NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 11/08/2007

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DIVISIBILITÉ par 240

Formes polynomiales divisibles

Voir Règles générales

Théorème

n^5 - n est divisible par 240

§ pour n impair

Voir Démo

-Ý - PROPRIÉTÉS

Théorème

n^4 - 1 est divisible par 240

§ pour n premier >5

-Ý - DÉMONSTRATION

Outils

Les nombres premiers, excepté 2	sont tous impairs
Le carré d'un nombre impair	est impair
Factorisation N= n^4-1	= (n² - 1) (n² + 1)
n² - 1 pour n premier > 3	divisible par 24
Petit théorème de Fermat pour tout p premier et tout n premier avec p	n ^p-1 - 1 est divisible par p

Démonstration

1ère étape: facteurs
N = n^4 - 1	= (n² - 1) (n² + 1)
2^ème étape: n et son carré
n	est premier > 3	n est impair
n²	carré d'un nombre impair	est impair
n² - 1	impair moins 1	est pair, divisible par 2
3^ème étape: divisibilité d'un forme
n² - 1	avec n premier > 3	est divisible par 24
4^ème étape: divisibilité selon le petit théorème de Fermat
N = n^4 - 1 = n^p-1 - 1	avec p = 5 qui est premier
	et avec n premier > 5 donc premier avec p	Fermat => N est divisible 5
5^ème étape: conclusions
N = n^4 - 1	est divisible par 2 , 24 et par 5, donc par leur produit 240 pour tout n premier supérieur à 5

-Ý - EXEMPLES

Illustration

p	p^4 - 1	240	.k
2	15
3	80
5	624
7	2 400	240	10
11	14 640	240	61
13	28 560	240	119
17	83 520	240	348
19	130 320	240	543
23	279 840	240	1 166
29	707 280	240	2 947
31	923 520	240	3 848
37	1 874 160	240	7 809
41	2 825 760	240	11 774
43	3 418 800	240	14 245
47	4 879 680	240	20 332

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