NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/01/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
	Constante
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		Sommaire de cette page >>> PI – Index >>> Présentation de >>> Précision sur >>> Formule d'Euler & nombres d'Euler >>> Définitions diverses de >>> Aire du disque >>> Mnémotechnique

Journée de Pi

Pour les anglo-saxons, le 14 mars (3/14) est la journée du nombre PI. En 2015, on peut même fêter neuf décimales. En 2016, on retrouve l'approximation classique. Oh Ha Day comme dit la chanson. Une bonne "pie" (tarte en anglais) pour fêter l'occasion!

Voir Actualités 2015

Constante PI

Pour ne pas tourner en rond de dépit radieux!

Car un tour complet c'est deux pi radians .

Constante TAU = 2 PI

Il eu été préférable d'adopter Tau plutôt que Pi.

Car Pi symbolise le demi-tour alors que Tau représente un tour complet.

Exemple avec un dixième de tour:

PI - INDEX
Approximations de Pi Calcul Cercle – Index Curiosités Débutants Décimales – Quantité record Décimales – Les énièmes Décimales – Observations Formules Historique Mnémotechnique Multiples de Pi Propriétés Réduites de Pi – Calcul Réduites de Pi – Table Réduites de Pi – Dirichlet Relations autres constantes Triangle isiaque (3, 4, 5) Valeur	Pi - Glossaire Pi - Dictionnaire des nombres Pi – Probabilités (Buffon) Pi en base 2 Pi en flottant Pi(x) – Quantité de nombre premiers Cercle Quadrature du cercle Pi et Ramanujan Pi Pannumérique Pi et énigmes Pi et programmation (Maple et Python) – Nombreuses décimales

Deux endroits où se niche la constante Pi

Voir Constante Pi dans le DicoNombre / Triangle 345

Humour

An opinion without 3,14159 is just an onion.

Voir Pensées et Humour

Constante Pi: = 3, 14 15 9…

Arrondi à 3, 1416, d'où l'expression habituelle Pi égal "trois quatorze cent seize".

Origine du nom

Initiale de circonférence en grec: Perimetros

Nom donné par William Jones en 1706 dans son

A New Introduction to Mathematics

Adopté par Euler en 1748 dans son

Introduction à l'Analyse infinitésimale

Certains attribuent cette notation à Adrien Romain (XVI^e siècle)

Il est vrai que quelques mathématiciens utilisaient cette lettre pour désigner le périmètre et non le rapport: William Oughtred (1574-1660), Isaac Barrow (1630-1677), comme Archimède le faisait d'ailleurs.

Belles formules

>>>	>>>

Voir Historique de Pi

Présentation de PI
Les cent premières décimales de 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 … Le calcul de p est pratiquement le seul sujet des plus anciennes mathématiques qui reste sérieusement d'actualité en recherche mathématique moderne. Pi est:
Nombre irrationnel	Démontré par Lambert 1761, puis par Legendre vers 1794 pour et ²
Nombre transcendant	Démontré par Lindemann 1882
Nombre normal ?	Pas démontré

FORMULES donnant Pi et écart

Voir Tableau des formules d'approximation de Pi

EXPRESSIONS de Pi
Fractions continues	[3 ; 7, 15, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, ...] Voir fractions continues / réduites de Pi / Fraction
En binaire	= 11, 001 001 000 011 111 101 ... 22/7 = 11, 001 001 001....
Inverse de Pi	= 0,318 309 886 183 790 ... 3 – 2 = 0,317 8

Précision nécessaire sur Pi
5 décimales demi cm Sur circonférence d'un stade.	10 décimales demi cm Sur circonférence de la Terre.
20 décimales Quelques cm Sur notre Galaxie (la Voie Lactée).	30 décimales Précision relevant de la loupe Sur la taille de l'Univers.
Avec 39 décimales, on calcule la circonférence de l'Univers avec la précision du rayon de l'atome d'hydrogène.

Voir Calculs

FORMULE D'EULER & NOMBRES D'EULER
Formule révélée par Euler, véritable ordinateur ambulant. Elle associe les quatre entités mathématiques fondamentales: 1 , , e & i.	Voir Imaginaires
Autres formules voisines
En fait Euler découvrit plus tôt que =>

Voir Nombres complexes et racines de 1 / Nombre d'Euler

DÉFINITIONS diverses de Pi
1	Rapport du périmètre au diamètre d'un cercle.	= P/D = P/2r
2	Rapport de la surface au carré du rayon d'un disque.	= S / r²
3	3/4 du volume d'une sphère unité.	V = 4/3 r^3
4	1/4 de la surface d'une sphère unité.	S = 4 r ²
5	On appelle , le double de l'unique racine de cos x = 0, comprise entre 0 et 2. (Encore faut-il définir cos x, puis exponentielle, etc.)	etc.
6	est le nombre réel qui apparaît dans la formule de la dérivée de la fonction de e(x) qui est l'homomorphisme continu du groupe additif R sur le groupe multiplicatif U des nombres complexes de valeur absolue 1.	f = e(x) f' = 2 e(x)
7	Le nombre d'intersections d'une aiguille de longueur a sur un parquet de largeur b tend vers N, lorsque l'aiguille est lancée un grand nombre de fois.	N = 2a / b
8	La probabilité que deux nombres entiers, pris au hasard, soient premiers entre eux est 6 / ².	P = 6 / ²

AIRE DU DISQUE

Attention: ne pas confondre

Cercle Circonférence Périmètre

Disque Surface Aire

Méthode d'Archimède (un des méthodes)

On suppose connu le périmètre du cercle: P = 2 R

Trouvons l'aire du disque.

On procède par étapes, comme suit:

Le disque est découpé en 8 secteurs.

Les secteurs sont assemblés comme indiqué.

On obtient une guirlande en forme de parallélogramme.

La longueur du parallélogramme est égale au demi-périmètre du cercle: ½ P = R.

Sa hauteur est égale au rayon R.

Son aire est égale à A_p = R².

On peut imaginer prendre plus de 8 secteurs, même beaucoup plus, jusqu'à gommer l'aspect festonné des bords. À la limite, le parallélogramme est égal à l'aire du disque.

A_disque = A_p = R²

AUGMENTER LA QUANTITÉ DE SECTEURS

La différence entre l'aire du disque et celle du parallélogramme s'amenuise lorsque la quantité de secteurs grandit.

Avec 12 secteurs elle est de 0,14 (rayon unité).

Avec 96, elle est inférieure au centième.

Archimède a fait les calculs:

Il a montré que la différence est au moins divisée par 2, chaque fois que la quantité de secteurs est multipliée par 2.

Cette différence peut ainsi être rendue aussi petite que l'on veut.

L'aire du disque est bien égale à celle du parallélogramme limite.

Suite Méthode par exhaustion des polygones

Voir Aire du secteur, segment, lunule … / Disques évidés / Rosaces

Aires des éléments de cercles

Voir Formules et calculs des formes avec cercles

MNÉMOTECHNIQUE

Quatrain célèbre ( du moins son premier vers) qui donne 30 décimales Que j'aime à faire connaître ce nombre utile aux sages! Immortel Archimède, artiste, ingénieur, Qui de ton jugement peut priser la valeur ? Pour moi ton problème eut de sérieux avantages. Inverse avec 6 décimales: 0 , 318310 Que j'aimerais une réciproque Autres langues Anglais May I have a large container of coffee today (3. 1 4 1 5 9 2 6 5) May I have a large container of butter today Allemand Wie? O! Dies p Macht ernstlich, Jünglinge, leichte Verselein Espagnol Con 1 palo y 5 ladrillos se pueden hacer mil cosas  Formule historique qui donne l'inverse de Pi à 1/4 000 000 Les 3 journées de 1830 qui ont renversé 89  1/ = 0,3 1830 98

Voir Trois Glorieuses / Mnémotechnique

Date en Pi

Le 14 mars 2019 à 3:14 PM, la fusée Soyouz lance trois astronautes (deux Américains et un Russe) à partir du Kazakhstan pour rejoindre la station spatiale.

Pour les Américains qui placent le mois avant le jour, le 14 mars 2015 fut la date magique de Pi

3/14/15 3,1415

Ils ajoutent qu'à 9h 26 min 53s l'heure était exceptionnelle:

= 3,1415 9 26 53 …

Le 14 mars est le jour de la naissance d'Einstein.

Le 14 mars, certains restaurants offrent la pizza à 3.14$; certaines pâtisseries offrent une part de tarte pour tout achat; etc.

La première célébration du jour de Pi date de 1988: San Francisco, organisé par Larry Shaw. Journée reconnue officiellement en 2009.

Voir Dates

Suite	Calcul de Pi Pi - Glossaire Pi - Dictionnaire des nombres Cercle
Voir	Arctg Calcul mental – Index Constantes de l'univers  Constantes Mathématiques Construction approchée de Pi Géométrie – Index Nombres premiers dans Pi Quadrature du cercle Réduites de Pi - Calculs Théorie des nombres
Livre	Le fascinant nombre Pi (Réédition de l'original de 1997, révisé et augmenté) – Jean-Paul Delahaye – Belin - 2018
Sites Incontournables	L'Univers de Pi de Boris Gourevitch The Pi-Search page Rechercher dans les décimales des principales constantes (Pi, e, racine de 2, Phi).
Sites	Le nombre Pi – m@ths et tiques Autour du nombre Pi – Pierre Eymard
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PiIntro.htm

Calculs

5 et 10 décimales

RSTADE =	100	m	RTERRE =	6 378	km
			=	6 10^6	m
=	10^5	mm	=	6 10^9	mm
CS = 2 RS =	6 10^5	mm	CT = 2 RT =	3,7 10^10	mm
5 positions =>	6	mm	10 positions =>	3,7	mm

20 et 30 décimales

DVL = 100 000 années-lumière	10^13	km	TU = 15 milliards années-lumière	15 10^9	Al
=	10^16	m	=	1,4 10^26	m
=	10^19	mm	=	1,4 10^29	mm
CT = 2 RT =	3,1 10^19	mm	CU = TU =	0,44 10^30	mm
20 positions =>	31	mm	30 positions =>	0,44	mm

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