icosagone

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	Sommaire de cette page >>> Icosagone – Présentation >>> Icosagone et ses angles >>> Icosagone et ses diagonales >>> Construction de l'icosagone >>> Géométrie de l'icosagone >>> Programmation Scratch >>> Icosagone – Curiosités >>> Icosaèdre

ICOSAGONE

Icosagone: polygone à vingt côtés ou vingt angles (du grec: eikosi, vingt et gonia, angle).

Icosaèdre: polyèdre à vingt faces.

Icosaèdre régulier: un des cinq solides platoniciens.

Anglais: an icosagon is a 20-sided polygon / regular icosagon

Icosagone – Présentation
Quelconque Polygone à 20 sommets, 20 côtés et 20 angles. Quantité de diagonales: ½ 20 x 19 – 20 = 170. Régulier Somme des angles: (20 – 2) x 180° = 3 240 ° Angle au sommet: 3 240 / 20 = 162° Angle au centre interceptant un côté: 360 / 20 = 18° L'icosagone régulier est constructible. Étoilés Les trois polygones qui relient un sommet sur trois, sur sept et sur 9. {3, 7 et 9} sont les trois nombres premiers inférieurs à 20 et premiers avec 20.	Icosaèdre convexe quelconque
Convexe: en parcourant le périmètre dans le sens horaire par exemple, on pivote toujours vers la droite pour tracer le côté suivant. Autre définition: le segment qui joint deux points quelconques du polygone, y compris du périmètre, est toujours à l'intérieur du polygone.

Icosagone et ses angles

Un carré et un pentagone régulier construits sur les côté d'un icosagone.

Montrer que les points B, D et E sont alignés.

Mesure de l'angle ABE:

Angle en A = Angle icosagone (162°) – angle du carré (90°) = 72°;

Le triangle ABE est isocèle (AB = AE). L'angle en B est égal à la moitié de 180° moins l'angle au sommet (72°) = 54°.

Mesure de l'angle ABD

C'est l'angle de l'icosagone (162°) moins celui du pentagone (106°) = 54 °.

Les angles ABE et ABD ont même mesure (54°), les points B, D et E sont alignés.

L'angle en B est évalué de deux manières: avec ABE et avec ABD. L'égalité montre que les trois points sont alignés.

Icosagone régulier et ses diagonales

Longueur de la diagonale k, avec k la quantité de côtés interceptés par la diagonale.

Icosaèdre régulier avec ses trois versions étoilées

Icosagone et triangles équilatéraux (tous les quatre sommets)

Construction de l'icosagone
Étape 1 Construction de la figure 1 par la méthode classique de construction des médiatrices Le point O est le milieu de AB et O' celui de OB. Étape 2 Tracez le cercle de centre O' et de rayon OO'. Tracez le segment CO' qui coupe le petit cercle en E Tracez le cercle de centre C et de rayon CE qui coupe le grand cercle en F Étape 3 Tracez le cercle de centre B et de rayon BF. Gardez cette ouverture du compas Tracez le cercle de même rayon à partir de chacun des nouvelles intersections avec le grand cercle (comme F'). Les 20 sommets de l'icosagone sont ainsi définis tour à tour.	Figure 1 Figure 2 Figure 3
Autre possibilité Étape 1 identique. Tracez la bissectrice de OO'C qui coupe OC en E. Tracez en e la parallèle à OB qui coupe le cercle en F. L'angle BOF vaut 18°. Pour tracez l'icosagone, reportez la longueur FB de proche en proche.

*Voir Construction animée sur Icosagone - Wikipédia

Géométrie de l'icosagone
Relation entre Longueur du côté: c Rayon du cercle circonscrit: R, et Rayon du cercle inscrit (ou apothème): r
Cercles circonscrit (R) et inscrit (r)	Voir Trigonométrie de l'icosagone / Multiplication par conjugué
Aire de l'icosagone régulier	À comparer à l'air du cercle: A_c = 3,14 … R² L'icosagone remplit le cercle dans cette proportion:

Validation des formules par mesures sur un icosagone (via Geogébra)

Programmation Scratch
*Ce programme est très simple à réaliser* Commentaires Le programme exécute 20 fois "avancer de la quantité pas = 50" et "tourner de 18° ". Pour tracer deux diagonales et le centre, quatre couples de variables (x, y) sont mémorisés à la fin de chaque quart de tour (5 côtés). Pour finir sur le centre, le crayon est envoyé au milieu de l'une des diagonales. Dessin réalisé		Suite
	Dernière instruction

Icosagone – Curiosités

Les colonnes doriques comportent vingt cannelures.

Le Tholos de Delphes compte vingt colonnes à sa périphérie. Construit vers 380-370 avant J.-C. Chaque colonne est creusée de vingt cannelures.

Le swastika (illustration) est un icosagone irrégulier.

L'icosagone (20) est le mariage du carré (4) et du pentagone (5) avec 20 = 4 x 5.

Les 59 icosaèdres (The Fifty-Nine Icosahedra) – 1938

Livre de H.S.M. Coxeter, P. DuVal, H.T.Flather et J.F. Petrie. Énumération des stellations de l'icosèdre.

Exemples

…

Suite	Dodécagone – Construction Dodécaèdre Heptadécagone
Voir	Construction du pentagone Polygone Hexagone Calcul de Pi
Aussi	Constructibilité Géométrie – Index Partage du cercle Rosaces
DicoNombre	Nombre 12 Nombre 0,517
Sites	Icosagone – Wikipédia Icosagon – Wolfram MathWorld The Fifty-Nine Icosahedra – Wikipedia
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/Icosagon.htm