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Bases de numération Introduction Un
tour d'horizon, et les détails pour chaque base en pages
dédiées. |
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Nous savons tous
compter en base 10 depuis la maternelle. Pour cela nous utilisons dix
chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lorsque nous avons compté jusqu'à 9,
nous savons qu'il faut passer à 10, 11 … Ce sont les mêmes chiffres avec une
position en plus. Ici les dizaines. Il s'agit de notre numération décimale dite de position. Nous aurions très
bien pu ne compter qu'avec huit chiffres de 0 à 7. Alors arrivé à 7, le 8
n'existant pas, on serait passé à 10, 11, … 17, 20 … C'est la base 8 dite octale. En base 2 ou binaire, on n'utilise que deux chiffres le 0 et
le 1. Arrivé à 1, le 2 n'existant pas, on passe à 10, 11, 100 … Pour toutes les
bases inférieures à 10, on peut se débrouiller, nous disposons de
suffisamment de chiffres connus. Pour les bases
supérieures à 10, il faut d'autres chiffres. On aurait pu inventer des
symboles nouveaux. On convient plutôt d'utiliser les premières lettres de
l'alphabet: A, B, C … En base 12, nous
utilisons les douze "chiffres" suivants: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, A, B. De sorte que, arrivé à B, nous passons à 10, 11, 12 … 19, 1A, 1B,
20, 21 … En fait, le A en base 12 (base duodécimale),
correspond au 10 en base décimale et le B correspond à 11.
Remarquez que 20 en
duodécimal = 24 en décimal (deux fois
la base 12). En base 16 (hexadécimale), très utilisée en informatique, il
faut utiliser 6 lettres-chiffres en plus des dix ordinaires.
Amusez-vous à composer ce tableau
selon les bases de 2 à 16. Voir
ci-dessous.
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Tables des nombres de 0 à 26 en bases de 2
à 16
Voir Tables de conversion selon les bases
Voir Diviseurs / Nombres
hautement composés
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Tout nombre
entier naturel N s'écrit de
manière unique comme somme de puissances
de 10 pour les nombres décimaux, et
puissances de B pour toute base B.
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Les coefficients ai
sont nuls ou compris entre 0 et B; Ce
sont les restes de la division par B de N, puis des quotients successifs jusqu'à
ce que le quotient des divisions successives soit nul. ·
Avec cette écriture et dans cette base, le nombre N est unique. Pour une base donnée, à chaque jeu de
coefficients correspond un nombre unique et, réciproquement, chaque nombre se
développe d'une seule telle façon avec cette base. Exemple avec 256 en diverses bases de numération
Attention: les logiciels notent souvent les
coefficients à l'envers. 256 devient
[6, 5, 2]. |
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Voir Identité
remarquable / Théorème
fondamental de l'arithmétique
Binaire
/ Octal
/ Hexadécimal
Merci à Gaudellycee pour
ses remarques
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Aucune |
Un,
deux, beaucoup |
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Aborigènes, peuplades reculées. |
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1 |
Unaire |
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Un seul symbole utilisé >>> |
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2 |
Binary |
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Informatique (0,1) Le
chiffre prend le nom de BIT. |
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3 |
Ternaire (Trinaire) Ternary |
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Ternaire classique avec les symboles
(0, 1 et 2). Le bit devient trit (trinary digit). ·
Ternaire balancé avec (-1, 0, 1) qui
rappelle la relation de comparaison ternaire (<, =, >). ·
La logique
ternaire utilise les trois états: (vrai, faux, inconnu). |
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4 |
Quaternaire Quaternary |
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5 |
Quinaire Quinary |
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Existe encore en Afrique (peul, serène...), Amérique (nahuatl, otomi...), Océanie (houailou), Asie (khmer). ·
Au Sénégal, en lange wolof, on compte: un, deux, trois,
quatre, cinq, cinq-un, cinq-deux, cinq-trois, cinq-quatre, dix, dix et un, dix
et deux, etc. ·
Les Grecs anciens utilisaient ce système: pour décrire
leur manière de compter, ils disaient "cinquer". Plus d'info sur le site (K)am~itié |
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6 |
Sénaire |
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7 |
Sépténaire Septenary |
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8 |
Octal |
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Informatique En
fait lecture plus commode du binaire par paquets de 3 bits |
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9 |
Nonary |
·
Utilisé pour compacter le système ternaire |
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10 |
Décimale / Dénaire Decimal / Denary |
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Quasi – universel. Avec
des restes d'autres bases comme le quatre-vingts français. ·
Mais d'autres systèmes cohabitent Corée
et Japon. |
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11 |
Unidécimale Undécimal |
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12 |
Dudecimal |
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Unités de mesures en Angleterre. |
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13 |
Tridécimale Tridécimal |
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14 |
Tétradécimale Tetradecimal |
·
Nous avons échappé à cette base car en sortant de l'eau
les premiers animaux terrestres avec sept doigts. |
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15 |
Pentadécimale Pentadecimal |
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16 |
Hexadecimal |
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Informatique. En
fait lecture plus commode du binaire par paquets de 4 bits. |
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18 |
Octodécimale Octadecimal |
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Nombres premiers Propriété en mod 90 et en utilisant les
racines numériques. |
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Vicésimale /
Vigénaire ou
vigésimal Vigesimal / Vigenary |
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Reste dans système de numération français (héritage
celtique): quatre-vingts. ·
Reste en anglais avec le mot score: three
scores and ten = 70. |
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24 |
Tétravigésimale |
·
Avec 12. 24 heures. |
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28 |
/ |
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Nous comptons sur nos doigts jusqu'à dix. En comptant avec nos phalanges nous compterions jusqu'à
vingt-huit. 2 fois ( 3 x 4 doigts + 2 x 1 pouce). |
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32 |
·
Avec base 16. |
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36 |
Hexatrigésimal |
·
Base qui utilise tous les chiffres et les lettres de
l'alphabet: 0, 1…9, A, B … Y, Z. ·
Ainsi: Z16 = 3510 et
1036 = 3610. |
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40 |
Quadragésimale |
·
Avec 20. |
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Sexagesimal |
·
Utilisé pour les angles, le temps... Origine Babylonienne |
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64 |
Tétrasexagésimale |
·
Avec bases 16 et 32. |
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96 |
Hexanonagésimale |
·
Avec bases 16, 32 et 64 |
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100 |
/ |
·
L'Hindi, est bien en base 10, mais tous les nombres de
1 à 100 ont un nom. |
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144 |
Centetétraquadragésimale |
·
Avec 12 (144 = 12²). |
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240 |
/ |
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Système
monétaire introduit par Charlemagne puis adopté par les Britanniques: 1 livre
= 20 shillings et 1 shilling = 12 pence; soit 1 livre = 240 pence. |
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360 |
Trecentosexagésimale |
·
Avec base 60. |
Voir Énigme de Randall / Nom
des polygones
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1010 = 10 10
en base 10 s'écrit 10 22 = 10 2 en binaire s'écrit 10 88 = 10 8 en octal s'écrit 10 nn = 10
n en base n s'écrit 10 n2 n =
100
le carré de n en base n
s'écrit 100 n3 n =
1000
le cube de n en base n s'écrit
1000 Etc. |
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Expression de 1000
base décimale en diverses autres bases:
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Au-delà de 9, il a fallu introduire de nouveaux
symboles pour matérialiser les nombres nécessaires; on utilise les lettres A,
B, C … Remarque: avec 100010 on a 3E816 , il faut aller jusqu'à 102410 pour obtenir
40016 . |
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Système
unaire ou monadique (Unary
numeral system) Note: ne pas confondre avec les repunits
qui s'écrivent 11…1. |
·
Système de comptage utilisé durant la Préhistoire,
lorsqu'on comptait avec des cailloux,
notamment pour dénombrer le cheptel.
·
Il ne s'agit pas à proprement parler d'une base de
numération (ordinal),
mais d'un système de comptage (cardinal). Le
symbole (ou l'objet) utilisé est écrit (ou posé) autant de fois que
nécessaire (concaténation / juxtaposition). Il s'agit donc plutôt de marque
de dénombrement. ·
Ce système est encore employé lorsqu'on compte avec des
bûchettes ou pour dénombrer les suffrages à un vote, etc. ·
Un symbole quelconque représente une unité. Il n'a pas
de chiffre
0, sinon avec un signe supplémentaire, ce serait du binaire.
Il n'y a donc pas de façon pour représenter explicitement le rien. ·
Applications modernes en théorie des nombres comme l'axiomatique de
Peano. |
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Code
unaire |
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Il existe un système de codage unaire qui utilise la
convention suivante à partir d'un nombre binaire. ·
un groupe de 0 est annoncé par un double zéro suivi
d'un espace ·
un groupe de 1 est annoncé par un zéro unique suivi
d'un espace Exemple: 11011100
=> 0 00 00 0
0 000 00 00 ·
En fait, c'est un code avec deux signes: le zéro et
l'espace. |
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Merci à Yvan Q. pour ses
remarques constructives
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Suite |
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Numération – Spécificités et bizarreries ·
Nombres
brésiliens – Repdigit en base b |
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Voir |
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Binaire ·
Chiffres – Glossaire ·
Tables de calculs en base 2 à 16 ·
Romain |
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Histoire des nombres
et des symboles mathématiques ·
Système unaire –
Wikipédia ·
La preuve
par 5 – (K)am~itié – Les systèmes
de numération en appui de la paléolinguistique · Numeral & Numbers' history
and curiosities. · List of numeral
systems – Wikipedia · Names of Bases
– Ask Dr. Math · Numerical
prefixes – The phrontisrety · Notice sur
les systèmes de numérations naturels: quinaire, dénaire vigénaire – M
Marre |
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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Numerati/aaaBASE/Intro.htm |
