NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 15/02/2013

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

ALGÈBRE

 

Débutants

Général

Structures algébriques

 

Glossaire

Ensemble

 

 

INDEX

 

Structures algébriques

Introduction

Triangles et carrés

Groupe

Types de groupes

Groupe cyclique

Nombres

 

Sommaire de cette page

>>> Définition du groupe – Rappels

>>> Groupes finis

>>>Groupes cycliques

>>> Groupes de symétries (ou de permutations)

>>> Groupe de symétrie S3

>>> Groupe de symétrie S4

>>> Groupe de symétrie Dn

>>>Groupes sporadiques

>>> Groupes classiques

>>> Groupes discrets infinis

>>> Groupes continus ou de Lie

 

 

 

 

TYPES DE GROUPES

 

 

Rappel de la définition

 

*    Un groupe G est un ensemble d'éléments muni d'une loi de composition (ou de multiplication – avec notation de la multiplication) telle que:

*      la loi de composition est interne:          xy  G

*      il existe un élément neutre                   e: ex = xe = x

*      chaque élément possède un inverse     xx-1 = x-1x = e

*      la loi est associative:                            xyz = (xy)z = x(yz)

*    Le groupe est aussi bien définie par:

*      sa loi de composition

*      sa table de multiplication (de Pythagore ou de Cayley) 
 

*    Groupe abélien: la table est symétrique et la loi de composition est commutative: xy = yx.

 

*    Groupes isomorphes: les éléments de l'un s'obtiennent par permutations des éléments de l'autre. >>>

 

 

 

GROUPES FINIS

 

*    Ordre du groupe: sa quantité d'éléments.

*    Ordre d'un élément: ordre du groupe que l'élément peut engendrer par composition avec lui-même (cad: ses puissances). C'est le plus petit entier k tel que xk  = e.

 

Groupes cycliques
 

*    Tous les éléments d'un groupe cyclique sont les puissances de l'un d'entre eux.

 

Exemple: racines quatrièmes de l'unité

 

G = {+ 1, – 1, + i, – i} avec multiplication

+ i = (+ i)1,   − 1 = (+ i)2,   − i = (+ i)3,   1 = (+ i)4

Élément générateur: aussi bien + i que – i.

 

*    Les racines énièmes de l'unité forment le groupe  avec la multiplication.

 

Groupes de permutations ou de symétries
 

Les permutations déplacent les n éléments de toutes les façons possibles, soit n! (factorielle n) possibilités. Toutes ces possibilités forment le groupe des permutations Sn.

*      Pour n = 2:         S2 =

*      Pour n > 2:         les groupes ne sont pas commutatifs (abéliens).

Voir Exemple


Exemples: groupe de symétrie

*    du triangle équilatéral – S3 >>>

*    du tétraèdre régulier     – S4 >>>

*    du polygone régulier  Dn >>>

 

Voir Développements

 

Groupes alternés

 

Le groupe alterné de degré n, noté An, est un sous-groupe de permutations composé des éléments résultant d'une quantité paire de transpositions. Utilisé pour démontrer la résolution du taquin ou du cube de Rubik.

A4 laisse invariant le tétraèdre et dodécaèdre réguliers;

A5, l'icosaèdre.

 

 

Groupes sporadiques

 

Groupes simples finis exceptionnels au nombre de 26 en tout et pour tout, dont le Monstre. Voir historique de leur découverte

 

Groupes classiques

 

Groupes simples finis, familles de groupes de transformations liées à l'algèbre linéaire, comme les groupes linéaires (espaces vectoriels).

 

 

 

Groupe de symétrie

du triangle équilatéral – S3

 

Le triangle equilateral présente six cas de symétries:
 

*      Deux rotations: 1/3 et 2/3 de tours;

*      Trois réflexions: selon la médiatrice de chaque côté; et

*      Une identité qui est sans effet (élément neutre).

 

Le groupe de symétrie du triangle équilatéral est isomorphe à S3. Il est d'ordre 6 et non-commutatif (non-abélien).

 

Suite en Groupes de permutation

 

 

Groupe de symétrie

du tétraèdre – S4

 

Le tétraèdre présente 24 cas de symétries:

*      1 identité;

*      8 dues aux rotations selon les quatre axes passant par chacun des sommets et le centre de la face opposée et cela pour 1/3 ou 2/3 de tours;

*      3 dues aux rotations d'un demi-tour autour de la droite passant par les milieux des côtés opposés; et

*      12 par réflexion et composition avec les 12 précédentes. La réflexion se fait par rapport à un plan passant par une arête et coupant le tétraèdre en deux.

 

Ces transformations (symétries) effectuent toutes les permutations des quatre sommets.

Le groupe de symétrie du tétraèdre est isomorphe à S4. Il est d'ordre 24 et non-commutatif (non-abélien).

 

 

 

Groupes de symétries

des polygones réguliers – Dn

 

Le polygone régulier à n côtés présente 2n cas de symétries. C'est une généralisation du cas du triangle.

*      n rotations d'angle

*      n réflexions

Par exemple: le pentagone régulier appartient aux groupe D5. Il présente 10 cas de symétries: cinq rotations  et cinq réflexions.

Le groupe de symétrie du polygone régulier à n côtés est noté Dn. Il est non-commutatif (non-abélien).

 

Suite en Groupes de permutation / Équation quintique

 

 

Groupes de symétrie discrets infinis

 

Ce sont par exemples tous les groupes arithmétiques qui souvent sont plus que groupe: anneaux ou corps.

 

Suite en Groupes de nombres

 

 

Groupes continus ou de Lie

 

Ce sont par exemple:

*    Le groupe des rotations dans le plan SO(2) ou l'espace SO(3) ou encore dans l'espace euclidien à n dimensions SO(n).

*    Le groupe linéaire général GL(n; ) d'un espace vectoriel de dimension n et le groupe linéaire spécial GS(n; ) des transformations linéaires préservant les volumes.

*    Le groupe des matrices orthogonales réelles n x n: O(n; ) ou des matrices unitaires complexes: U(n; ).

*    Le groupe de Lorentz SO(1, 3) utilisé en relativité.

*    Le groupe de Lie E8. >>>

 

 

 

 

 

Suite

*         Ensembles des nombres

Voir

*         Nombres cycliques ou périodiques

*         Polynômes cyclotomiques

Site

*         Théorie des groupes de Philippe Ruelle.  Cette page est largement inspirée de ce site sur lequel vous pourrez approfondir ce sujet.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/GrCycliq.htm