NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 29/02/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Devinette – Simple !

Solution

La forme même des pyramides d'Égypte,

nous apprend que dès la plus haute antiquité,

les ouvriers avaient tendance à en faire de moins en moins.

Voir Pensées & humour

PYRAMIDE

Analogie avec le cône.

Ne pas confondre avec le prisme, sorte de cylindre à facettes.

FORME

CARACTÉRISTIQUES

Nom	Pyramide
Famille	Polyèdre
Cousin	Cône
Définition	Polyèdre ayant une base polygonale et un sommet.
Base	Polygone, régulier ou non.
Sommet	Un seul, appelé LE sommet (plus les sommets de la base polygonale).
Arêtes	Deux fois la quantité de côtés du polygone.
Faces	Il y en a autant que la quantité de côtés du polygone plus un.

PYRAMIDE régulière à BASE CARRÉE

Nom	Pyramide régulière à base carrée
Base	Carré
Faces latérales	Triangles équilatéraux

Calcul du volume

h	= 3/2 c	Calcul
d	= c / 2
H ²	= h ² – d ² = (3/2 c) ² – (c / 2) ² = 3/4 c ² – 1/4 c ² = 1/2 c ²
H	= 2/2 c
c	= 2 H
V	= 1/3 Aire de la base x Hauteur = 1/3 c ² x H = 1/3 x c ² x 2/2 c
V

Dans le cas où les faces sont simplement isocèles, le volume des pyramides est dans le rapport du cube de leur hauteur ou de leur côté.

Comparaison

On compare le tétraèdre et la pyramide à base carrée pour lesquels les triangles équilatéraux sont identiques. Soit c la longueur des 14 côtes.

Le volume de la pyramide est le double de celui du tétraèdre.

Voir Brève 680 / Cylindre, cône et sphère – Comparaison

PYRAMIDE À BASE TRIANGLE : Tétraèdre

Nom	Tétraèdre régulier
Base	Triangle équilatéral
Faces latérales	Triangles équilatéraux

Calcul du volume

h	= 3/2 c	Calcul
e	= h / 3 = 1/3 (3/2 c) = 3/6 c	Médiane
K ²	= h ² - e ² = (3/2 c) ² - (3/6 c) ² = 3/4 c ² - 3/36 c ² = ( 9/12 - 1/12 ) c ² = 8/12 c ² = 2/3 c ²
K	= 2 / 3 c
Aire base	= 3/4 c^2	Calcul
V	= 1/3 Aire de la base x Hauteur = 1/3 (3/4 c ² ) x (2 / 3 c )
V	= 2 / 12 c^3 = 0,1179… c^3
V	= f (des longueurs des côtés)

Surface

S	= 3 c^3 = 1,7321… c^3

Pyramide triangulaire trirectangle – Pythagore?
Nous nous propososns d'évaluer l'aire de la face ABC par rapport aux trois autres faces. La face ABC est dite face "hypoténuse" et les trois autres, faces latérales. Le point D peut être considéré comme la projection orthogonale de C sur le plan ABD. CH et DH sont hauteurs dans les triangles ABC et ABD.
Aire du triangle ABC	AABC = ½ AB x CH = ½ c . h
Aire des autres triangles	AACD = ½ i . b' ABCD = ½ i . a' AABD = ½ j . c
Carrés des aires des deux triangles du fond	AACD^2 + ABCD^2 = ¼ i² (a'² + b'²) = ¼ i² . c²
En ajoutant le troisième	AACD^2 + ABCD^2 + AABD^2 = ¼ c² (i² + j²) = ¼ c² . h² = AABC^2
Dans une pyramide triangulaire trirectangle, le carré de l'aire du triangle "hypoténuse" est égal à la somme des carrés des aires des trois autres triangles latéraux.

Voir Théorème de Pythagore / Application aux projections

BONUS sur les angles	Alpha est l'angle dièdre entre les plans de ABC et ABD (angle jaune en H sur la figure); Beta, idem pour le dièdre ABC et ADC; Gamma, idem pour le dièdre ABC et BDC.
Aire des triangles projetés, avec S aire du triangle ABC	AACD = S cos ABCD = S cos AABD = S cos
La somme des carrés des aires est égale à S² selon ci-dessus =>	S² = S² (cos² + cos² + cos² )
Conséquence	cos² + cos² + cos² = 1
La somme des carrés des cosinus des angles que fait un plan avec trois plans rectangulaires est toujours égale à l'unité.
Dans le triangle jaune on trace la hauteur issue de D: DE	Les angles de cette droite avec chacune des droites du trièdre rectangle sont également alpha, bêta et gamma.
Le triangle ABC étant choisi à volonté sur les trois droites du trièdre, il est possible de généraliser	La somme des carrés des cosinus des angles que fait une droite avec trois droites orthogonales est égale à 1.

Voir Sin² + Cos² = 1

Tronc de cône et tronc pyramide
Tronc de pyramide: volume qui subsiste lorsqu'une pyramide est étêtée par une coupe parallèle à la base. Quelle que soit la forme de la surface de base, le volume du tronc est donné par cette formule utilisant la moyenne héronienne:

Anglais: frustrum / Conical frustrum and pyramidal frustrum

Voir Tronc de cône

Vente pyramidale et système de Ponzi

Vente pyramidale Opération telle que le profit ne provient pas vraiment d'une activité de vente comme annoncé, mais surtout du recrutement de nouveaux membres. Le terme "pyramidal" témoigne du fait que les initiateurs du système (au sommet de la pyramide) profitent en profitant des membres de base, en les grugeant. Escroquerie de plus en plus sophistiquée, camouflée sous des termes attractifs pour le gogo: ventes multi-niveaux, multi-level marketing, make money fast, etc. En commençant avec 6 initiateurs, les suivants sont 36 (6 x 6); et au dixième niveau, on trouve déjà plus de 60 millions de personnes (6^10 = 60 466 176), en gros, la population française. Système de Ponzi Montage financier par lequel ce sont les investissements des nouveaux souscripteurs qui financent les gains des anciens. Une escroquerie qui s'écroule lorsque les nouveaux n'arrivent plus à alimenter l'immense masse des anciens. Le qualificatif de pyramidal vient de cette croissance En 1920, Charles Ponzi a mis en place une opération basée sur ce principe à Boston. Depuis, les cas sont nombreux dont un récent (2012) et français avec Bernard Madoff.

Anglais: Ponzi scheme

Humour

Le président Sadi-Carnot (1837-1894), alors élève à polytechnique, injurie une marchande de poissons qui avait taché son uniforme: Va donc eh! Pyramide tronquée, octaèdre irrégulier, cycloïde de révolution, équation usée, sinus décroissant ! Le commissaire de police fut incapable de dire si ces expressions pouvaient être considérées comme des injures publiques.

Voir Pensées et Humour

Devinette – Solution

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