collection de nombres, divisibilité par 11

Pour trouver si un nombre est divisible par 11, il faut chercher son reste dans la division par 11 et, constater qu'il est nul. Faire la division c'est bien, mais c'est long !

Existe-t-il une astuce pour aller plus vite, sans effectuer l'opération ? Oui, et elle est relativement simple. Elle repose sur une particularité liant 11 à 100:

100 = 99 + 1

= 11 x 9 + 1

Il y a un 11 caché dans 100 !

Règle de divisibilité par 11
La règle est illustrée par cet exemple => Un nombre est divisible par 11 si la somme de ses chiffres de rang pair soustraite de la somme de ses chiffres de rang impair est nulle ou un multiple de 11.
Un truc de calcul mental permet de traiter le nombre chiffre après chiffre. Exemple précédent traité par cette méthode => Autre exemple pour pratiquer 10864197531 1086419752 108641973 10864194 1086415 108636 (41 – 5 = 36) 10857 (63 – 6 = 57) 1078 (85 – 7 = 78) 99 (107 – 8 = 99) Ce nombre est divisible par 11	Méthode par itérations sur le chiffre des unités, dite aussi critère dominos. Voir Critères de divisibilité domino pour d'autres nombres

Propriétés amusantes

Un nombre palindrome ou, a fortiori, un repdigit ayant une quantité paire de chiffres est divisible par 11. C'est le cas d'un nombre concaténé à son retourné. Le quotient est un nombre palindrome.

Exemples:

N = 123321; P = 1+3+2 = 6 ; I = 2+3+1 = 6; P – I = 0.

123321 = 11 x 11211

N = 777777; P = 7+7+7 = 21 ; I = 7+7+7 = 21; P – I = 0.

777777 = 11 x 70707

456 => N = 456 654 = 11 x 41 514

Un nombre de deux chiffres ajouté à son retourné est divisible par 11.

Exemple: 23 + 32 = 55 = 5 x 11. >>>

Un nombre ajouté à son retourné est divisible par 11 si la quantité de chiffres est paire.

Exemple

1289 + 9821 = 11 110

567891 + 198765 = 766 656 = 11 x 69 696

Les nombres en aa…abb..b avec une quantité paire de chiffres sont divisibles par 11.

Exemple: 88889999 = 11 x 8080909

Nombres de quatre chiffres divisibles par 11

Trois chiffres sur quatre sont fixés.

Quel est le quatrième pour que le nombre soit divisible par 11?

Exemples

123x => 1 + 2 = 4 et 2 + x = 4 => x = 2. En effet: 1232 = 11 x 112

5x26 => 5 + 2 = 7 et x + 6 = 7 => x = 1. En effet: 5126 = 11 x 466

Voir Divisibilité par 11, 101, 111 …

Explications détaillées

APROCHE – Reste de la division par 11

Comment trouver le reste d'une division par 11 sans effectuer l'opération. Une astuce consiste à trouver 11 et ses multiples dans le nombre pour les éliminer aussitôt.

Exemples:

Pour rechercher la divisibilité par 11, seul importe le reste R; la valeur de k ne nous intéresse pas.

Chaque fois que l'on peut trouver un multiple de 11, on l'élimine.

Parfois, on ajoute 11, pour éviter un nombre négatif.

L'astuce que nous allons examiner, consiste à considérer les puissances de 10.

Voir Modulo

ONZE ET PUISSANCES DE 10

La question que nous nous posons est: quels sont les restes de la division par 11 des puissances de 10.

Le reste de la division par 11 de 10ⁿ est
1 pour n pair & –1 pour n impair.

RACINE NUMÉRIQUE PAR 11

La racine numérique par 11 d'un nombre N est le reste de la division par 11 de ce nombre. L'intérêt réside dans le fait que celle-ci est facile à calculer comme nous allons le découvrir progressivement.

L'idée est qu'il faut retirer autant de fois 11 qu'on le peut.

Exemples:

13 => 13 – 11 = 2

25 => 25 – 22 = 3

100 => 100 – 99 = 1

Ce qui veut dire, pour ce dernier exemple que: 100 divisé par 11 donne 1 pour reste: 100 = 9 x 11 + 1

Racine numérique par 11 de 100 = R₁₁ (100) = 1.

Formalisation pour un nombre N

Voir Numération / Système décimal

Observez que seuls les chiffres sont utilisés pour former la racine numérique par 11. Sur cet exemple, 256 / 11 donne un reste de 3.

Règle

Sur ce principe et en prenant directement les racines numériques des puissances de 10, on arrive facilement à établir la règle suivante

La racine numérique par 11 d'un nombre est la différence entre:

la somme des chiffres de rang pair, et

la somme des chiffres de rang impair.

Exemple

N = 123456

R₁₁ = (6 + 4 + 2) – (5 + 3 + 1) = 12 – 9 = 3

En effet: 123456 = 11 223 x 11 + 3

Méthode alternative (plus pratique)

Faire le calcul par couple de chiffres.

Exemple

N = 123456

R₁₁ = (6 - 5) + (4 - 3) + (2 - 1) = 1 + 1 + 1 = 3

Se souvenant que la quantité de 11 ne compte pas, lorsque la soustraction donne un nombre négatif:

soit on le garde;

soit on ajoute 11.

Exemple pratique

N = 4 993 260 817 R₁₁ = ?

DIVISIBILITÉ par 11

Une première application du calcul de la racine numérique consiste à trouver rapidement si un nombre est divisible par 11.

Un nombre est divisible par 11 si

sa racine numérique par 11 est nulle.

Voir Formulation développée

Exemple général

N = 181 907

R₁₁ = (8-1) + (9-1) + (7-0) = 7 + 8 + 7 = 22 => 0 Divisible par 11.

Exemple avec divisibilité reconnaissable au premier coup d'œil

N = 333 333

R₁₁ = (3-3) + (3-3) + (3-3) = 0 => Divisible par 11.

N = 484

R₁₁ = 4 + 4 – 8 => Divisible par 11.

N = 913

R₁₁ = 9 + 3 – 1 => Divisible par 11.

Méthode par tranche de milliers

Cette méthode, valable pour les divisibilités par 7, 11 et 13, consiste à faire la somme des tranches paires de milliers diminuée de la somme des tranches impaires.

Ex: 1 358 024 679 1 + 24 – 358 – 679 = -1012 et 1012 = 11 x 92.

Ou 1012 avec méthode classique 1 + 1 = 0 + 2 divisible par 11.

Aucun nombre dont les chiffres se suivent n'est divisible par 11.

123456 => 1 + 3 + 5 = 9 et 2 + 4 + 6 = 12. Exemple généralisable.

PREUVE PAR 11

Principe

Si une opération est juste,
Son image en racine numérique par 11 est juste.
L'inverse n'est pas vrai: si l'image est juste, l'opération n'est pas forcément juste.

La preuve par 9 est un peu plus pratique; elle est plus utilisée.
Attention: comme pour celle-ci, la preuve par 11 donne une bonne indication sur la justesse d'une opération, mais n'en confirme pas la justesse à 100%.

Procédé

On prend la racine de chaque terme, on effectue l'opération sur ces racines, et

On compare à la racine du résultat de la vraie opération.

La preuve par 11 permet à coup sûr de retrouver un chiffre manquant dans une opération. Voir application au calcul des racines cubiques

Voir Fondements de la preuve par 11

NOMBRES en xyyx, xxxx, abcabc …

R₁₁ (abba) = (a-b) + (b-a) = 0
5665 = 11 x 515

Tous les nombres en abba

sont divisibles par 11.

Plus généralement:
R₁₁ (abcddcba) = (a+c+d+b) – (b+d+c+a) = 0
12 344 321 = 11 x 1 122 211

Tous les nombres, formés d'un nombre

concaténé à son retourné,

sont divisibles par 11.

Ou encore, dans la même veine
R₁₁ (abcd + dcba) = (a+d) – (b+c) + (c+b) – (d+a) = 0
4 567 + 7 654 = 12 221= 11 x 1111

Tous les nombres, somme d'un nombre ayant une quantité paire de chiffres et de son retourné,

sont divisibles par 11.

Voir Premiers de Luhn

R₁₁ (aaaa) = 1111 a = 11 x 101 x a
9999 = 11 x 909

Tous les nombres en aaaa

sont divisibles par 11 et par 101.

R₁₁ (abc… cba) = (a + c + …) – ( … + c + a)

4554 = 11 x 414

Tous les nombres palindromes

à quantité paire de chiffres

sont divisibles par 11.

R₁₁ (abc …abc) = a – b + c … – a + b – c = 0

123123 = 11 x 11 193

Tous les nombres à répétition d'un groupe de chiffres en quantité impaire

sont divisibles par 11.

Divisibilité de 3ⁿ⁺³ – 4⁴ⁿ⁺² par 11
Valeur pour n = 0	3⁰⁺³ – 4^4x0+2 = 3³ – 4² = 27 – 16 = 11 La divisibilité est vraie pour n= 0.
Valeur pour n + 1	3^(n+1)+3 – 4^4(n+1)+2 = 3ⁿ⁺⁴ – 4⁴ⁿ⁺⁶
But: faire émerger la forme en n	= 3ⁿ⁺³ x 3 – 4⁴ⁿ⁺² x 4⁴
Favoriser une mise en facteur de notre forme en n	= 3ⁿ⁺³ x 3 – 4⁴ⁿ⁺² x 256 = 3ⁿ⁺³ x 3 – 4⁴ⁿ⁺² x (253 + 3) = (3ⁿ⁺³ – 4⁴ⁿ⁺²) x 3 + 4⁴ⁿ⁺² x 253 Chance? 253 = 11 x 23
Combinaison linéaire de deux termes avec coefficient entiers.	= (3ⁿ⁺³ – 4⁴ⁿ⁺²) x 3 + 4⁴ⁿ⁺² x 11 x 23
Divisibilité par 11 de chacun des termes de la somme	(3ⁿ⁺³ – 4⁴ⁿ⁺²) x 3 + 4⁴ⁿ⁺² x 11 x 23 Si ce premier terme est divisible par 11, alors toute l'expression est divisible par 11.
Conclusion	Si l'expression est divisible par 11 pour n, elle est aussi pour n+1. Or elle est vraie pour n = 0. Par voie d'héritage, la propriété est vraie pour tout n.
Généralisation 3ⁿ⁺³ – 4⁴ⁿ⁺² La relation de divisibilité est vraie pour d'autres valeurs des termes additifs en rose.	Si 0 et 0 + 5k divisible par 11 Si 1 et 4 + 5k divisible par 11 Si 2 et 3 + 5k divisible par 11 Si 3 et 2 + 5k divisible par 11 … Divisible par 77 pour {0, 0}_P, {1, 4}_I, {2, 8}_P, {3, 12}_I, {4, 1}_P… L'indice impose que n soit pair ou impair.

Voir Démonstration par récurrence

Pannumériques divisibles par 11
Les deux nombres pannumériques les plus simples ne sont pas divisibles par 11.	123 456 789 ou 987654321 p = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 q = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 s = p + q = 45
Min et Max Quel est le plus grand nombre pannumérique divisible par 11? Le plus petit? Une recherche qui allie: le raisonnement, la clé de divisibilité par 11, et le tableur qui permet de tester rapidement les solutions. La somme de tous les chiffres est s = 45. Quelles sont les valeurs de p et q telles que p + q = 45 et p – q = 0 mod 11. Deux possibilités: (6 + 39) et (17 + 28). La somme 1 + 2 + 3 + 4 + 0 = 10 est supérieure à 6; le premier couple est éliminé. Le tableau montre comment parvenir à la solution en testant les derniers chiffres. En procédant de la même manière, on trouve les plus petits avec ou sans le 0. Solution un peu plus difficile à trouver. Sur les 10! = 3 628 800 permutations des dix chiffres, 316 800 sont divisibles par 11. Pannumériques partiels et divisibilité par 11 QtéDiv. = quantité de nombres avec les chiffres 1, 2, 3 divisibles par 11 Total = quantité de nombres avec ces chiffres Min et max: le plus petit et le plus grand divisibles par 11.	987 652 413 = 11 x 89 786 583 9 876 524 130 = 11 x 897 865 830 Les plus grands pannumériques divisibles par 11 À partir de la configuration maximale montrant un écart de 5, on passe à la configuration du dessous en remarquant qu'il faut retirer 3 à 20 et ajouter 3 à 25. 123 475 869 = 11 x 11 225 079 Le plus petit pannumérique divisible par 11 (sans 0) 1 024 375 869 = 11 x 93 125 079 Le plus petit pannumérique divisible par 11 (avec 0) Le 0 est placé juste après le 1 pour le rendre significatif. Ayant placé les 1, 2, 3 et 4, il faut faire 7 en deux nombres plus grands que 4, ce qui est impossible. Ayant placé les 1, 2 et 3, il faut faire 11, ce qui est faisable uniquement avec 5 et 6. Le reste découle naturellement.

Nombres divisibles pas 11 – Plus petits et plus grands
Nombres les plus petits et les plus grands par tranche de puissances de 10. Q: quantité de chiffres (tranche 10^Q-1 à 10^Q) R: le rang du nombre dans sa tranche
Sans le 0	Avec le 0

Amusements avec la divisibilité par 11

Nombre de trois chiffres successifs divisibles par 11

[liste des chiffres], quantité de nombres divisibles par 11, [les nombres]

[1, 2, 3], 2, [231, 132] Seuls nombres à trois chiffres successifs divisibles par 11

[2, 3, 4], 0, [] [3, 4, 5], 0, [] [4, 5, 6], 0, [] [5, 6, 7], 0, [] [6, 7, 8], 0, [] [7, 8, 9], 0, [] [8, 9, 0], 0, []

Nombre de quatre chiffres successifs divisibles par 11

[1, 2, 3, 4], 8, [3421, 2431, 4312, 1342, 4213, 1243, 3124, 2134]

[2, 3, 4, 5], 8, [4532, 3542, 5423, 2453, 5324, 2354, 4235, 3245]

[3, 4, 5, 6], 8, [5643, 4653, 6534, 3564, 6435, 3465, 5346, 4356]

[4, 5, 6, 7], 8, [6754, 5764, 7645, 4675, 7546, 4576, 6457, 5467]

[5, 6, 7, 8], 8, [7865, 6875, 8756, 5786, 8657, 5687, 7568, 6578]

[6, 7, 8, 9], 8, [8976, 7986, 9867, 6897, 9768, 6798, 8679, 7689]

[7, 8, 9, 0], 0, []

Nombre de cinq chiffres successifs divisibles par 11

[1, 2, 3, 4, 5], 0, []

[2, 3, 4, 5, 6], 12, [56342, 36542, 54362, 34562, 56243, 26543, 54263, 24563, 36245, 26345, 34265, 24365]

[3, 4, 5, 6, 7], 12, [74635, 64735, 73645, 63745, 74536, 54736, 73546, 53746, 64537, 54637, 63547, 53647]

[4, 5, 6, 7, 8], 12, [68574, 58674, 67584, 57684, 68475, 48675, 67485, 47685, 58476, 48576, 57486, 47586]

[5, 6, 7, 8, 9], 12, [97856, 87956, 95876, 85976, 97658, 67958, 95678, 65978, 87659, 67859, 85679, 65879]

[6, 7, 8, 9, 0], 14, [98076, 97086, 89067, 86097, 79068, 76098, 68079, 67089, 79860, 68970, 97680, 67980, 86790, 76890]

Nombre de six chiffres successifs divisibles par 11

[1, 2, 3, 4, 5, 6], 0, []

[2, 3, 4, 5, 6, 7], 0, []

[3, 4, 5, 6, 7, 8], 0, []

[4, 5, 6, 7, 8, 9], 0, []

[5, 6, 7, 8, 9, 0], 60, [560879, 560978, 567809, 567908, 580679, 580976, 587609, 587906, 590678, 590876, 597608, 597806, 608597, 608795, 609587, 609785, 658097, 658790, 659087, 659780, 678095, 678590, 679085, 679580, 760859, 760958, 765809, 765908, 780659, 780956, 785609, 785906, 790658, 790856, 795608, 795806, 806597, 806795, 809567, 809765, 856097, 856790, 859067, 859760, 876095, 876590, 879065, 879560, 906587, 906785, 908567, 908765, 956087, 956780, 958067, 958760, 976085, 976580, 978065, 978560]

Nombres pairs ou impairs

[1, 3, 5, 7], 8, [1375, 1573, 3157, 3751, 5137, 5731, 7315, 7513]

[2, 4, 6, 8], 8, [2486, 2684, 4268, 4862, 6248, 6842, 8426, 8624]

[2, 4, 6, 8, 0], 16, [24068, 24860,26048, 26840, 42086 42680 48026, 48620, 62084, 62480, 68024, 68420, 84062, 84260, 86042, 86240]

Division par 11: pourquoi une période à deux chiffres ?

Observons la division posée.
Effectivement, une fois passée la constante (25), on retrouve toujours les mêmes restes donc les mêmes chiffres dans le quotient:

279 / 11 = 25,363636…

Prenons le problème à l'envers: quels sont les nombres qui produisent une répétition de deux chiffres ? Essayons avec l'exemple précédent.

En soustrayant ce nombre de cent fois lui-même, il ne reste que le nombre entier formé des deux chiffres (36).

n	=	0,363636…
100n	=	36,363636…
99n	=	36,000000…

On en déduit la fraction pour n dans le cas de notre exemple ou, en généralisant, pour ab.

Or, la fraction 1/99 est spéciale:

En multipliant par 9, on obtient une relation de base pour le 1 divisé par 11.

Pour tous les nombres de 1 à 10, on aura les multiples de 090909… .

Et ce sont les multiples de 9, évidemment.

1 / 11 = 0,090909…

2 / 11 = 0,181818…

3 / 11 = 0, 272727…

…

10 / 11 = 0,909090…

La fraction avec 11 est triviale.

11 / 11 = 1

La fraction avec 12 se comporte de la façon suivante:

Les nombres suivants produisent une constante suivie des mêmes fractions que celles obtenues pour les nombre de 1 à 10.

Notez que l'on a la même propriété avec la division par 99. Si ab est un nombre de 1 à 98, la division est sympathique.

Exemple

56 / 99 = 0,565656…

Suite	Voir haut de page Divisibilité par 11 – Compléments théoriques Multiplication par 11 Divisibilité par 12 Formes polynomiales – Divisibilité en général Nombres divisibles par premier-dernier chiffres
Autour du 11	Nombre 11 Curiosités avec le 11 Divisibilité par 11 – Étude de cas
Suite	Décomposition des nombres Diviseurs Preuve par 9 Preuve par 9 – Débutant Racine numérique Somme-Produit des chiffres – Index Théorie des nombres
DicoNombre	Nombre 1 234 758 690 Nombre 9 876 524 130
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