collection de nombres, divisibilité par 512

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 19/09/2010 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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DIVISIBILITÉ par 512

Critères de divisibilité

et formes polynomiales divisibles

Voir Règles générales

Théorème

f(n) = 3²ⁿ⁺⁵ + 160n² - 56n - 243

est divisible par

512

Démonstration

Validation du point de départ
Valeur pour f(1) Le théorème est vrai pour n = 1	f(1)	= 3⁷ + 160 - 56 - 243 = 2187 - 139 = 2048 = 512 x 4
Validation de la récurrence
Supposons le théorème vrai pour n	f(n)	= 512 .k
Calculons la valeur pour n+1 Sortons les puissances comme indiqué On essaie de dégager des exposants identiques à ceux de f(n)	f(n+1)	= 3^{2(n+1) + 5} + 160 (n+1)² - 56(n+1) - 243 = 9. 3²ⁿ⁺⁵ + 160 (n²+2n+1)² - 56n-56 - 243 = 9. 3²ⁿ⁺⁵ + 160 n² + 264 n - 139
Calculons la différence indiquée	9f(n) - f(n+1)	= 9. 3²ⁿ⁺⁵ + 9.160 n²- 9.56n - 9.243 - 9. 3²ⁿ⁺⁵ - 160 n² - 264 n + 139 = 8.160 n² - 768 n - 2048 = 256 (5 n² - 3n - 4)
La différence est déjà divisible par 256 Il faut encore trouver que la parenthèse est divisible par 2 Un petit tour de passe-passe est nécessaire!	5 n² - 3n - 4	= 8 n² - 2n - 4 - 3 n² - n = 2 (4 n² - n - ²) - 3n (n-1)
La première partie est divisible par 2 La seconde est le produit de deux nombres consécutifs: elle est divisible par 2 (l'un des deux nombres est pair)		= 2 a - 2 b
Bilan pour la parenthèse	5 n² - 3n - 4	= 2 a - 2 b = 2k
Revenons à la différence	9f(n) - f(n+1)	= 256 (5 n² - 3n - 4) = 256 . 2 . k = 512 . h
La différence est divisible par 512 L'un des termes de la différence est divisible par 512 (notre hypothèse) L'autre terme doit l'être aussi pour assurer la divisibilité de la différence	f(n) f(n+1)	= 512 . k = 512 . h
Conclusion
Si la propriété est vraie pour une valeur (n) Elle est vraie pour la valeur suivante (n + 1) Or elle est vérifiée pour n = 1 Elle est vraie pour tous les nombres suivants

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Formes polynomiales en général

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Divisibilité par 504

Nombres parfaits

Théorie des nombres

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