NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/07/2016 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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Nombres 81 et 44

Curiosité

Approche

Voyons les égalités suivantes: 81 = 100 – 10 – 9 = 81 x1 972 = 1000 – 10 – 18 = 81 x 12 Une forme se dessine: 10^2– 10 – 1 x 9 = 81 x 1 = 81 10^3– 10 – 2 x 9 = 81 x 12 = 972 10^4– 10 – 3 x 9 = 81 x 123 = 9963 10^5– 10 – 4 x 9 = 81 x 1234 = 99954 10^6– 10 – 5 x 9 = 81 x 12345 = 999945 10^7– 10 – 6 x 9 = 81 x 123456 = 99999927 10^8– 10 – 7 x 9 = 81 x 1234567 = 999999918 10^9– 10 – 8 x 9 = 81 x 12345678 = 9999999909 10^10– 10 – 9 x 9 = 81 x 1234567900 = 99999999900

Forme divisible par 81
Le tableau ci-dessus montre que 10^n+1 – 10 – 9 n = 81 k avec les valeurs de k prenant successivement les valeurs: 1 12 123 1234 12345 123456 1234567 12345678 123456789 1234567900 12345679011 123456790122 1234567901233 12345679012344 123456790123455 1234567901234566 12345679012345677 123456790123456788 1234567901234567899 12345679012345679010

Apparition des 1 …

Reprenons la forme divisée par 81, puis calculons la progression de ce résultat: Ex: 492 – 48 = 444. Nous obtenons une cascade de 1 … n N = 10^n+1 – 10 – 9n N / 81 N – N précédent 1 81 1 1 2 972 12 11 3 9963 123 111 4 99954 1234 1111 5 999945 12345 11111 6 9999936 123456 111111 7 99999927 1234567 1111111 8 999999918 12345678 11111111 9 9999999909 123456789 111111111 10 99999999900 1234567900 1111111111 11 999999999891 12345679011 11111111111 12 9999999999882 123456790122 111111111111 13 99999999999873 1234567901233 1111111111111 14 999999999999864 12345679012344 11111111111111 15 9999999999999855 123456790123455 111111111111111 16 99999999999999846 1234567901234566 1111111111111111 17 999999999999999837 12345679012345677 11111111111111111 18 9999999999999999828 123456790123456788 111111111111111111 19 99999999999999999819 1234567901234567899 1111111111111111111 {10^n+1 – 10 – 9 n} / 81 = 1 + 11 + 111 + … + 11…1nfois Évidemment l'égalité reste valable en multipliant par un nombre: 2 x {10^n+1 – 10 – 9 n} / 81 = 2 + 22 + 222 + … + 22…2nfois 3 x {10^n+1 – 10 – 9 n} / 81 = 3 + 33 + 333 + … + 33…3nfois 4 x {10^n+1 – 10 – 9 n} / 81 = 4 + 44 + 444 + … + 44…4nfois Etc.

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DicoNombre	Chaque nombre Nombre 4 Nombre 81
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