NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 15/12/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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INDEX Structures algébriques	Introduction	Triangles et carrés	Groupe – Définition
	Types de groupes	Groupe cyclique	Groupes de permutations
		Nombres et groupes	Groupe des symétries
		Sommaire de cette page >>> Définition du groupe – Rappels >>> Groupes finis >>>Groupes cycliques >>> Groupes de symétries (ou de permutations) >>> Groupe de symétrie S3 >>> Groupe de symétrie S4 >>> Groupe de symétrie Dn >>>Groupes sporadiques >>> Groupes classiques >>> Groupes discrets infinis >>> Groupes continus ou de Lie

TYPES DE GROUPES

Rappel de la définition

Un groupe G est un ensemble d'éléments muni d'une loi de composition (ou de multiplication – avec notation de la multiplication) telle que: la loi de composition est interne: xy G il existe un élément neutre e: ex = xe = x chaque élément possède un inverse xx^-1 = x^-1x = e la loi est associative: xyz = (xy)z = x(yz) Le groupe est aussi bien définie par: sa loi de composition sa table de multiplication (de Pythagore ou de Cayley) Groupe abélien: la table est symétrique et la loi de composition est commutative: xy = yx. Groupes isomorphes: les éléments de l'un s'obtiennent par permutations des éléments de l'autre. >>>

GROUPES FINIS

Ordre du groupe: sa quantité d'éléments. Ordre d'un élément: ordre du groupe que l'élément peut engendrer par composition avec lui-même (cad: ses puissances). C'est le plus petit entier k tel que x^k = e. Groupes cycliques Tous les éléments d'un groupe cyclique sont les puissances de l'un d'entre eux. Exemple: racines quatrièmes de l'unité G = {+ 1, – 1, + i, – i} avec multiplication + i = (+ i)^1, − 1 = (+ i)^2, − i = (+ i)^3, 1 = (+ i)^4 Élément générateur: aussi bien + i que – i. Les racines énièmes de l'unité forment le groupe avec la multiplication. Groupes de permutations ou de symétries Les permutations déplacent les n éléments de toutes les façons possibles, soit n! (factorielle n) possibilités. Toutes ces possibilités forment le groupe des permutations Sn. Pour n = 2: S2 = Pour n > 2: les groupes ne sont pas commutatifs (abéliens). Voir Exemple Exemples: groupe de symétrie du triangle équilatéral – S3 >>> du tétraèdre régulier – S4 >>> du polygone régulier – Dn >>> Voir Développements Groupes alternés Le groupe alterné de degré n, noté An, est un sous-groupe de permutations composé des éléments résultant d'une quantité paire de transpositions. Utilisé pour démontrer la résolution du taquin ou du cube de Rubik. A4 laisse invariant le tétraèdre et dodécaèdre réguliers; A5, l'icosaèdre. Groupes sporadiques Groupes simples finis exceptionnels au nombre de 26 en tout et pour tout, dont le Monstre. Voir historique de leur découverte Groupes classiques Groupes simples finis, familles de groupes de transformations liées à l'algèbre linéaire, comme les groupes linéaires (espaces vectoriels).

Groupe de symétrie du triangle équilatéral – S3
Le triangle equilateral présente six cas de symétries: Deux rotations: 1/3 et 2/3 de tours; Trois réflexions: selon la médiatrice de chaque côté; et Une identité qui est sans effet (élément neutre). Le groupe de symétrie du triangle équilatéral est isomorphe à S3. Il est d'ordre 6 et non-commutatif (non-abélien). Suite en Groupes de permutation

Groupe de symétrie du tétraèdre – S4

Le tétraèdre présente 24 cas de symétries: 1 identité; 8 dues aux rotations selon les quatre axes passant par chacun des sommets et le centre de la face opposée et cela pour 1/3 ou 2/3 de tours; 3 dues aux rotations d'un demi-tour autour de la droite passant par les milieux des côtés opposés; et 12 par réflexion et composition avec les 12 précédentes. La réflexion se fait par rapport à un plan passant par une arête et coupant le tétraèdre en deux. Ces transformations (symétries) effectuent toutes les permutations des quatre sommets. Le groupe de symétrie du tétraèdre est isomorphe à S4. Il est d'ordre 24 et non-commutatif (non-abélien).

Groupes de symétries des polygones réguliers – Dn

Le polygone régulier à n côtés présente 2n cas de symétries. C'est une généralisation du cas du triangle. n rotations d'angle n réflexions Par exemple: le pentagone régulier appartient aux groupe D5. Il présente 10 cas de symétries: cinq rotations et cinq réflexions. Le groupe de symétrie du polygone régulier à n côtés est noté Dn. Il est non-commutatif (non-abélien). Suite en Groupes de permutation / Équation quintique

Groupes de symétrie discrets infinis
Ce sont par exemples tous les groupes arithmétiques qui souvent sont plus que groupe: anneaux ou corps. Suite en Groupes de nombres

Groupes continus ou de Lie

Ce sont par exemple: Le groupe des rotations dans le plan SO(2) ou l'espace SO(3) ou encore dans l'espace euclidien à n dimensions SO(n). Le groupe linéaire général GL(n; ) d'un espace vectoriel de dimension n et le groupe linéaire spécial GS(n; ) des transformations linéaires préservant les volumes. Le groupe des matrices orthogonales réelles n x n: O(n; ) ou des matrices unitaires complexes: U(n; ). Le groupe de Lorentz SO(1, 3) utilisé en relativité. Le groupe de Lie E8. >>>

Suite	Ensembles des nombres
Voir	Théorie des représentations Nombres cycliques ou périodiques Polynômes cyclotomiques
Site	Théorie des groupes de Philippe Ruelle. Cette page est largement inspirée de ce site sur lequel vous pourrez approfondir ce sujet.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/GrCycliq.htm