NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 09/02/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Humour

Un octogone a huit côtés et un décagone en a dix; et un Carlos Ghosn ? Il en a des millions de côté, des euros …

Carlos Ghons: né en 1954, PDG de Renault-Nissan de 2005 à 2019

Voir Pensées et Humour

POLYGONES

Ligne brisée fermée; ligne polygonale.
Du grec poly = plusieurs et gônia = angle.

Polygone

Figure plane

formée par une ligne polygonale (S₁ , S₂ … S_n )

telle que l'extrémité de S₁ non commune à S₂

soit confondue avec l'extrémité de S_n non commune à S_n-1

Côtés du polygone

Les segments S₁ S₂ , S₂ S₃ … s'appellent les côtés du polygone et leurs extrémités les sommets.

Un segment joignant deux sommets non-consécutifs est une diagonale.

Ordre du polygone

Le nombre de ses côtés. Un polygone d'ordre cinq (pentagone) possède cinq sommets, cinq angles et cinq côtés.

Polygones réguliers – Florilège

Triangle équilatéral / Carré / Pentagone / Hexagone / Heptagone / Octogone / Décagone / Dodécagone

Polygones étoilés

Voir Nom des polygones

Arithmétique des polygones – Énigme

Résoudre Triangle² = Pentagone + Carré. Carré² = Hexagone + Hexagone Carré. Pentagone² = Hexagone + Hexagone + Hexagone + Carré + Triangle. Hexagone² = Octogone + Octogone + Octogone + Octogone + Carré.		Solution 3 => 3² = 5 + 4 4 => 4² = 6 + 6 + 4 5 => 5² = 6 + 6 + 6 + 4 + 3 6 => 6² = 8 + 8 + 8 + 8 + 4
Résoudre	Au moins, trois solutions 1) Il s'agit du carré du nombre de côtés. Pour le disque, on a zéro coté. 2) Il s'agit de la quantité de sommets. Pour le cercle, ce serait une infinité 3) Il s'agit du périmètre au carré. Pour le cercle, on aurait

Voir Nombres polygonaux / Énigmes virales

TYPES de POLYGONES
Convexe Convex		Le polygone est situé entièrement du même côté de la droite plaquée sur chacun des côtés. Toutes les diagonales sont internes au polygone. Tous les angles < 180°
Croisé Crossed		La ligne polygonale se recoupe. Deux côté au moins se coupent. Un polygone non-croisé est dit simple. Son enveloppe est la ligne brisée qui forme le contour.
Concave Concave		Un polygone concave est non-convexe et non-croisé. Il existe au moins une droite plaquée sur un côté qui coupe un autre côté. Il existe au moins une diagonale non complètement incluse dans le polygone.

Équilatéral Equilateral		Côtés égaux. Et angles quelconques.
Équiangle Equiangle		Angles égaux Et longueurs des côtés quelconques.
Régulier Regular		Équilatéral Et équiangle A regular polygon is a polygon that is both equilateral (all sides are congruent) and equiangular (all angles are congruent).
Irrégulier Irregular		Non régulier. Ou quelconque.
Irrégulier inscrit Inscribed irrégular		Sommets sur un cercle. Un polygone régulier est toujours inscriptible.
Irrégulier non-inscrit Non-inscribed irrégular		Sommets pas sur un cercle.

Étoilé Star

L'enveloppe convexe du polygone est le plus petit polygone convexe le contenant. Un polygone est étoilé si aucun des côtés n'appartient à son enveloppe convexe.

Les premiers polygones réguliers étoilés

Accès par la quantité de côtés

Noms	-1-	-2-	-3-	-4-	-5-	-6-	-7-	-8-	-9-
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20			23					96

POLYGONES – INDEX
Objets	Propriétés
Construction des polygones – Index Partage du cercle en arcs égaux Nombres polygonaux Polygones et polyèdres Carré Cube – Index Cuboctèdre Cylindre Décagone, 10-gone Dodécaèdre Dodécagone, 12-gone Droite Ennéagone, 9-gone Ennéagone et Ramsey Golygone Heptadécagone, 17-gone Heptagone, 7-gone Hexagone - Pavage Hexagone Étoile à 6 branches Hexagone et Ramsey Holyèdre Hypercube Hypersphère Icosaèdre Icosagone (propriétés, construction programmation), 20-gone Icosikaitrigone, 23-gone Losange Octaèdre Octogone et octaèdre, 8-gone Parallélogramme Pavé ou parallélépipède Pentadécagone, 15-gone Pentagone Étoile à 5 branches Polyèdres Polygones auto-évitants Polygones articulés Polygones de sustentation Polygones de Voronoï Polygones étoilés magiques Polygones rigidifiés (braced) Polygones tournants Polytopes Prisme Pyramide Quadrilatère Quadrilatères - Aires Rectangle Rhomboèdre Tétradécagone, 23-gone Tétraèdre Trapèze Triangles et polygones Triangles – Index Tricontagone, 30-gone Autres objets Cercle – Index Cercles circonscrits et inscrits Cône Sphère	Nom des polygones Types de polygones Aires des polygones Théorème de Pick Formule du laçage Cas des triangles Cas des quadrilatères À partir de triangles Angles des polygones réguliers Cercles inscrits et circonscrits Diagonales - Longueurs Diagonales du pentagone Diagonales du polygone – Quantité Diagonales de l'heptagone Diagonales et triangles Étoile à cinq branches et plus Intersections dans le polygone – Qté Min-max Polygones constructibles Polygones et leur construction Projection du polygone Propriétés générales Régions internes du polygone Régions externes du polygone Résolution des triangles Résolution du parallélogramme Somme des angles Somme des carrés des diagonales Théorème de Ptolémée Théorème des cordes sécantes Relation d'Euler F + S = A + 2 Rayon du cercle quadrilatère inscrit
	Divers
	Allumettes Jeux Apothème Argent (nombre) Bissection au compas Calcul de Pi Méthode des polygones Carrés et rectangles à trous Cercle en 6 Découpe en 17 Exhaustion (démonstration par -) Géométrie – Index Métalliques (nombres) Nombres de Fermat Nombres polygonaux Nombres premiers Or (nombre d'or) Pascal & l'Univers Pavage Pi Pliages Polygones et quantité de triangles Quadrature du cercle Structures rigides polygonales Symétrie des frises et tapisseries Triangles de Pythagore Triangulation des polygones

Min-Max sur les polygones

1. De tous les polygones à n côtés, c'est le polygone régulier à n côtés qui offre le maximum de surface.

2. De tous les polygones à n côtés ayant une aire donnée, c'est le polygone régulier à n côtés qui offre le périmètre minimum.

3. L'aire A et le périmètre P d'un polygone à n côtés satisfont l'inégalité (l'égalité étant établie pour un polygone régulier à n-côtés):

BAPTÊME DES POLYGONES
Si on sait compter en grec, on peut nommer les figures géométriques à plusieurs côtés, plusieurs faces, etc. En jaune les plus usités.
1	monogone, hénagone (n'existe pas, du domaine du segment)
2	digone (angle) (polygone dégénéré)
3	trigone (triangle), trilatère
4	tétragone (quadrilatère)
5	pentagone
6	hexagone
7	heptagone
8	octogone
9	ennéagone, nonagone
10	décagone
11	hendécagone
12	dodécagone
13	triskaidécagone ("kai" signifie "plus"), tridécagone
14	tétrakaidécagone, tétradécagone, quadridécagone
15	pentakaidécagone, pentadécagone, quidécagone
16	hexakaidécagone, hexadécagone
17	heptakaidécagone, heptadécagone
18	octakaidécagone, octadédagone
19	ennéakaidécagone, ennéadécagone
20	icosagone
21	icosikaihenagone, icosihenagone
22	icosikaidigone
23	icosikaitrigone
24	icosikaitétragone
25	icosikaipentagone
26	icosikaihexagone
27	icosikaiheptagone
28	icosikaioctagone
29	icosikaiennéagone
30	triacontagone ("conta" = "dizaine")
31	triacontakaihenagone
40	tétracontagone
50	pentacontagone
60	hexacontagone
70	heptacontagone
80	octacontagone
90	ennéacontagone
100	hectogone, hecatontagone
1000	chiliogone ou chiliagone
10000	myriagone
Et en anglais? For example, a 100-sided polygon is called a hectagon, centagon or 100-gon. In general, any n-sided polygon with over 12 sides is called an n-gon. While there are other conventions for naming polygons with any number of sides, it is most common to use the n-gon form.

Voir Nombres en grec / Nom des grands nombres / Tables de nombres / Alcanes /
Nom des bases de numération

Emboîtement de polygones
Imaginons la construction sans fin, suivante Les figures deviennent de plus en plus petites. Peut-être un point au centre de ces figures? Non! Car les polygones vont se confondre de plus en plus avec le cercle, le processus d'emboîtement va stationner et une limite sera atteinte. Avec un cercle de 1 cm au départ, le diamètre du cercle limite est de 1/12 de cm.

Voir Calcul de Pi

Théorème de Viviani

Pour tout polygone régulier, la somme des distances d'un point intérieur quelconque aux côtés est égale à la longueur de la hauteur. >>>

English Corner
A polygon is a plane figure that is bounded by a closed path or circuit, composed of a finite sequence of straight line segments (i.e., by a closed polygonal chain). These segments are called its edges or sides, and the points where two edges meet are the polygon's vertices or corners.

Suite	Polygones – Propriétés Diagonales dans les polygones Régions et intersections dans les polygones Groupe de symétrie des polygones réguliers
Voir	Géométrie – Index Illusions d'optique Polyèdres Polygones gigognes Polygones magiques Triangles
DicoNombre	Nombre 1/12 = 0,08333 …
Sites	Noms des polygones – M@ths et tiques Noms des polygones de 1 à 20 000 par Simon Cadrin Polygones – Wikipédia Polygone réguliers – Descartes et les Mathématiques – Patrick Debart Interactive Polygons – Math is Fun List of polygons – Wikipedia Numerical prefixes – The phrontisrety Star polygons – Wolfram MathWorld
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