NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 15/09/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	DIVISION
Débutants Division	Divisibilité				Glossaire Division
INDEX Divisibilité	Introduction		Par 4	Critères
		Sommaire de cette page >>> Divisibilité par 4 >>> Test en 2d + u >>> Test de parité >>> Divisibilité par 4 & 8 >>> Nombres en n + 8 >>> Quatre opérations >>> Le plus petit nombre en 3 et 4, divisible par 3 et 4 >>> Somme de deux carrés >>> Différence de carrés >>> Somme et différence de nombres impairs >>> Divisibilité de 7^n – 3^n

DIVISIBILITÉ par 4

Critères de divisibilité

et formes polynomiales divisibles.

Voir Règles générales de divisibilité

Devinette

Laquelle de ces affirmations est fausse? Trouvez la réponse sans effectuer les divisions.

12 est multiple de 2.

123 est multiple de 3.

1234 est multiple de 4.

12345 est multiple de 5.

123456 est multiple de 6.

Solution

Critères en bref

Il suffit de s'intéresser aux deux derniers chiffres

N = …. d u

Dizaine & Unité

Un nombre est divisible par 4 si et seulement si:

Règle simple	Règle avancée	Règle pour matheux
Si du est divisible par 4	Si 2d + u est divisible par 4	u étant pair Si d et u/2 sont de même parité
116 16 est divisible par 4 116 est divisible par 4.	156 2x5 + 6 = 16 divisible par 4 156 est divisible par 4.	196 6 est pair 9 et 3 sont impairs tous les deux 196 est divisible par 4.

Voir Règles générales / Divisibilité par 8 avec critères semblables

DIVISIBILITÉ par 4 –Simple et classique
Un nombre est divisible par 4 si ses 2 derniers chiffres sont divisibles par 4.	Exemples 36 = 4 x 9 1 336 = 4 x 334 … 36 = 4 k Explication 1 336 = 13 x 100 + 36 = 4 x 25 x 13 + 36 La partie jaune (les centaines) est toujours divisible par 4; reste à vérifier que le reste (36) l'est. Ce qui est le cas ici.
Démonstration Le nombre est exprimé comme la somme de ses centaines et ses dizaines et unités.	N = 100k + du N = 4 (25k) + du
Le premier terme déjà est divisible par 4	4 (25k)
Pour que N soit divisible par 4, il faut que l'autre terme soit divisible par 4.	du

Voir Expression décimale des nombres

DIVISIBILITÉ par 4 – Avancé
Un nombre est divisible par 4 si 2d + u est divisible par 4.	Exemples 1 336 => 2 x 3 + 6 = 12 1 344 => 2 x 4 + 4 = 12
Démonstration Nous savons qu'il suffit de s'intéresser aux deux derniers chiffres.	n = 10d + u
Arrangeons la somme pour en extraire le maximum divisible par 4.	n = 4 x 2d + 2d + u
Le premier terme est divisible par 4.	4 x 2d
Pour que n soit divisible par 4, il faut que les autres termes soient divisibles par 4.	2d + u

DIVISIBILITÉ par 4 – Calculs minimums
Un nombre est divisible par 4 si d pair et u = {0, 4, 8}, ou si d impair et u = {2,6}	Exemples 1 336 => 3 impair et 6+2 = 8 divisible. 1 344 => 4 pair et 4 divisible.
Démonstration Nous savons qu'il suffit de s'intéresser à du	n = 10d + u
Si d est pair	n = 10(2h) + u n = 20h + u Divisible par 4 si u l'est
Si d est impair	n = 10(2h+1) + u n = 20h + 10 + u n = 20h + 8 + 2 + u Divisible par 4 si u + 2 l'est, sans dépasser 10.

DIVISIBILITÉ par 4 – Pour les matheux
Un nombre est divisible par 4 si u étant pair u/2 et d sont de même parité	Exemples 1 336 => 3 et 6/2 = 3 sont impairs 1 344 => 4 et 4/2 = 2 sont pairs
Démonstration Nous savons qu'il suffit de s'intéresser à du	d pair et u = {0, 4, 8} d impair et u = {2, 6}
Autre formulation. Soit toutes les possibilités de 0 à 5.	d pair et u/2 = {0, 2, 4} d impair et u/2 = {1, 3}
Constat.	d et u/2 sont de même parité.

Curiosité
Tous les nombres divisibles par 4 (N = 4k) sont de la forme : N = (k+1) + (k-1) + (k.1) + (k/1) = 4k impliquant le résultat des quatre opérations. Voir Quatrops

Le plus petit nombre en 3 et 4, divisible par 3 et 4

Énigme 1

Quel le plus petit nombre en 3 et 4 qui est divisible par 3 et 4?

Chaque chiffre (3 et 4) doit être présent au moins une fois.

Solution

Les suivants: 4344, 33444, 34344, 43344 …

Énigme 2

Même question, mais avec 2 et 3 et N divisible par 2 et 3.

Solution

N est pair donc le chiffre des unités est 2 (3 est évidemment impossible).

On construit le nombre en ajoutant les dizaines: aucun n'est divisible par 3; avec les centaines, non plus.

Avec les milliers, trois chemins montrent des nombres divisibles par, contenant au moins un 2 et un 3 et que des 2 et des 3: 3222, 2322 et 2232. Et, c'est 2232 est le plus petit.

Tous les nombres les plus petits en p et q divisibles par p et q

En rouge, les deux nombres trouvés ci-dessus.

Ne sont montrées que les valeurs pot p>q, ces deux nombres étant permutables.

Les valeurs de p et q non mentionnées n'offrent aucun résultat. Par exemple, un nombre en 2 et 5 ne peut a être divisible à la fois par 2 et par 5: il y a conflit au niveau des unités.

Anglais

Every digit of a given positive integer is either a 3 or a 4 with each occurring at least once. The integer is divisible by both 3 and 4. What is the smallest such integer ?

Somme de carrés
Carrés Le carré d'un nombre pair est divisible par 4. Le carré d'un nombre impair moins 1 est divisible par 4. >>> Théorème a² + b² = 4k + r avec r = {0,1,2} jamais 3 Le reste de la division par 4 d'une somme de carré n'est jamais 3. Démonstration
Formes exprimées en dizaines et unités, d est un nombre et u un chiffre.		a = 10d + u b = 10d' + u'
Somme des carrés.		a² + b² = 100d + 20 du + u² + 100d' + 20d'u' + u'²
Divisibilité par 4 des termes avec facteur 100 et 20.		(a² + b²) mod 4 = u² + u'²
Seule chose à examiner =>		somme des carrés des unités
Tableau des possibilités En haut: la somme des carrés des unité. En bas le reste de la division par 4 Aucun reste en 3

Voir Somme de deux carrés / Modulo

Différence de carrés
Nombres (n – k) et (n + k), situés symétriquement par rapport à n	(n + k)² – (n – k)² = 4 k n

Voir Divisibilité par 8 / Écarts entre carrés

Somme et différence de nombres impairs
Approche Propriété de divisibilité de la somme et de la différence de deux nombres impairs: Il semblerait que tous ces nombres soient pairs et que l'un des deux soit divisible par 4.	Exemples 5 & 3 => S = 8 et D = 2 7 & 3 => S = 10 et D = 4 9 & 3 => S = 12 et D = 6 11 & 3 => S = 14 et D = 8
Démonstration

Voir application: Aire du triangle de Pythagore jamais un carré

DIVISIBILITÉ de 7^n – 3^n par 4
Pour les premières valeurs.	7 – 3 = 4 7^2 – 3^2 = 49 – 9 = 40 7^3 – 3^3 = 343 – 27 = 316
D'une manière générale, d'après une identité remarquable.	7^n – 3^n = (7 – 3) (7^n-1 + 7^n-2 x 3 +… + 7 x 3^n-2 + 3^n-1) = 4 k

Devinette – Solution

Laquelle de ces affirmations est fausse?

12 est multiple de 2 => 12 / 2 = 6
Ce nombre est pair (terminé par 0, 2, 4, 6, ou 8).

123 est multiple de 3 => 123 / 2 = 41
La somme des chiffres est 6, divisible par 3.

1234 est multiple de 4 => 1234 / 4 = 311,5 Intrus!

Le nombre 34 (deux derniers chiffres) n'est pas divisible par 4.

12345 est multiple de 5 => 12345 / 5 = 2 469

Divisible par 5 car terminé par 5.

123456 est multiple de 6 => 123456 / 6 = 20 276

Nombre pair et somme des chiffres divisible par 3; il est divisible par 2 et par 3; il l'est par 6.

En prolongeant: avec 7 et 8, les nombres ne sont pas des multiples. Par contre, avec 9:

123456789 / 9 = 13 717 421 (Somme des chiffres = 45, divisible par 9; le nombre est divisible par 9).

Retour / Nombre 123456789

Suite	Divisibilité de formes polynomiales
Voir	Nombres parfaits  Théorie des nombres – Index Calcul mental – Index
DicoNombre	Nombre 4 Nombre 44 Nombre 2232 Nombre 3444
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Renvois de liens

Divisibilité par 8 de la somme des carrés >>>