NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/11/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Muscle trapèze Anglais: trapezius		Quadrilatère	Carré	Trapèze
		Parallélogramme	Carré – Propriétés	Losange
		Rectangle	Trapèze et pentagone
			Sommaire de cette page >>> Données dans le trapèze >>> Trapèze isocèle >>> Trapèze isocèle et cercle inscrit >>> Théorème du trapèze >>> Bimédiane >>> Diagonales >>> Partage de la grande base >>> Trapèze et triangle équilatéral >>> Réduction du trapèze

ANNONCE: Trapèze des Mascareignes

Trapèze des Mascareignes est un espace géographique de l’Océan Indien. Il se situe entre Madagascar, Mayotte, Les Comores, Les Seychelles, Rodrigues, l’île Maurice et l’île de La Réunion. Ces îles regroupent pas moins de cinq pays.

Objet d'un concours en 2020, organisé par les îles Vanilles.

Infos sur cette région géographique et sur ce concours >>>

TRAPÈZE

Quadrilatère plan dont deux côtes (exactement) sont parallèles, appelés bases du trapèze.

Un quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement s’il possède une paire d’angles consécutifs de somme égale à 180°

Trapèze isocèle: les deux côtés non parallèles sont de même longueur.

Trapèze rectangle: il a un angle droit.

Américain: Trapezoid / Anglais: Trapezium

Du grec trapézion: petite table; et table vient de tetras, quatre et péza, pied.

Cousins

Données dans le trapèze
Aire Angles A + B + C + D = 360° A + D = B + C = 180°	Notation: longueur de AB = a; etc.
Démonstration géométrique du calcul de l'aire Le trapèze est dupliqué, découpé puis assemblé à l'original. L'ensemble forme un rectangle contenant deux fois le trapèze initial.
Justification algébrique ATrapèze = ARectangle – T1 – T2 = GH – ½ (G – c)H – ½ (G – a)H = GH – ½ GH + ½ cH – ½ GH + ½ aH = ½ (a + c) H
Conséquence Tous ces trapèzes, dont les côtés sont sur les mêmes parallèles et ont les mêmes dimensions, ont une aire identique.

Voir Calcul par intégration de l'aire du trapèze / Calcul analytique de l'aire du triangle

Trapèze isocèle
Caractérisation ou condition nécessaire et suffisante pour qu'un trapèze soit isocèle: Deux angles adjacents à une même base sont égaux. Les côtés non parallèles sont de même longueur. Les deux diagonales ont même mesure. Les angles des diagonales par rapport à la base sont égaux. Les deux bases du trapèze ont la même médiatrice, et celle-ci est un axe de symétrie du trapèze. Si le trapèze est isocèle, les angles opposés sont supplémentaires.
Relations dans le trapèze isocèle Avec un exemple numérique (x veut dire: a priori inconnu)	Propriété Un point P dans un trapèze isocèle de côtés parallèles AB et CD, alors: Voir Théorème du drapeau britannique

Voir Triangle isocèle / Centre de gravité du trapèze isocèle / Trapèze isocèle en démonstration

Trapèze isocèle et cercle inscrit
Problème Un cercle de centre O et de diamètre 10 cm. Un trapèze isocèle ABCD circonscrit dont l'aire est 100 cm². Donnez la longueur des côtés AD = BC = x. Solution
Aire du trapèze:	A = ½ EG (AB + CD) = 5 (AB + CD)
Avec les triangles marqués par les pointillés, égaux deux à deux (angle droit, côté commun et côtés égaux à R).	AB + CD = AE + EB + DG + GC = AH + BF + HD + FC = AD + BC
En remplaçant:	A = 100 = 5 (AD + BC) = 5 . 2x x = 10 cm
Si AD = BC = EG = 10 cm, alors:	ABCD est un carré de 10 cm de côté et son aire est bien 100 cm².

Alignement: théorème du trapèze
Théorème Les quatre points m, n, s, et t liés au trapèze sont alignés. Démonstration
Homothétie de centre	s
avec les parallèles	AB et DC
L'image de	A étant C
Celle de	B est D
Globalement	AB devient CD
Leurs milieux sont aussi homothétiques	n devient t
Et alignés sur le centre d'homothétie	n, s et t sont alignés
Homothétie de centre	m
avec les parallèles	AB et DC
Globalement	AB devient DC
Leurs milieux sont aussi homothétiques	n devient t
Et alignés sur le centre d'homothétie	n, m et t sont alignés
Bilan	n, m, s et t sont alignés

Médianes
Première médiane La médiane classique du trapèze relie les points milieux des côtés non par parallèles. Théorème de la médiane du trapèze: MN est parallèle aux bases AB et CD. MN = ½ (AB + CD) Pour le démontrer, il suffit d'appliquer le théorème des points milieux dans le triangle pour ABD et BCD: MP = ½ AB et PN = ½ CD La somme donne le résultat.	English: The median of a trapezoid is parallel to the bases and equal to one-half the sum of the bases.
Cette médiane partage le trapèze en deux petits trapèzes de même hauteur, dont les aires sont les suivantes:
Seconde médiane Les bases sont coupées en leur milieu. MM' est la seconde médiane du trapèze. Les trapèzes AMM'D et BMM'C, ont même aire (même hauteur et bases égales).
Les deux "demi" trapèzes ont même aire (cf. ci-dessus). Les deux triangles rouges ont même aire (même hauteur et base égale à c/2). Les deux triangles bleus ont même aire (même hauteur et base égale à a/2). Par différences, les triangles verts ont même aire.

Voir Médiane

À retenir: les deux triangles latéraux ont la même aire

Produit des aires roses = produit de l'aire verte par l'aire bleue

Voir Brève 55-1088

Avec les diagonales
Du fait des côtés parallèles AB et CD, les triangles APB et CPD sont semblables, et les diagonales se coupent dans les mêmes proportions: Relation entre diagonale P et Q et les côtés P² + Q² = 2ac + b² + d² Avec P = p + p' et Q = q + q'
Un quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement si le produit des aires des triangles formés par une diagonale est égal au produit des aires des triangles formés par l'autre diagonale. (V + U) (S + T) = (V + S) (U + T) En développant VS + VT + US + UT = VU + VT + SU + ST VS + UT = VU + ST V (S – U) = T (S – U) (V – T) (S – U) = 0 Or V = T, ce qui valide l'affirmation.

Voir Généralisation au quadrilatère convexe quelconque

Partage de la grande base
Exemple numérique La longueur de chacun des quatre cotés est connue. Application des formules pour calculer p et q. Application de Pythagore pour calculer la hauteur.
Le calcul direct de la hauteur, connaissant les quatre côtés, s'effectue en utilisant cette formule du type de celle de Héron: Vérification numérique:

Trapèze et triangle équilatéral
La découpe du trapèze La figure montre la découpe de ce trapèze isocèle en trois triangles équilatéraux identiques. Comment le découper en quatre pièces identiques ? Réponse Deux solutions (exposées ci-dessous) avec quatre trapèzes.
Première possibilité Quatre trapèzes rectangles (a, a/8, h, a/2), avec :
Deuxième possibilité Quatre trapèzes isocèles (a, a/2, a/2, a/2). Ces quatre pièces et les quatre précédentes ont la même aire (t)	Aire du grand trapèze : 1,23 x 8² = 83,14... (Vérification en comptant les carreaux ; 12 x 7 = 84).

Trapèzes bovins

Réduction du trapèze
Problème Un trapèze bleu dont on connait les dimensions a, b et c. On réduit ce trapèze pour obtenir le trapèze jaune en raccourcissant les bases et la hauteur de la même quantité z. Quelle est la valeur de la longueur x de la nouvelle base du haut ? Indice Non, les deux trapèzes ne sont pas homothétiques (semblables). Les dimensions n'ont pas été réduites dans les mêmes proportions. On a retranché une valeur donnée dans les deux directions. Valeurs identiques, certes, mais il s'agit d'une soustraction et non pas une division. Solution (triangle rectangle externe) La solution passe par le tracé du triangle rectangle prolongeant le trapèze bleu; en introduisant la hauteur dont il est facile de calculer la longueur en appliquant le théorème de Thalès.
Avec les triangles semblables impliquant le trapèze bleu:
On en déduit la valeur de d:
Avec les triangles semblables impliquant le trapèze jaune:
En arrangeant:
Exemple numérique Données Trapèze bleu: a = 60 b = 50 c = 15,36 Trapèze jaune z = 10 et v = 10 Calcul Note L'angle à la base n'a pas d'importance. Il est d'ailleurs imposé par la taille du trapèze bleu. Ici, l'angle vaut 60° et sa tangente, racine de 3. A = arctan(A) = 60°
Méthode équivalente (triangle rectangle interne) x = c – v + w Application numérique w = 10 (50 – 15,36) / 60 = 5,77 x = 15,36 – 10 + 5,77 = 11,13

Suite	Centre de gravité du trapèze isocèle Rectangle Trapèze converti en hexagone Trapèze rectangle dans un demi-cercle Trapèze et pentagone – Dissection Triangles Parallélogramme
Voir	4 Couleurs Carré dans le triangle Constructions avec des allumettes Géométrie – Index Jeux – Index Nombres Carrés Parallélogramme dans le cube Pavage du carré Polygones Somme de vecteurs
DicoNombre	Nombre 1,732 (racine de 3) Nombre 4
Site	Characterizations of trapezoids (.pdf, anglais)
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Trapeze.htm