NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 27/03/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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INDEX Histoire Polygones Constructions	Introduction	Duplication du cube	Trisection de l'angle
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		Sommaire de cette page >>> Heptagone régulier >>> Diagonales >>> Les mensurations de l'heptagone >>> Calcul de la hauteur >>> Calcul des rayons >>> Dessin de l'heptagone >>> Constructibilité >>> Constructions approximatives >>> Construction plus précise >>> Équation dans le plan complexe >>> Anglais >>> Heptaèdre

HEPTAGONE régulier

L'heptagone régulier est le plus petit polygone régulier non constructible à la règle et au compas. Problème impossible, tout comme la quadrature du cercle. Cependant, il existe d'autres façons de construire l'heptagone. Vous trouverez amusant, également, de découvrir le propriétés des diagonales de l'heptagone.

Heptagone: du grec hepta, sept, et gônia, angle. Polygone qui a sept angles, et donc sept côtés. Anglais: heptagon

Heptagone de Pythagore

Un heptagone de côté 24 et tous les triangles rectangles

tels que a² + b² = c² en nombres entiers (triplets)

Construction rapide

Microsoft Powerpoint 2007 offre la possibilité de dessiner un heptagone régulier facilement. Cette possibilité n'existe pas dans Word. Rappel: pour obtenir un polygone régulier, maintenez la touche majuscule enfoncée; et pour le centrer, maintenez aussi la touche contrôle enfoncée.

HEPTAGONE RÉGULIER

L'heptagone régulier est cyclique (inscriptible dans un cercle).

Ses 14 diagonales sont seulement de deux types: 7 grandes et 7 petites >>>

Observez: au "pied" de l'heptagone: l'angle plat (180° = ) est divisé en 7 angles égaux dont 5 ensemble forment l'angle au sommet de l'heptagone.

Valeur des angles dans l'heptagone régulier:

Voir Trigonométrie des angles en Pi/7

Les angles en Pi / 7
Notez que les angles dans le triangle ABD sont dans les rapports 1, 2, 4.

Rapport entre côté (a) de l'heptagone et le rayon (R) du cercle circonscrit:

Note sur le symbole pour le côté: "a" est classique, "c" est parfois utilisé pour ne pas confondre avec l'apothème; en anglais, c'est "s" pour side.

Évaluation de l'écart:

L'angle Pi/3 = 60° est l'angle du triangle équilatéral. Ce qui suggère une méthode de construction approximative à la règle et au compas.

Une autre méthode de construction approximative (plus compliquée!) repose sur le fait que la tangente est proche de 5/4 (Dixon en 1991):

Voir DicoNombre 0,86… / DicoNombre 1, 2539…

Heptagone régulier et ses diagonales

Longueur de la diagonale k, avec k la quantité de côtés interceptés par la diagonale.

k	Longueur
2	1,801937735
3	2,246979603

Voir Son calcul / Tables

Les mensurations de l'heptagone

Voir Diagonales de l'heptagone – Calculs et propriétés

Calcul de la hauteur
Dans le triangle ADH, l'angle en H est droit L'angle en A vaut la moitié d'un des angles de référence, soit ½ Pi/7. Sa tangente est égale au rapport DH / AH, avec DH = a/2 et AH = h, la hauteur cherchée.

Calcul des rayons et de l'aire
Rayon du cercle circonscrit (extérieur) Dans le triangle ODE, l'angle en O est un angle au centre, double de l'angle DAE. Leur moitié Dans le triangle rectangle DHO Rayon du cercle inscrit (intérieur) Dans le même triangle	Notations Aire de l'heptagone Aire triangle ODE: ½ DE x OH Aire de l'heptagone: 7 fois aire ODE.
Cette relation est commune à tous les polygones à n côtés.

DESSIN DE L'HEPTAGONE

Avec un rapporteur Une droite horizontale H et une droite perpendiculaire V. Tracez un cercle de rayon voulu tangent à la droite H, avec son centre sur V. Avec un rapporteur marquez les angles suivants: 25,7° 51,4° 77,1° Les points d'intersection des angles avec le cercle sont les sommets de l'heptagone. Tracez les horizontales (parallèles à H) pour obtenir les points symétriques. Vous obtiendrez la figure >>> Avec un canevas

CONSTRUCTIBILITÉ

On peut construire certains polygones à la règle et au compas comme les triangles, carrés, pentagones, hexagones, octogones … Et tous ceux qui ont un nombre de côtés multiples de ceux-ci. Même le polygone à 17 côtés est constructible comme le montra Gauss en 1796 (19 ans). Mais, le plus petit non-constructible est l'heptagone. Archimède avait donné une construction révélée par les mathématiciens arabes (traduction de Thabit ibn Qurra – IX^e siècle). Son authenticité n'est pas prouvée. Elle utilise le compas et une règle marquée de deux repères: construction dite par Neusis. Par contre, on est sûr que François Viète (1540-1603) a découvert cette construction par lui-même et sans le bénéfice de l'algèbre moderne. L'heptagone est parfaitement constructible en introduisant les coniques. Propriété mathématique, mais pas pratique du tout!

CONSTRUCTION approximative (efficace)
Principe Méthode du triangle équilatéral. Si le rayon du cercle circonscrit est égal à R, le côté de l'heptagone est très proche de la hauteur du triangle équilatéral de côté égal à R. Rappel du calcul de la hauteur du triangle équilatéral
Triangle équilatéral AOC de côté R. Sa hauteur h, calculée avec le théorème de Pythagore: Ici nous avons placé un côté du triangle sur un rayon du cercle.	Longueur CE = h: Différence: 0,0017… soit de l'ordre de 2 pour mille.
Construction de l'heptagone dans un cercle donné Pour construire l'heptagone régulier, facile! 1) Cercle de diamètre AOB; 2) Médiatrice CED de AO; et 3) La mesure du segment CE est très proche de celle du côté de l'heptagone. Ouvrir le compas sur cette mesure CE et la reporter six fois sur le cercle. Notez qu'en commençant avec un cercle de rayon CE et de centre A, le report six fois de ce cercle nous amène en F qui est quasiment à l'intersection du cercle initial (bleu) et du premier cercle dessiné en A. Tracé alternatif (simple) Deux cercles de rayon unité comme montré sur la figure. La longueur du segment rouge () est à reporter sur la circonférence d'un des cercles. Autre présentation (équivalente, mais moins facile à dessiner) 1) Dessinez un triangle équilatéral dans un cercle; et 2) Reportez AH sur le cercle, mesure proche de celle du côté de l'heptagone.

Merci à Jean-Paul D. pour sa contribution

Construction encore plus précise
Les constructions précédentes approchaient le côté de l'heptagone à 2 pour 1000. La présente construction va réussir 7 pour 10 000. Construction Le cercle contenant l'heptagone et son carré circonscrit ABCD. Le triangle équilatéral AEB s'appuyant sur AB. M et N intersection du triangle avec le cercle. QM est la longueur du côté de l'heptagone à un iota près. Calcul de la longueur QM Système d'axes avec A pour origine
Dans le triangle rectangle: AEQ avec Pythagore:	AQ = R = 1 (rayon du cercle bleu) QE² = AE² – AQ² = (2R)² – R² = 3R² = 3
Équation de la droite AE - origine des axes en A - Pente = coefficient directeur
Équation du cercle de centre O(1, 1)	(x – 1)² + (y – 1)² = 1
M intersection des deux - En remplaçant y par sa valeur en fonction de x pour la droite	(x – 1)² + ( x – 1)² – 1 = 0
On obtient une équation quadratique en x	x² – 2x + 1 + 3x² – 2 + 1 – 1 = 0 4x² – 2(1 + )x + 1 = 0 4x² – 5,4641… x +1 = 0
Solutions – Discriminant	D = b² – 4ac = (-2(1 + ))² – 4 .4 .1 = 4 (1 + )² – 16 =13,8564… = 3,722419…
Racine en x (Celle qui nous intéresse. Plus bas, les deux solutions)
Racine en y	y = x = 0,3770852534…
Coordonnées des sommets du triangle rectangle MPQ et comparaison à la longueur réelle du côté du pentagone (avant-dernière ligne):

Merci à Jérôme Bial de Bellerade pour ses remarques

Pour information

Les deux solutions analytiques (avec radicaux):

Rappel: puissance ¼ veut dire racine quatrième de 3, soit la racine de la racine.

Les valeurs numériques:

Équation dans le plan complexe
Construire un polygone régulier consiste à trouver es coordonnées des sommets du polygone dans un plan complexe. Soit, trouver les racines nièmes de 1. Ce sont les nombres cyclotomiques. Une idée de la démonstration
Racine 7^e de 1	z^7	= 1
Première racine évidente	z	= 1
Factorisation	(z^7 – 1)	= (z – 1) . f(z)
Après calculs	(z^7 – 1) / (z – 1)	= z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1
Une des solutions est	z	= cos(360/7) + i . sin(360/7)
Avec	x	= z + 1/z
Après calculs	0	= x^3 + x^2 – 2x - 1
Si x est rationnel	x	= p/q
Alors	q^3	= p (p^2 + pq – 2q^2)
Et, aussi	p^3	= q (q^2 – p^2 + 2pq)
Conséquence	p	= 1
Voir Trisection	q	= 1
Ce qui est impossible Les racines en x sont irrationnelles; c'est la même chose pour celles en z L'heptagone n'est pas constructible.

English Corner

A heptagon is a seven-sided polygon. The name septagon is not recommended. The regular heptagon is not a constructible polygon. Just as Archimedes described a method for trisecting an angle using a pair of compasses and a straight edge with two marks on it, so he gave a most ingenious method for constructing a regular heptagon. A heptagram or septagram is a seven-pointed star drawn with seven straight strokes. There are two kinds of heptagram: obtuse or acute: Each of the seven days of the week are represented as follows (clockwise):

Heptaèdre

Polyèdre à sept faces. Aucun n'est régulier. Une maison simple avec quatre murs un toit à deux pans et un sol est un heptaèdre.

L'heptaèdre de Szilassi est particulier. Chaque face a une arête commune avec les six autres faces. Il présente des similitudes avec le tore: surface homéomorphe.

Suite	Heptagone – Construction pat neusis Heptagone – Propriétés de ses diagonales Heptagone – Nombres Heptagone dans un cercle Heptagone dans le roman Malhorne Heptagone étoilé et ses angles Heptagone magique Heptagone réfléchi et pavage Heptagone semi-régulier Organisation d'un tournoi à huit joueurs Polygones Sept personnes autour d'une table
Voir	Bonne année 2017 Hilbert Histoire – Index Histoire et Antiquité Malhorne Polygone - Index Règle et compas Transcendant
DicoNombre	Nombre 7
Sites	Heptagone – Wikipédia Heptagon – Wikipedia – Pour les animations Heptagon – Wolfram MathsWorld Constructions approchées de J.-L. Breuil Panoplie du constructible Pierre Delezoïde - Lycée Buffon - Paris XV Règle - Compas - Coniques Construction of the regular heptagon using a grid Impossible Geometric Constructions Ask Dr. Math Compass-and-straightedge construction: heptagon – Chen Bai – Construction au 1/1000° près
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