Hexagone

Partager l'hexagone en parties égales		haut
En rose, segment joignant un sommet au milieu du côté opposé
Explications Il existe six triangles comme le triangle rose. Ensemble, ils couvrent deux fois la surface de l'hexagone. Chacun couvre 2H/6 = 1/3 Hexagone. Cette aire étant connue, sur la figure en haut à gauche, chaque partie bleue, symétriques, couvre également un tiers de l'hexagone.

Compter les hexagones

Énigme

Sur cette figure, trois hexagones réguliers enchevêtrés.

Combien d'hexagones comptez-vous: trois ou plus ? Oui, il faut compter tous les hexagones réguliers, ou non.

Solution

La figure contient douze hexagones.

Ils sont présentés ci-contre.

Voir Brève 761

Enveloppes de l'hexagone régulier

Un hexagone est tel que ses six sommets sont entourés d'un disque de 1 m de diamètre.

Aire:

Hexagone (bleu): 2,59807621… m²

Enveloppe rectangulaire (vert): 3,46410161… m²

Enveloppe cercles (marron): 8,19615242… m²

On calcule ces valeurs en remarquant que la grande diagonale du losange vaut racine de 3.

L'enveloppe marron correspond au rectangle minimum permettant de loger sept personnes avec un mètre de distance entre-elles.

Anglais: hexagon hull

Triangles dans l'hexagone régulier

Hexagone

Les diagonales de l'hexagone le partagent en surface égale au sixième ou au tiers de l'aire totale.

Point naviguant sur une côté

Avec les triangles ayant pour sommet un point situé sur une côté (point rouge), les proportions des aires sont conservées: soit avec la somme de deux d'entre eux ou alors intégralement pour le triangle central.

Pourquoi ?

Lorsque le point rouge navigue sur le côté, le triangle central conserve sa base et sa hauteur, donc son aire.

Le grand triangle rouge conserve sa hauteur et sa base est égale au double de la diagonale (A et B sont à mi-hauteur).

Sur la diagonale e = 1/2 a (la moitié du côté), le reste, complément à la diagonale, conserve une longueur constante: les paires de petits triangles jaunes associés, du haut comme du bas, conservent une aire totale constante.

Par différence, les petits triangles latéraux conservent la même aire. Idem pour les deux triangles bleus du haut.

Voir Énigme de l'hexagone / Triangle dans l'hexagone

Parallélogramme dans l'hexagone régulier

Propriété

Ce parallélogramme bleu interne à l'hexagone couvre une aire égale au tiers de celle de l'hexagone.

Démonstration

Pour le voir, on compare sa moitié GHB à l'un des six triangles équilatéraux qui couvent l'hexagone: ABK.

Avec même hauteur et base égale, ces deux triangles sont égaux. Soit 1/ 6 de l'hexagone.

Aire du parallélogramme = 1/3 de l'aire de l'hexagone.

Construction autour de l'hexagone régulier

Hexagone + six carrés + six triangles équilatéraux

=> Dodécagone

Sur la figure, le marquage des angles montre que, l'angle au sommet de l'hexagone étant égal à 120°, l'angle du triangle est égal à 60° (360 – 120 – 2 x 90).

Ce triangle ayant deux côtés égaux (côtés des carrés), il est équilatéral.

Le périmètre du dodécagone est le double de celui de l'hexagone.

Aire de l'hexagone: H = 6T (Triangles équilatéraux)

Aire du dodécagone: D = H + 6T + 6C = 2H + 6C

Rapport entre les aires:

Aire du grand hexagone: HH = H + 6T + 12T (losange = 2T)

Rapports entre toutes ces surfaces

Hexagone et dodécagone

Avec le grand hexagone

Dénombrement
Quantité de diagonales La quantité de segments entre n points est donnée par Q = ½ n (n – 1) soit Q₆ = 3 x 5 = 15. La quantité de côté étant 6; La quantité de diagonales est égale à: 15 – 6 = 9 Autre méthode: trois diagonales par sommet, soit 3 x 6 segments; chacun compté deux fois, ce qui donne bien 9.
Quantité de triangles La quantité de triangles formés à partir des sommets est égale à 20. ABC, ABD, ABE, ABF ACD, ACE, ACF ADE, ADF AEF BCD, DCE, BCF BDE, BDF BEF CDE, CDF CEF DEF En combinatoire, on dirait que l'on prend trois points pour faire un triangle parmi 6 soit:

Voir Compter les triangles dans une figure / Triangles monochromes dans l'hexagone

Mesures dans l'hexagone

Voir Triangles rectangles typiques / Diagonales dans les polygones

Hexagone régulier et ses diagonales

Longueur de la diagonale k, avec k la quantité de côtés interceptés par la diagonale.

k	Longueur	Formule
2	1,732050808
3	2

Voir Son calcul / Tables / Quantité d'intersections des diagonales

Diagonales de l'octogone – Calcul des longueurs
Exercice de géométrie Angle au sommet interceptant un côté Diagonales d1 = AD = D d2 = AC= BD = 2MF = 2r Rayon des cercles circonscrit: MA = R = D/2 inscrit: MF = r Apothème MF = BD/2 = r Calculs des longueurs pour une longueur du côté: a = 10.
Grande diagonale, diamètre du cercle circonscrit: d1 = D = AD
Petite diagonale d2 = AC:

Calcul du côté du triangle équilatéral inscrit

Un hexagone de côté a. On sait que d = 2a.

Valeur de e, côté du triangle équilatéral ?

Théorème de Ptolémée:

Pour un quadrilatère inscrit, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés.

a.a + a.d = e.e

e² = a² + 2a² = 3a²

C'est la même longueur que la médiane (pointillé) qui vaut deux fois l'apothème (calcul via la hauteur d'un triangle équilatéral).

Pavage de l'hexagone – Exemples

3 losanges 60 -120 de côté unité, ou

6 triangles équilatéraux unitaires.

6 triangles isocèles 30-30-120 unitaires.

Voir Allumettes; comment transformer un hexagone en cube?

Pavage monohédral de l'hexagone avec parties non centrales

Voir Un tel pavage pour le disque / le dodécagone

12 triangles rectangles 30-60 (6 en bleu et 6 en rose), ou

4 triangles rectangles 30-60 sur les côtés et 2 rectangles 1- 3/2 au milieu.

2 trapèzes isocèles 60-120 de côté 1 et 2.

2 triangles équilatéraux unité, plus

4 triangles isocèles 30-30-120, ou

2 losanges 60-120.

1 triangle équilatéral en racine de 3, plus

3 triangles isocèles 30-30-120.

Merci à Jean-Marc D.

Segments dans l'hexagone

Comptons les segments:

Du point A, il y en a 5 dont 2 côtés

Du point B, il y en a 4 dont 1 côté

Du point C, il y en a 3 dont 1 côté

Du point D, il y en a 2 dont 1 côté

Du point E, il y en a 1 dont 1 côté

Du point F, il y en a 0

Somme: 15 dont 6 côtés.

Plus rapide!

De chaque sommet: 5 segments.

Ils sont tous en double.

Résultat: 6 x 5 / 2 = 15.

Curiosité

Ces deux figures ont même périmètre.

Leur aire est dans le rapport 2/3.

Hexagone et trapèze

Une nomenclature particulière de l’hexagone: il formé de six triangles rectangles (1) isométriques (égaux) qui constituent la bande centrale. Et de quatre triangles rectangles (2) semblables aux six autres, mais plus petits qui constituent les pointes.

Ces deux types de rectangles sont rappelés à droite avec leurs dimensions.Ce sont des demi-triangles isocèles avec des angles de 30° et 60°.

Le pentagone est le royaume de la racine de 5,
avec le nombre d’or;
l’hexagone est celui
de la racine de 3.

Rappel des lignes trigonométriques

	Sin	Cos	Tan
30°	0,5	0,866 =	0,577 =
60°	0,866 =	0,5	1,732 =

Cette vision donne lieu à une énigme.

On donne l’hexagone non-régulier avec ses dimensions (voir données), et on demande de le rendre régulier tout en conservant la même surface (aire).

Données:

AB = ED = 10;

BC = CD = EF = FA = 5;

GH = 12,5; et

les angles en A et D sont droits.

La solution consiste à pratiquer les découpes en dents de scie (cf. figure introductive à ce chapitre) et à décaler l’un des morceaux (jaune), comme le montre cette illustration en bas.

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Voir	Calcul de Pi Construction géométrique des nombres Dodécagone Géométrie – Index Partage du cercle en parts égales Polygone Rosaces
Diconombre	Nombre 0,517 Nombre 0,666 = 2/3 Nombre 2,598 … Nombre 12
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