NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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>>> INDEX

 

Index divisibilité

Nombres en nk + kn

Nombres en  nx  y

Nombres en  an + bn

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Cas n = 4

 

 

 

 

 

NOMBRES en NK + KN

 

Ces nombres sont rarement premiers.

Dans le cas de k = 4, seul 5 pour n = 1 est premier.

 

 

Approche

 

 

Table des valeurs de nk + kn pour n et k de 1 à 10

Repérage des nombres premiers en jaune

 

 

Lecture: 11 + 11 =   2, premier
                21 + 12 =   3, premier
                25 + 52 = 57, composé.

 

Observations

Il semble qu'à partir de k = 4, la plupart des nombres nk + kn soient composés.

En poursuivant les calculs jusqu'à n = 1000, on observerait que pour:

 

 

 

 

 

Cas n = 4

Étude du cas

N = n4 + 4n

 

Si n est pair

ü N est pair, donc non premier.

n4 + 4n

= (2k)4 + 42k

Si n est impair

ü Cherchons une mise en facteur.

ü Le premier terme est un carré.

ü Le deuxième aussi, finalement.

n4 + 4n

n4

4n

= n4 + 4n

= (n2)2

= (2x2)n = 2n.2n =

Exprimons N

ü En somme de deux carrés.

ü Essayons de révéler une identité remarquable.

n4 + 4n

= (n2)2 + (2n)2

= (n2)2 + (2n)2

+ 2(n²)(2n) – 2(n²)(2n)

= (n2 + 2n)2 – 2n+1

Nous sommes dans le cas où n est impair

ü Alors, n+1 est pair.

ü Sa moitié est un nombre entier.

ü Nouvelle écriture du terme de droite.

ü Qui devient un carré.

2n+1

= 2(n+1)/2 n . 2(n+1)/2 n

= { 2(n+1)/2 n }²

Nouvelle expression de N

ü Qui conduit à une différence de 2 carrés.

ü Et à une factorisation immédiate.

ü Donc N est le produit de 2 facteurs; il n'est pas premier.

ü À condition de vérifier que ces facteurs sont  bien différents de 1.

n4 + 4n

= (n2 + 2n)2 – { 2(n+1)/2 n }²

 

= (n2 + 2n – 2(n+1)/2 n)

   (n2 + 2n + 2(n+1)/2 n)

 

Facteurs différents de 1

D'abord, des deux facteurs.

ü On se souvient que n > 2.

ü Le facteur de gauche est le plus petit, strictement.

 

(n2 + 2n – 2(n+1)/2 n) < (n2 + 2n + 2(n+1)/2 n)

Étudions ce facteur de gauche

ü Pour y révéler une identité remarquable.

ü Le premier terme est un carré, il est positif.

F

= n2 + 2n – 2(n+1)/2 n

= n2 – 2.n.2n/2 + 2n + 2.n.2n/2 – 2(n+1)/2 n

= (n² – 2n)² + 2.n.2n/2 – 2(n+1)/2 n

Calculons le second facteur.

 

2.n.2n/2 – 2(n+1)/2 n

ü Pour quelques valeurs de n.

 

ü Ce facteur est supérieur à 1 pour n > 2

n = 1

2

3

4

5

N = 0,82

2,34

4,90

9,37

16,5

ü Dans tous les cas la somme des deux facteurs est supérieure à 1.

ü N est donc bien le produit de 2 facteurs différents de 1.

N n'est pas premier

pour n > 1

 

 

Quelques valeurs:

 

 

 

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