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Débutant DicoMot DicoNombre DicoCulture	Équations DIOPHANTIENNES

Définition & Commentaires

Équations avec des entiers. Équations à coefficients entiers dont on cherche des nombres entiers comme racines. Équation de la forme P(x,y,z …) = 0 où P est un polynôme à coefficients dans Z ou Q dont on cherche des solutions dans Z ou Q Z: Ensemble des nombres entiers rationnels Q: Ensemble des nombres rationnels Nommées d'après Diophante d'Alexandrie (vers 250 de notre ère). Souvent très difficiles à résoudre. Toujours objet de recherche. Deux outils souvent utilisés pour travailler sur ces équations: les nombres complexes et les fonctions elliptiques. En 1970, Yuri Matiyasevich prouve qu'il est impossible de trouve un algorithme qui résout toutes les équations diophantiennes.

Équations diophantiennes typiques

Équations		Exemple	Commentaires
ax + by	= 1	14x + 9y = 1 x = 2 + 9t y = –3 – 14t	Identité de Bézout. Si une solution existe, il en existe une infinité.
			Problème des cent volailles. Origine chinoise.
x^2 + y^2	= z^2	3, 4, 5 (25)	Triplets de Pythagore. Infinité de solutions pour E2.
x^2 + y^2 yz	= z^2 = 2t²	/	Théorème de Bachet. Aucun triangle pythagorique n'a une aire carrée.
x^2 n x² – ny²	= n.y^2 + 1 non carré =	3² = 2 x 2² + 1	Équation de Pell - Fermat. Infinité de solutions.
x^2 – y^2 y^2 – z^2	= r = r	7, 5, 1 (24)	Premier cas (r = raison de la progression arithmétique).
x² – 2y²	= 1	577, 408	Une des neuf solutions. La plus petite avec 3 et 2.
x² – 61y²	= 1	1 766 319 049 226 153 980	Plus petite solution.
x² – 3y²	=1	7² – 3x4² = 1	Nombres octogonaux centrés.
x^2 + z^2	= 2y^2	1, 7, 5 (50)	Autre formulation de la progression arithmétique. >>>
x² + y² + z²	= 3xyz	1, 2, 5	Équation de Markov.
x^3 + z^3	= 2y^3	/	Impossible pour des nombres distincts – Euler.
x^4 + z^4 x^4 + z^4	= 2y^2 = 2Y^4	/	Impossible pour des nombres distincts – Legendre.
x^n + z^n	= 2y^n	/	Impossible. Conséquence du théorème de Fermat-Wiles, déduite par Darmon et Merel.
x^2 + 1	= 2y^4	x = 1 ; y = 1 x = 239 ; y = 13	Deux solutions.
x² + y²	= z² + t²	65 = 49 + 16 = 64 + 1	Nombre plusieurs fois somme de deux carrés. Infinité de solution. >>>
x² – z²	= t² – y²	15 = 4² – 1² = 8² – 7²	Même identité que la précédente.>>> Infinité de solution. Voir méthode de création
x² + 7	= 2^n	1² + 7 = 2^3 ^… 181² + 7 = 2^15	Équation de Ramanujan-Nagell Seulement cinq solutions dont la plus grande avec x = 181.

y²	= x^3 – k	5^2 = 3^3 – 2 11² = 5^3 – 4	Équation de Bachet-Mordell
y²	= x^3 + k	k = 7 aucune solution en nombre entier	Équation de Mordell (1920). Pour tout k, l'équation a un nombre fini de solutions entières ou pas de solutions. Cas particulier de l'équation de Thue.
y² + 1000 y² + 999 y^2 – x^3	= x^3 + 1 = x^3 = k	(1,10),(27,12) … Note: le nombre k = 999 est typique, mais cette équation a de nombrasses solutions avec d'autres valeurs de k: … 991, 996, 999, 1000, 1007 … Voir Équation de Bachet, ci-dessus.	Quelques solutions avec Maple
x^2 + 3y^2	= z^3	10, 9, 7 (343)	Nombreuses solutions. x = a(a^2 – 9b^2), y = 3b(a^2 – b^2) avec (X, Y) et (a, b) premiers entre eux. Alors z = (a² + 3b²). Équation utile pour la démonstration du théorème de Fermat pour n = 3.
x^3 + y^3	= z^3	/	Aucune solution pour E3.
x^3 + y^3	= z^3 + 1	9, 10, 12 (1729)	Triplet de Ramanujan.
x^3 + y^3	= z^3 + t^3	2, 16, 9, 15 (4104)	Nombre somme de deux cubes deux fois.
x^3 + y^3	= z^2	1, 2, 3 (9) 4, 8, 24 (576) 2, 2, 4 (16)	Catalan – Seule solution pour z = 1. Nombreuses solutions en général.
x^3 + y^3 + z^3	= t	42 = ?	Problème de la somme des trois cubes.
x^3 + y^3 + z^3	= t^3	3, 4, 5, 6 (216) 1, 6, 8, 9 (729) 6, 8, 10, 12 (1728) 2, 12, 16, 18 (5832) 9, 12, 15, 18 (5832)	Quadruplet remarquable. Autres solutions. Cube deux fois somme de trois cubes.

x^4 + y^4	= z^2	/	Aucune solution pour E42; plus fort que E4.
x^4 – y^4	= z^2	/	Variante de E42.
x^4 + y^4	= z^4	/	Aucune solution pour E4.
n^4 + 4^n	= x.y ?	5 , 32 , 145 …	Nombres de Leyland.
x^n – y^n	= 1	3^2 – 2^3 = 1	Équation de Catalan. Seule solution.
x^n + y^n	= z^n	/	Fermat-Wiles valable pour n>2. Aucune solution pour En avec n > 2.
x^n + y^n	= 2z^n	x = y = z	Solutions triviales pour n>2. Démontré en 1997 par Darmon et Merel.
		(3^5 – 1) / (3 – 1) = 11^2 (7^4 – 1) / (7 – 1) = 20^2 (18^3 – 1) / (3 – 1) = 17^3		Trois seules solutions. Conjecture. Théorème de Bugeaud-Mignotte.

			Nombres consécutifs.
n! + 1	= m²	4! + 1 = 5² = 25 5! + 1 = 11² = 121 7! + 1 = 71² = 5 041	Équation de Brocard. Les trois seules solutions connues. Voir Conjecture ABC

n > 2 c rationnel non nul ai rationnels

Équation de Thue qui selon certaines conditions a un nombre fini de solutions.

Voir Divisibilité des formes polynômiales

Énigme elliptique …

Voir Solution (pas simple!)

Anglais	Diophantine equation. An algebraic equation in one or more unknowns with integer coefficients, for which integer solutions are required. A great variety of Diophantine equations have been studied: Some have infinitely many solutions (notez la tournure anglaise); Some have no solutions.
En savoir plus	Brahmagupta – Identités de- DIOPHANTE – Biographie Carrés et cubes Conjectures - nombreuses sur les équations diophantiennes Conjecture ABC Courbes elliptiques Deux entre carré et cube Entiers de Gauss et cercle Équation d'Euler (conjecture fausse) Équation de Markov Équation en y^3 = ax² + bx + c Équation elliptique Équation en 100 d'Abu Kamil Formules donnant des nombres premiers Fractions égyptiennes: 1/x + 1/y = 1/z Hilbert et son 10^e problème Pas d'algorithme pour l'équation diophantienne Quand on connaît la somme et le produit Quadruplets diophantiens Résolution d'équations linéaires et PGCD Singe et noix de coco – Résolution d'une équation diophantienne Somme multipuissante Système d'équations en 100 Système d'équations en 100
Particulières	2^4 = 4^2 >>> 3^2 – 2^3 = 1 >>>
Jeux	Chevaux œufs …

Livre	Histoire de l'analyse diophantienne classique: D’Abu Kamil à Fermat – Roshdi Rashed
Site	Mordell's equation – Keith Conrad
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Vocabula/GlosE/EquaDiop.htm