Divisibilité de carré plus un

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	DIVISIBILITÉ
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Divisibilité de n² + 1

On connait les cas de divisibilité de n² – 1.

Que peut-on dire de n² + 1?

Ce nombre est parfois divisible par 2 ou 5,

mais jamais divisible par 3, 4, 6, 7, 8, 9 …

Approche

Nous dressons le tableau des nombres n² + 1 pour n de 1 à 12 et de leur division par les nombres de 2 à 10, avec en rouge les cas de divisibilité.

Sur ce tableau aucun cas de divisibilité pour les divisions par 3, 4, 6, 7, 8 et 9 (pas de rouge sur ces lignes. Est-ce une généralité?

Exemples de lecture: n = 3 alors n² + 1 = 9 + 1 = 10 qui est divisible par 2 (2 x 5 = 10), mais pas par 3 (3 x 3, 333… = 10).
Pour n = 6, n² + 1 = 37, et ce nombre n'est divisible par aucun des nombre de 2 à 10.

Notre bagage

Pour allons prendre la forme générique de n selon la division que nous voulons tester.

Si nous cherchons la divisibilité par 3, nous écrirons n = 3k + h, avec h le reste de la division de n par 3, soit un des nombres: h = {0, 1, 2}.

Pour chacun des restes possibles, nous étudierons la divisibilité de n² + 1 par 3.

Ceci en mettant en évidente des termes qui sont des multiples de 3 et une constante qui ne l'est pas. Ce qui montrerait que n² + 1 n'est pas divisible par 3.

Divisibilité par 3
Un nombre selon sa divisibilité par 3	n	= 3k + h
Carré plus 1	n² + 1	= 9k² + 6kh + h² + 1
Si divisible: h = 0	n² + 1	= 9k² + 1 non divisible par 3
Si reste h = 1	n² + 1	= 9k² + 6k + 1 + 1 non divisible par 3
Si reste h = 2	n² + 1	= 9k² + 12k + 4 + 1 non divisible par 3
n² + 1 n'est pas divisible par 3

Divisibilité par 4
Un nombre et sa divisibilité par 4	n	= 4k + h
Carré plus 1	n² + 1	= 16k² + 8kh + h² + 1
Si divisible: h = 0	n² + 1	= 16k² + 1 non divisible par 4
Si reste h = 1	n² + 1 Premier facteur Second facteur	= 16k² + 8k + 1 + 1 = 2 (8k² + 4k + 1) divisible par 2 non-divisible par 2 non divisible par 4
Si reste h = 2	n² + 1	= 16k² + 16k + 4 + 1 non divisible par 4
Si reste h = 3	n² + 1	= 16k² + 24k + 9 + 1 non divisible par 4
n² + 1 n'est pas divisible par 4

Divisibilité par 6
Un nombre et sa divisibilité par 4	n	= 6k + h
Carré plus 1	n² + 1	= 36k² + 12kh + h² + 1
Si divisible: h = 0	n² + 1	= 36k² + 1 non divisible par 6
Si reste h = 1	n² + 1	= 36k² + 12k + 1 + 1 non divisible par 6
Si reste h = 2	n² + 1	= 36k² + 24k + 4 + 1 non divisible par 6
Si reste h = 3	n² + 1	= 16k² + 36k + 9 + 1 non divisible par 6
Si reste h = 4	n² + 1	= 16k² + 48k + 16 + 1 non divisible par 4
Si reste h = 5	n² + 1	= 16k² + 60k + 25 + 1 non divisible par 4
n² + 1 n'est pas divisible par 6

Conclusion à ce niveau

Lorsque nous examinons la divisibilité nous avons en face de nous une expression faite:

d'une partie systématiquement divisible et

d'une partie à étudier; celle-ci est égale à h² + 1 (en violet)

L'examen se simplifie.

Le tableau suivant donne le bilan de cet examen.

Cas de divisibilités de n² +1 jusqu'à d = 19

Dressons le tableau des valeurs de h et de h² + 1 selon toutes les possibilités de division de d = 2 à 19.

Les restes nuls sont témoins d'une divisibilité. Par exemple, si h = 2 ou 3, h² + 1 est divisible par 5; ainsi que n² + 1.

La lecture en vertical est définitive:

n² + 1 n'est jamais divisible par d = {3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 18, 19}

La lecture en horizontal n'est valable que pour les divisions jusqu'à d = 19.

Par exemple, si un nombre n est divisible par d (h = 0), n² + 1 ne l'est pas;

Si n présente un reste de h = {6, 9 , 10, 11, 12 …}, alors n² + 1 ne semble pas être divisible.

Cas de divisibilités de n² +1 jusqu'à d = 101

Ce tableau donne les 49 cas de divisibilité de n² + 1 jusqu'à d = 101. Il reprend les neuf cas de divisibilité trouvés ci-dessus (jaune).

Par exemple, une divisibilité par 5 est trouvée pour h = 2; ce qui veut dire que si n divisé par 5 donne un reste égal à 2, alors n² + 1 est divisible par 5. Même chose si le reste est 3.

Plus loin dans ce tableau, si un nombre divisé par 25 donne un reste de 7, alors n² + 1 est divisible par 25.
Exemple: n = 107 = 4 x 25 + 7; n² + 1 = 107² + 1 = 11 450 = 25 x 458.

Pour toutes les valeurs de d non mentionnées, n² + 1 n'est pas divisible par d.

Bilan

Curieusement, il existe une majorité de nombres qui ne divise jamais n² + 1 dont les premiers sont: 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 27 …

Cas de n³ + 1

Le tableau présente une belle diagonale!

Pas étonnant, selon l'identité: n³ + 1 = (n + 1) (h² – h + 1), dont divisible par n + 1.

Pour ceux qui voudraient explorer les puissances supérieures:

la quantité de divisibilités avec 4 et 8, comme avec 2, reste faible (30 cas et 26 cas).

par contre pour toutes les autres puissances la quantité explose: 206 avec 3 (dont 100 sur la diagonale); 180 avec 5; 84 avec 6; 148 avec 7; 272 avec 9 …

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