NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/04/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Postulat sur les droites >>> Droite >>> À propos de définitions en géométrie >>> Propriétés >>> Points sur la droite >>> Intersections de droites >>> Équation de la droite >>> Exemples >>> Énigme des deux échelles >>> Cercle défini par une équerre >>> Cercle défini par un U

Une droite, c'est une chose qui se comprend immédiatement.

On embrouille l'esprit à chercher à la définir davantage.

Pascal (1623 - 1662)

Plus court chemin d'un cœur à un autre,

sa ligne droite doit s'inscrire dans un triangle.

Définition du string selon Philippe Bouvard

Dans divers arts, et principalement dans l'art d'écrire, le meilleur chemin entre deux points même proches n'a jamais été, et ne sera jamais, et n'est pas la ligne droite.

José Saramago

Par deux points fascistes, passe une extrême droite et une seule.

Jean Yanne

Est-ce que l’on peut considérer que le zèbre est un animal de trait ?

Voir Pensées & humour

DROITES

La droite: pas facile de définir une notion pourtant si évidente.

La pointe du crayon qui courre sur une feuille engendre une ligne.

Un fil de fer, une ficelle- donne une image de la ligne.

La circonférence du cercle, la ligne d'horizon sont des lignes courbes. Un mètre pliable est représentatif de la ligne brisée.

Le cordeau du maçon tendu entre deux clous est une bonne image de la ligne droite.

Le fil à plomb est représentatif de la ligne droite verticale.

La règle et le double-décimètre sont des instruments qui permettent de dessiner des lignes droites.

Sans confusion, la ligne droite est abrégée en droite.

Voir Expression avec le mot "droite"

Types de droites

POSTULATS sur les droites
Une droite est illimitée dans les deux sens. Par deux points distincts, il passe une droite et une seule. Deux droites sont parallèles si elles sont dans le même plan et n'ont aucun point commun. Par un point extérieur à une droite, on ne peut mener qu'une seule parallèle à cette droite – Suite en Postulat d'Euclide.

DROITE – Définitions
Euclide III^e siècle av. J.-C.	Une ligne droite est celle qui est également répartie entre les points qui la constituent. Une ligne est une longueur sans largeur. Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elle. Autrement dit: Par deux points, il passe une droite et une seule.
Archimède 287 - 212 av. J.-C.	De toutes les lignes ayant même extrémité, la ligne droite est l'ultime. Autrement dit: La ligne droite est la plus courte distance entre deux points.
Proclus 412 - 485	La ligne droite est cette ligne qui, lorsque ses extrémités demeurent fixes, reste elle-même fixe.
Roberval 1602 - 1675 Gauss 1777 - 1855	La ligne en laquelle se trouvent tous les points qui, lors de la révolution d'un solide autour de deux points fixes, restent invariants, est appelée ligne droite.
Larousse	La droite mathématique peut-être matérialisée par un fil tendu entre deux points ou par un fil à plomb. On obtient ainsi le chemin le plus court entre les deux points.
Mathématiques abstraites	On considère un ensemble appelé plan et désigné par P (la lettre grecque Pi majuscule). Les éléments de cet ensemble sont appelés points et désignés par a, b, c… Il existe dans le plan P des ensembles de points appelés droite et désignés par A, B, C … On pourrait rester en géométrie abstraite. C'est par commodité que l'on donne les noms de plan, droite et points L'ensemble P contient au moins deux droites. Toute droite A contient au moins deux points.² Etc.
Moderne	On appelle droite d'un espace affine tout sous-espace affine de dimension 1.

À propos de définitions en géométrie Du temps de Lagrange, Laplace, Monge, Fourier … Vers 1795
Un élève	Le but d'une définition est de convenir entre soi de l'objet d'une discussion. Lorsqu'un objet est simple, que tout le monde en a le sentiment, sa définition est inutile.
Condillac	Les géomètres ont eu tord de définir le point. Le point est une chose si simple, qu'elle n'a pas besoin de définition.
Monge	Lorsqu'au moyen de ces définitions on est convenu de ce qu'on doit entendre par points, par lignes et par surfaces. non seulement il n'est pas contraire à la méthode la plus sévère de regarder les surfaces comme engendrées par des lignes, et les lignes comme engendrées par des points mais cela devient indispensable.

 D'après Fourier par Jean Dhombres et Jean-Bernard Robert

Propriétés
Point intermédiaire	Entre deux points d'une droite, il y en a toujours un troisième.
Continuité	Une droite est continue, sans trou. C'est une caractéristique essentielle de la droite.
Sécante	Dans un plan, deux points de part et d'autre d'une droite ne peuvent pas être réunis sans couper la droite.
Chemin	La droite est le plus court chemin d'un point à un autre.
Alignement	Deux points sont toujours alignés. Par deux points distincts ne passe qu'une seule droite. Étant donnés deux points, il n'existe qu'une seule droite qui les contient.
Éclipse	Trois points ne sont que très exceptionnellement alignés. Analogie avec le phénomène rare de l'éclipse: Soleil, Lune et Terre "alignés".
Trois cas pour deux droites dans un plan

Points sur la droite
La quantité de points sur une droite est infinie. La quantité de points sur un segment est infinie. Il y a autant de points sur une droite que sur un segment, même tout petit ! Il y a autant de points sur un petit cercle que sur un grand cercle.	Il y a autant de points sur le segment AB que sur la droite d et autant sur le demi-cercle ACB, d'ailleurs. On trace OM puis CM'. À tout point M de d correspond un point C du demi-cercle. Et donc un point M' appartenant au segment AB.

Voir Infini et cercle / Infini et nombres réels

Par deux points fascistes passe une extrême droite et une seule.

Jean Yanne

Intersection
Deux piliers et deux cordes tendues du sommet de l'un au pied de l'autre. Quelles sont les coordonnées du point d'intersection?

Anglais; two vertical poles or pillars / two strings are tied,

each of them from the top of one pillar to the bottom of the other.

Voir Énigme des deux échelles

Équation de la droite

L'équation de la droite est donnée en page sur les fonctions affines.

Nous intéressons ici à l'équation cartésienne introduite en classe de première sous la forme d'un bref résumé des définitions et le développement de quelques exercices.

Résumé
Équation de la droite	Ax + By + C = 0 Vecteur directeur
Deux mondes	Monde cartésien Ax + By + C = 0		Monde classique y = ax + b a est la pente = b est l'ordonnée à l'origine =
Deux points
Par l'origine
Droite perpendiculaire en A à la droite y = mx + b

Voir Équation classique de la droite avec exemples / Milieu de l'arc / Droites parallèles
Application à la recherche du rayon du cercle inscrit dans le quart de cercle

Les flèches des vecteurs sont omises (pas de confusion possible, ici)

Exercice 1
Question Que peut-on dire des trois points I,J etK? Calculs IJ = IA + AJ IJ = – AI + AJ IJ = – 3/5 AB + 2AC IK = IA + AK IK = – AI + AK IK = – 3/5 AB + AK – 3AK + 3BK + 10CK = 0 – 3AK + 3(BA + AK) + 10(CA + AK) = 0 – 3AK + 3BA + 3AK + 10CA + 10AK = 0 3BA + 10CA + 10AK = 0 – 3AB – 10AC + 10AK = 0 – 3AB – 10AC = – 10AK 3AB + 10AC = 10AK 3/10 AB + AC = AK IK = – 3/5 AB + 3/10AB + AC IK = – 6/10 AB + AC IK = – 3/10AB + AC 2IK = – 3/5 AB + 2AC IJ = 2 IK	Données Triangle ABC Point I au 3/5 de AB Point J au double de AC Point K tel que: – 3AK + 3BK + 10CK = 0 Figure Conclusion IKJ sont alignés et K est au milieu de IJ. La figure est fausse. Pas de souci. Elle nous a permis d'y voir plus clair.

Exercice 2
Question MA + 2BM – 5MC = BC Exprimer AM. Calculs – AM + 2(BA + AM) – 5(MA + AC) = BA + AC – AM – 2AB + 2AM + 5AM – 5AC = – AB + AC 6AM – 2AB – 5AC = – AB + AC 6AM = 2AB + 5AC – AB + AC 6AM = AB + 6AC AM = 1/6AB + AC	sans figure

Exercice 3
Données Parallélogramme ABCD Point E au triple de AB Point F à 3/2 de AD Question Que dire des points E, F et C?
Calculs EC = EA + AC EC = – AE + AC EC = – 3AB + AC EC = – 3AB + AD + DC EC = – 3AB + AD + AB EC = – 2AB + AD	CF = CA + AF CF = – AC + 3/2 AD CF = – (AD + DC) + 3/2 AD CF = – AD – DC + 3/2 AD CF = – 2/2AD – DC + 3/2 AD CF = 1/2AD – AB 2CF = AD – 2AB ECF sont alignés

Exercice 4
Question 2x – 3y + 4 = 0 Montrez que la droite définie par cette équation et le vecteur w sont colinéaires.	Solution En rouge, cette sorte de produit en croix est appelée déterminant des deux vecteurs. Le déterminant est nul, les vecteurs u et w sont colinéaires.

Voir Déterminant des matrices

Exercice 5 – Énigme des deux échelles
Question Un couloir de 6 m de large, bordé par deux murs verticaux Deux échelles sont posées contre chacun des murs. Leur pied s'appuyant sur le mur opposé. Quelles sont les coordonnées du point de croisement E ? Réponse Mise équation des deux droites portant les échelles et calcul de x pour une valeur commune de y (intersection des droites):	Illustration Couloir en bleu et échelles en vert

Voir Intersection de droites

Cercle défini par une équerre		haut
Construction Une équerre de 10 par 5. Un cercle centré sur le grand bras de l'équerre passe par ses deux extrémités. Quel est le rayon du cercle ? Piste Pythagore appliqué au triangle rectangle. Calculs

Cercle défini par un U		haut
Construction Une sorte de U formé de trois segments perpendiculaires de longueurs 4, 6, 8. Quel est le rayon du cercle passant trois de ses points ? Méthode analytique Le centre du cercle est situé sur les médiatrices des cordes AB et AD. Il s'agit en fait de trouver le rayon d'un cercle passant par trois points connus. Ici: A, B et D. Le calcul analytique semble bien adapté. Le centre du cercle est commun aux deux médiatrices (droites vertes) dont on va calculer les équations. Le rayon, égal à la distance OA, sera calculé avec le théorème de Pythagore Calculs	Défi: calculer le rayon Notations
Méthode géométrique On s'intéresse aux deux triangles bleus. Avec le théorème de Pythagore, on calcule h et g sachant que h + g = 6.

Voir Défis en géométrie / Trois méthodes pour trouver l'équation d'un cercle passant par trois points

Suite	Base de la géométrie: la droite Droite – Glossaire Droites par n points (combien) Plan Équation de la droite passant par deux points Équation de la droite (exemple) Les courbes – Découverte Junior (diaporama) Constructions élémentaires: droites parallèles
Incontournables	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès
Voir	Constructions avec des allumettes Diamètre Équation du premier degré Géométrie – Index Histoire : Euclide, Archimède … Infini Jeux Jeux – Index Les Éléments Nombres triangle Points Polygones Somme des entiers
Dicomot	Glossaire des termes de mathématique
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