 56 x 10101

Suite	Autres cas de divisibilité Division par 9, 99,999 … Divisibilité – Méthodes générales Divisibilité d'une somme de nombres consécutifs Divisibilité d'un produit de nombres consécutifs Racine Numérique Divisibilité – Index Théorèmes sur la divisibilité Nombres divisibles persistants
Voir	Calcul mental – Index Clé de divisibilité Divisibilité des triplets de Pythagore Divisibilité pour juniors Factorisation d'un nombre Géométrie – Index Nombres parfaits Théorie des nombres – Index
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