Définition

&

Commentaires

*        Équations avec des entiers.

*        Équations à coefficients entiers dont on cherche des nombres entiers comme  racines.

Équation de la forme P(x,y,z …) = 0

où P est un polynôme à coefficients dans Z ou Q

dont on cherche des solutions dans Z ou Q

 

Z: Ensemble des nombres entiers rationnels

Q: Ensemble des nombres rationnels

 

*            Nommées d'après Diophante d'Alexandrie (vers 250 de notre ère).

*            Souvent très difficiles à résoudre. Toujours objet de recherche.

*            Deux outils souvent utilisés pour travailler sur ces équations: les nombres complexes et les fonctions elliptiques.

*            En 1970, Yuri Matiyasevich prouve qu'il est impossible de trouve un algorithme qui résout toutes les équations diophantiennes.

 

Équations diophantiennes typiques

Équations

Exemple

Commentaires

ax + by

= 1

14x + 9y = 1

x = 2 + 9t

y = –3 – 14t

Identité de Bézout.

Si une solution existe, il en existe une infinité.

Problème des cent volailles. Origine chinoise.

x2 + y2

= z2

3, 4, 5 (25)

Triplets de Pythagore.

Infinité de solutions pour E2.

x2 + y2

yz

= z2

= 2t²

/

Théorème de Bachet. Aucun triangle pythagorique n'a une aire carrée.

x2

n

x² – ny²

= n.y2 + 1

non carré

=

3² = 2 x 2² + 1

Équation de Pell - Fermat.

Infinité de solutions.

x2 – y2

y2 – z2

= r

= r

7, 5, 1 (24)

Premier cas

(r = raison de la progression arithmétique).

x² – 2y²

= 1

577, 408

Une des neuf solutions. La plus petite avec 3 et 2.

x² – 61y²

= 1

1 766 319 049

   226 153 980

Plus petite solution.

x² – 3y²

=1

3x4² = 1

Nombres octogonaux centrés.

x2 + z2

= 2y2

1, 7, 5 (50)

Autre formulation de la progression arithmétique. >>>

x² + y² + z² 

= 3xyz

1, 2, 5

Équation de Markov.

x3 + z3

= 2y3

/

Impossible pour des nombres distincts – Euler.

x4 + z4

x4 + z4

= 2y2

= 2Y4

/

Impossible pour des nombres distincts – Legendre.

xn + zn

= 2yn

/

Impossible. Conséquence du théorème de Fermat-Wiles, déduite par Darmon et Merel.

x2 + 1

= 2y4

x = 1 ; y = 1

x = 239 ; y = 13

Deux solutions.

x² + y²

= z² + t²

65 = 49 + 16

     = 64 +   1

Nombre plusieurs fois somme de deux carrés.

Infinité de solution. >>>

x² – z²

= t² – y²

15 = 4² – 1²

     = 8² – 7²

Même identité que la précédente.>>>

Infinité de solution. Voir méthode de création

x² + 7

= 2n

1² + 7 = 23

181² + 7 = 215

Équation de Ramanujan-Nagell

Seulement cinq solutions dont la plus grande avec x = 181.

= x3 – k

  52 = 33 – 2

11² = 53 – 4 

Équation de Bachet-Mordell

= x3 + k

k = 7 aucune solution en nombre entier

Équation de Mordell (1920).

Pour tout k, l'équation a un nombre fini de solutions entières ou pas de solutions.

Cas particulier de l'équation de Thue.

y² + 1000

y² + 999

 

y2 – x3

= x3 + 1

= x3

 

= k

(1,10),(27,12) …

Note: le nombre k = 999 est typique, mais cette équation a de nombrasses solutions avec d'autres valeurs de k:

… 991, 996, 999, 1000, 1007 …

Voir Équation de Bachet, ci-dessus.

Quelques solutions avec Maple

x2 + 3y2

= z3

10, 9, 7 (343)

Nombreuses solutions.

x = a(a2 – 9b2), y = 3b(a2 – b2)

avec (X, Y) et (a, b) premiers entre eux.

Alors z = (a² + 3b²).

Équation utile pour la démonstration du théorème de Fermat pour n = 3.

x3 + y3

= z3

/

Aucune solution pour E3.

x3 + y3

= z3 + 1

9, 10, 12 (1729)

Triplet de Ramanujan.

x3 + y3

= z3 + t3

2, 16, 9, 15 (4104)

Nombre somme de deux cubes deux fois.

x3 + y3

= z2

1, 2, 3 (9)

4, 8, 24 (576)

2, 2, 4 (16)

Catalan – Seule solution pour z = 1.

Nombreuses solutions en général.

x3 + y3 + z3

= t

42 = ?

Problème de la somme des trois cubes.

x3 + y3 + z3

= t3

3, 4, 5, 6 (216)

1, 6, 8, 9 (729)

6, 8, 10, 12 (1728)

2, 12, 16, 18 (5832)

9, 12, 15, 18 (5832)

Quadruplet remarquable.

Autres solutions.

 

Cube deux fois somme de trois cubes.

 

x4 + y4

= z2

/

Aucune solution pour E42; plus fort que E4.

x4 – y4

= z2

/

Variante de E42.

x4 + y4

= z4

/

Aucune solution pour E4.

n4 + 4n

= x.y ?

5 , 32 , 145 …

Nombres de Leyland.

xn – yn

= 1

32 – 23 = 1

Équation de Catalan.

Seule solution.

xn + yn

= zn

/

Fermat-Wiles valable pour n>2.

Aucune solution pour En avec n > 2.

xn + yn

= 2zn

x = y = z

Solutions triviales pour n>2.

Démontré en 1997 par Darmon et Merel.

  (35 – 1) / (3 – 1) = 112

  (74 – 1) / (7 – 1) = 202

(183 – 1) / (3 – 1) = 173

Trois seules solutions.

Conjecture.

Théorème de Bugeaud-Mignotte.

 

Nombres consécutifs.

n! + 1

= m²

4! + 1 = 5² = 25

5! + 1 = 11² = 121

7! + 1 = 71² = 5 041

Équation de Brocard.

Les trois seules solutions connues.

Voir Conjecture ABC

 

n > 2

c rationnel non nul

ai rationnels

Équation de Thue qui selon certaines conditions a un nombre fini de solutions.

Voir Divisibilité des formes polynômiales

 

Énigme elliptique …

Voir Solution (pas simple!)

 

 

 

Anglais

*        Diophantine equation.

*        An algebraic equation in one or more unknowns with integer coefficients, for which integer solutions are required.

A great variety of Diophantine equations have been studied:

Some have infinitely many solutions (notez la tournure anglaise);

Some have no solutions.

En savoir plus

 

*           Brahmagupta – Identités de-

*           DIOPHANTE – Biographie

*           Carrés et cubes

*           Conjectures - nombreuses sur les équations diophantiennes

*           Conjecture ABC

*           Courbes elliptiques

*           Deux entre carré et cube

*           Entiers de Gauss et cercle

*           Équation d'Euler (conjecture fausse)

*           Équation de Markov

*           Équation en y3 = ax² + bx + c

*           Équation elliptique

*           Équation en 100 d'Abu Kamil

*           Formules donnant des nombres premiers

*           Fractions égyptiennes: 1/x + 1/y = 1/z

*           Hilbert et son 10e problème

*           Pas d'algorithme pour l'équation diophantienne

*           Quand on connaît la somme et le produit

*           Quadruplets diophantiens

*           Résolution d'équations linéaires et PGCD

*           Singe et noix de coco – Résolution d'une équation diophantienne

*           Somme multipuissante

*           Système d'équations en 100

*           Système d'équations en 100

 

Particulières

24 = 42         >>>

32 – 23 = 1   >>>

Jeux

*           Chevaux œufs …

 

 

Livre

*       Histoire de l'analyse diophantienne classique: D’Abu Kamil à Fermat – Roshdi Rashed

Site

*       Mordell's equation – Keith Conrad

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