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Édition du: 12/08/2021

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Graphes ou Polygones RIGIGES

Théorème et graphes de Laman

 

Comment rigidifier une structure. Quelles sont les bases appliquées au triangle, au carré et aux autres polygones ?

Sujet appartenant au vaste domaine de la géométrie discrète sous contrainte au service de la rigidité structurelle. Ses applications sont nombreuses en mécanique, travaux publics, chimie, etc.

Ces pages constituent une introduction et abordent le sujet sur le plan du divertissement, du défi.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Treillis et ponts

>>> Polygones rigidifiés

>>> Théorème de Laman (ou de la rigidité)

>>> Graphes de Laman pour P = {3, 4, 5, 6}

>>> Quantité des graphes de Laman

>>> Construction des graphes de Laman

>>> Sous-graphes rigides

 

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Topologie

Anglais: Geometric Constraint Systems (GCS) / Braced polygons

 

 

Treillis et ponts

haut

 

Rigide ou déformable

Rendre une structure indéformable consiste à créer des triangles, lesquels sont indéformables.

 

 

Un carré est rigidifié

en ajoutant une ferme en diagonale.

 

 

Assemblage

Un treillis, ou système triangulé, est un assemblage de barres formant des triangles de sorte que la déformation de l'ensemble soit nulle ou modérée.

Treillis de grue de chantier

Truss of a crane for construction site.

 

 

Toit et pont

Ferme de toit (King post truss).

Le treillis le plus simple utilisé surtout pour supporter un toit ou renforcer un piquet de clôture. Barre verticale maintenue en position par deux fermes latérales obliques.

La seconde structure est plutôt destinée à la construction de pont

 

Note

Si l'intérieur du carré est haubané par deux câbles d'acier (ou autres marériaux), c'est pour renforcer la solidité du pont à la charge du trafic et non pour la rigidité.

 

 

 

 

Treillis de Pratt

Un des treillis les plus simples, breveté en 1844 par Pratt et fils.

Chaque rectangle  est rendu rigide par une ferme transversale.

 

Voir La gamme des structures sur Treillis – Wikipédia

Tapez types de ponts haubanés ou types of truss bridges et cliquez sur images

 

 

Exemples de ponts

    

 

 

Polygones rigidifiés

haut

Création de triangles

Pour rigidifier les polygones, il suffit d'ajouter des barres diagonales pour diviser le polygone en triangles.

 

 

 

Les fermes bleues sont alors de longueurs différentes de celles des côtés. Un défi consiste à obtenir la rigidification en n'utilisant que des barres de même longueur >>>

 

 

Maintien des angles
et longueurs rationnelles

Pour rigidifier le carré, il suffit de maintenir un angle à 90°. Une équerre suffit.

En l'occurrence la ferme bleue mesure 5/4, valeur rationnelle.

 

Avec le pentagone, il faut maintenir deux angles fixes à 108°.

Les fermes en croisillons font l'affaire et ont des dimensions rationnelles:
1,1477… = 10/88;
0,2727… = 3/11 et
0,375       = 3/8.

 

Le cas de l'hexagone est simple: trois barres de longueur double suffisent.

 

Avec l'heptagone, une solution originale utilise quatre barres de longueur unité et quatre barres de longueurs 4/3 reposant au tiers des côtés.

 

Un défi consiste à réaliser ces consolidations de polygones avec des barres trouées régulièrement façon Meccano   >>>

 

 

Voir autres solutions en  Rationally bracing a rigid regular nonagon - Mathematics

 

 

Théorème de Laman (ou de la rigidité)

haut

 

Théorie des graphes

Les graphes de Laman s'appliquent à des structures rigides faites de barres et de joints (ou pivots).

Le retrait d'une seule barre conduit à la non-rigidité de la structure.

On parle de graphe structurellement bien contraint.

Utile dans le domaine de la modélisation géométrique par contraintes.

 

Théorème décrit par Maxwell (1831-1879) et démontré en 1970 par Gerard Laman (1924-2009). Propriété connue d'Hilda Geiringer dès 1927.

 

Un graphe rigide est aussi appelé graphe de Laman. Un tel graphe est caractérisé par un invariant: 2P – A = 3.

 

 

Théorème de Laman

 

Un graphe 2D (cad. dans le plan), comportant A arêtes et P pivots (ou points), est rigide:

* si la quantité d'arêtes est égale à: A = 2P – 3, et

* si tout sous-graphe de k points a au plus 2k – 3 arêtes.

A graph is generically, minimally rigid in 2D if and only if it has 2n−3 edges and no subgraph of k vertices has more than 2k−3 edges.

 

Si A < 2P – 3, la quantité de déformations possibles est: Q = 2P – A – 3.

 

Exemple de structure rigide selon le théorème

Cas de l'enveloppe

La structure de gauche n'est pas rigide. Le triangle est rigide, mais le carré peut se déformer.

Une diagonale quelconque (rouge) assure la rigidité.

La quantité d'arêtes (7) est alors égale à 2P – 3 = 7.

Voir Invariant des polyèdres (Euler)

 

 

Tous les types de graphes de Laman

pour P = {3, 4, 5, 6}

haut

 

 

D'après Laman Graph – Wolfram MathWorld

Voir Brève de maths n° 564

 

 

Quantité de graphes de Laman

L'illustration indique la quantité de points (P), suivie de la quantité d'arêtes (A). Ce graphique permet de compter les premières quantités de graphes en fonction de P: 

(3 => 1); (4 => 1); (5 => 3); (6 => 13).

Dénombrement

Le comptage des graphes de Laman  est extrêmement délicat. ll existe quelques  algorithmes (peddle algorithm) exploitant le théorème de Laman ou la méthode de construction de Henneberg. Internet se fait l'écho de nombreuses études qui visent à optimiser le temps de calcul.

 

En partant de P = 0, la quantité de graphes de Laman est donnée par cette suite:

 

1, 1, 1, 1, 3, 13, 70, 608, 7 222,

110 132,

2 039 273,

44 176 717,

1 092 493 042,

30 322 994 747,

932 701 249 291,

Voir OEIS A227117 – Number of minimally rigid graphs in 2D on n vertices

Aussi: OEIS A306420Maximal Laman number among all minimally rigid graphs on n vertices

 

 

Graphes typiques

Voir Carré rigidifié avec la structure de Moser / Gallery of named graphs – Wkipedia

Anglais: Moser spindle ( broche de Moser)

 

 

 

Construction des graphes de Laman

haut

 

Tous les graphes de Laman (graphes minimalement rigides) avec P sommets peuvent être créés à partir des graphes minimalement rigides avec P – 1  sommets en utilisant deux types de constructions appelées les constructions de Henneberg.

 

Avec le premier type, un nouveau sommet est ajouté au graphe et deux nouvelles arêtes sont créées, reliant le nouveau sommet à deux sommets qui faisaient déjà partie du graphe.

 

Avec le deuxième type de construction, une arête S1 et S2 est supprimée. Un autre sommet S3 est sélectionné. Un sommet T est ajouté au graphe, ainsi que les trois arêtes (S1, T), (S2, T) et (S3, T).

 

Chacune de ces deux constructions ajoute "1" à la quantité de sommets et "2" à la quantité d'arêtes.

 

Propriété: un graphe construit en utilisant la construction de Henneberg est un graphe de Laman, et tout graphe de Laman peut être construit avec la méthode de Henneberg.

 

Exemple: passage du graphe à 4 points (sommets) aux trois graphes à 5 sommets

 

À gauche, le graphe à 4 sommets auquel on ajoute un sommet selon la méthode 1 (encadré rouge du haut), et selon la méthode 2 (encadré rouge du bas).

Le nouveau sommet est ajouté soit à l'intérieur soit à l'extérieur, deux cas considérés comme équivalents.

Les arêtes joignent les sommets d'un côté (lignes 1 et 3) ou de la diagonale (lignes 2 et 4).

 

À droite (encadré bleu), les trois types de graphes à 5 sommets selon leur représentation dans le tableau ci-dessus.

 

La colonne du centre montre les transformations pour atteindre la représentation de droite.

 

 

 

 Sous-graphes rigides

haut

 

On se donne un tapis de P points quelconques et on cherche la taille T du graphe rigide maximum réalisable avec A arêtes. Les croisements sont autorisés.

Lorsque P augmente, le tapis renferme d'abord et surtout des graphes rigides de taille 2, et brusquement se met à présenter des graphes rigides de grande taille. Une sorte de polymérisation, de transition de phases nommée percolation de la rigidité.

 

On a démontré que si:

*      A / P < 1,794 alors on ne trouve sans doute pas de graphes rigides supérieurs au triangle; et

*      A / P > 1,794, alors se dégage des graphes rigides englobant plus de 70% des points.

 

Le rapport devient 3,588 pour des graphes rigides limité au segment. 

 

 

 

Effet  de percolation étudié par P. Duxbury, C. Moukarzel, D. Jacobs, M. Thorpe, et démontré en 2011 par S.P. Kasiviswanathan C. Moore et L. Théran.

 

Pour plus d'informations, lire le document du CNRS

 

 

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Sites

*      Rigidité et percolation – Julien Barré – CNRS – 2014

*      Rigidity percolation - J. Barré, M. Lelarge et D. Mitsche – Diaporama

*      Laman graph – Wikipedia

*      Laman's Theorem   et Laman Graph– Wolfram MathWorld

*      Pont suspendu: le Golden Gate Bridge – Sophie Capdevielle, Hélène Hosin Molinaro et Quentin Laurent – Historique des ponts suspendus

*      Treillis (assemblage) – Wikipédia

*      Discrete geometry – Wikipedia

*       Exploring structural engineering fundamentals – Diaporama – Les bases

*      Rigid Graph – Wolfram mathWorld

*       Fundamentals of Structural Engineering – Jerome J. Connor et Susan Faraji – Springer – 2012 – pdf 1159 pages

*       Sur la réductibilité des graphes de contraintes géométriques - Samy Ait-Aoudia, Dominique Michelucci et Adel Moussaoui

*       The Rigidity Transition in Random Graphs – Shiva Prasad Kasiviswanathan, Cristopher Moore, Louis Theran

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http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Topologi/aaaGraph/Rigide.htm