NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 11/03/2006

Débutants	-Ý- RUBRIQUE: DIVISIBILITÉ			Glossaire
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DIVISIBILITÉ de n^x ± y
N^2- 1 divisible par 24 N^12 -1 divisible par 65 520 si n est premier	N^k – 1 est divisible par N – 1 Si n³2 N^k – 1 est divisible par (N – 1)² Si n³2 et (N-1) divise k

Note:

Les divisibilités données dans les tableaux ci-dessous ne sont

valables qu'à partir de N suffisamment grand

Voir Tableau numérique pour ces limites

-Ý - APPROCHE

Divisibilité

§ On s'intéresse à la divisibilité générale d'une formule comme

N² - 1

§ Pour N = 4, par exemple

4² - 1 = 16 - 1 = 15 = 3 x 5

§ Est-ce que cette formule (polynôme) est toujours divisible par 3 ou par 5 ou par 15, quelle que soit la valeur de N ?

Voyons ce que cela donne sur cet exemple

On regardera avec n pair, ou impair ou même n premier

Formule N² - 1	Conditions sur N
	Pair	Impair	Premier
N= 2	2^2- 1 = 3
N= 3		3^2- 1 = 8	3^2- 1 = 3
N= 4	4^2- 1 = 15
N= 5		5^2- 1 = 24	5^2- 1 = 24
N= 6	6^2- 1 = 35
N= 7		7^2- 1 = 48	7^2- 1 = 48
N= 8	8^2- 1 = 63
N= 9		9^2- 1 = 80
Observations - Laissons de côté les premières valeurs
§ Divisibilité	Aucun diviseur en commun	Il semblerait que 8 soit le diviseur commun	Pourquoi pas 24 comme diviseur commun ?
§ Premières conclusions	N² - 1 avec n pair n'a pas de diviseur, sinon 1	N² - 1 avec n impair est divisible par 8	N² - 1 avec n premier est divisible par 24

Pour se mettre en appétit!

avec N ⁴ - 1

N premier	a = N^4 - 1	a / 240	Facteurs
5	624	13/5	2^4 x 3 x 13
7	2 400	10	2^5 x 3 x 5^2
11	14 640	61	2^4 x 3 x 5 x 61
13	28 560	119	2^4 x 3 x 5 x 7 x 17
17	83 520	348	2^6 x 3^2 x 5 x 29
19	130 320	543	2^4 x 3^2 x 5 x 181
23	279 840	1 166	2^5 x 3 x 5 x 11 x 53
29	707 280	2 947	2^4 x 3 x 5 x 7 x 421
Facteurs communs			2^4 x 3 x 5 = 240
§ N^4 - 1 est divisible par 240 o Lorsque N est premier et, o Pour N > 5 § Et, cela se démontre !

-Ý - N^x - 1

§ On dresse le tableau donnant le nombre

§ par lequel est divisible la formule

Exemple

Si N est premier,

N² - 1 est divisible par 24

Formule	Conditions sur N
	Quelconque	Pair	Impair	Premier
N^2- 1	1	1	8	24
N^3- 1	1	1	2	2
N^4- 1	1	1	16	240
N^5- 1	1	1	2	2
N^6- 1	1	1	8	504
N^7- 1	1	1	2	2
N^8- 1	1	1	32	480
N^9- 1	1	1	2	2
N^10- 1	1	1	8	264
N^11- 1	1	1	2	2
N^12- 1	1	1	16	65 520
N^13- 1	1	1	2	2
N^14- 1	1	1	8	24
N^18- 1	1	1	8	28 728
N^20- 1	1	1	16	13 200
N^24- 1	1	1	32	131 040
N^30- 1	1	1	8	171 864

§ D'une manière générale N ^x - 1 n'est divisible que par 1

Mais, lignes blanches:

§ Pour les puissances impaires, et pour N impair, le nombre N ^x - 1 est simplement pair

Et, plus intéressant, lignes jaunes:

§ Pour les puissances paires, et pour N impair, le nombre N ^x - 1 est toujours divisible par un nombre plus grand que 2

§ Et, encore plus grand si N est premier

ILLUSTRATIONS avec N² - 1

Pair

N	N² - 1	Facteurs
2	3	3
4	15	3 x 5
6	35	5 x 7
8	63	3^2 x 7
10	99	3^2 x 11
§ Aucun facteur commun

Impair

N	N² - 1	Facteurs
1	0	0
3	8	2^3
5	24	2^3 x 3
7	48	2^4 x 3
9	80	2^4 x 5
11	120	2^3 x 3 x 5
13	168	2^3 x 3 x 7
15	224	2^5 x 7
17	288	2^5 x 3^2
19	360	2^3 x 3^2 x 5
21	440	2^3 x 5 x 11
23	528	2^4 x 3 x 11
25	624	2^4 x 3 x 13
27	728	2^3 x 7 x 13
29	840	2^3 x 3 x 5 x 7
§ Facteur commun 2^3 = 8 § À partir de N = 3

Premier

N	N² - 1	Facteurs
2	3	3
3	8	2^3
5	24	2^3 x 3
7	48	2^4 x 3
11	120	2^3 x 3 x 5
13	168	2^3 x 3 x 7
17	288	2^5 x 3^2
19	360	2^3 x 3^2 x 5
23	528	2^4 x 3 x 11
29	840	2^3 x 3 x 5 x 7
§ Facteur commun 2^3 x 3 = 24 § À partir de N = 5

-Ý - N ^x + 1

Formule	Conditions sur N
	Quelconque	Pair	Impair	Premier
N^x+ 1	1	1	2	2

§ Quelle que soit la valeur de la puissance:

o N ^x + 1 est pair si N est impair et,

o Jamais divisible d'une manière générale par un autre nombre

Illustration avec N² + 1

N	N² + 1	Facteurs
1	2	2
2	5	5
3	10	2 x 5
4	17	17
5	26	2 x 13
6	37	37
7	50	2 x 5²
8	65	5 x 13
9	82	2 x 41
10	101	101
§ Aucun facteur commun

-Ý - N ^x - N

Formule	Conditions sur N
	Quelconque	Pair	Impair	Premier
N^2- N	2	2	2	2
N^3- N	6	6	24	24
N^4- N	2	2	2	2
N^5- N	30	30	240	240
N^6- N	2	2	2	2
N^7- N	42	42	168	504
N^8- N	2	2	2	2
N^9- N	30	30	480	480
10	2	2	2	2
11	66	66	264	264
12	2	2	2	2
13	2 730	2 730	21 840	65 520
15	6	6	24	24
17	510	510	16 320	16 320
19	798	798	3 192	28 728
21	330	330	2 640	13 200
23	138	138	552	552
25	2 730	2 730	43 680	131 040
27	6	6	24	24
29	870	870	6 960	6 960

§ Pour les puissances paires, le nombre N ^x - N est simplement pair

§ Pour les puissances impaires, il est toujours divisible par un nombre plus grand que 2

§ Et, encore plus grand si N est premier

ILLUSTRATIONS avec N³ - N

Pair

N	N^3 - N	Facteurs
2	6	2 x 3
4	60	2^2 x 3 x 5
6	210	2 x 3 x 5 x 7
8	504	2^3 x 3^2 x 7
10	990	2 x 3^2 x 5 x 11
12	1 716	2^2 x 3 x 11 x 13
14	2 730	2 x 3 x 5 x 7 x 13
16	4 080	2^4 x 3 x 5 x 17
18	5 814	2 x 3^2 x 17 x 19
20	7 980	2^2 x 3 x 5 x 7 x 19
22	10 626	2 x 3 x 7 x 11 x 23
24	13 800	2^3 x 3 x 5^2 x 23
26	17 550	2 x 3^3 x 5^2 x 13
28	21 924	2^2 x 3^3 x 7 x 29
30	26 970	2 x 3 x 5 x 29 x 31
§ Facteur commun 2x 3 = 6

Impair

N	N^3 - N	Facteurs
1	0	0
3	24	2^3 x 3
5	120	2^3 x 3 x 5
7	336	2^4 x 3 x 7
9	720	2^4 x 3^2 x 5
11	1 320	2^3 x 3 x 5 x 11
13	2 184	2^3 x 3 x 7 x 13
15	3 360	2^5 x 3 x 5 x 7
17	4 896	2^5 x 3^2 x 17
19	6 840	2^3 x 3^2 x 5 x 19
21	9 240	2^3 x 3 x 5 x 7 x 11
23	12 144	2^4 x 3 x 11 x 23
25	15 600	2^4 x 3 x 5^2 x 13
27	19 656	2^3 x 3^3 x 7 x 13
29	24 360	2^3 x 3 x 5 x 7 x 29
§ Facteur commun 2^3 x 3 = 24

-Ý - N ^x + N

Formule	Conditions sur N
	Quelconque	Pair	Impair	Premier
N^x+ N	2	2	2	2

§ Quelle que soit la valeur de la puissance:

o N ^x + N est pair et,

o Jamais divisible d'une manière générale par un autre nombre

Illustration avec N³ + N

N	N^3 + N	Facteurs
1	2	2
2	10	2 x 5
3	30	2 x 3 x 5
4	68	2^2 x 17
5	130	2 x 5 x 13
6	222	2 x 3 x 37
7	350	2 x 5² x 7
8	520	2^3 x 5 x 13
9	738	2 x 3^2 x 41
10	1 010	2 x 5 x 101
§ Tous pairs § Sans autre facteur commun

-Ý - N ^x - N ^x-1

Formule	Conditions sur N
	Quelconque	Pair	Impair	Premier
N^2- N	2	2	2	2
N^3- N^2	2	4	2	2
N^4- N^3	2	8	2	2
N^5- N^4	2	16	2	2
N^6- N^5	2	32	2	2
N^7- N^6	2	64	2	2
N^8- N^7	2	128	2	2
N^9- N^8	2	256	2	2
N^10- N^11	2	512	2	2

§ N^x- N ^x-1 est toujours pair	§ N^x- N ^x-1 = N^x-2 ( N - 1) N § Et, ( N - 1) N est le produit de deux nombres consécutifs
§ N^x- N ^x-1 est divisible par une puissance de 2, si N est pair § La puissance est x - 1	§ N^x- N ^x-1 = N^x-1 ( N - 1) § = (2k)^x-1 ( N - 1) § = 2^x-1 k^x-1 ( N - 1)

-Ý - N ^x + N ^x-1

§ Tableau identique à celui de N ^x - N ^x-1+

§ Car, on peut effectuer la même mise en facteur

N ^x + N ^x-1 = N ^x-1 ( N + 1)

-Ý - N ^x - N ^x-y

N^x- N ^x-2	N^x+ N ^x-2
divisible par 24 à partir de x = 5	divisible par 2 à partir de x = 3
N^3- N divisible par 6 N^4- N^2 divisible par 12

N^x- N ^x-3	N^x+ N ^x-3
divisible par 2 à partir de x = 4	divisible par 2 à partir de x = 4

N^x- N ^x-4	N^x+ N ^x-4
divisible par 240 à partir de x = 8	divisible par 2 à partir de x = 5
N^5- N divisible par 30 N^6- N^2 divisible par 60 N^7- N^3 divisible par 120

N^x- N ^x-5	N^x+ N ^x-5
divisible par 2 à partir de x = 6	divisible par 2 à partir de x = 6

N^x- N ^x-6	N^x+ N ^x-6
divisible par 504 à partir de x = 9	divisible par 2 à partir de x = 7

---

-Ý -

Voir

§ Divisibilité des formes § Divisibilité de 2^n ± 1 § Fermat § Nombres répétés