Cercles inscrits

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/03/2024 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page Cercle inscrit dans un polygone >>> Cercle inscrit dans le carré >>> Cercle inscrit dans le triangle >>> Triangle rectangle >>> Triangle de Pythagore >>> Triangle équilatéral >>> Cercles dans un quadrilatère cyclique Cercle parmi n cercles >>> Bilan >>> n cercles

Cercles dans un cercle – Kandinsky

CERCLES INSCRITS

Dans le triangle quelconque

Calcul du rayon du cercle inscrit.

Dans le triangle rectangle de Pythagore (nombres entiers)

Le rayon du cercle inscrit est aussi un nombre entier.

Au milieu de cercles

On dessine des cercles identiques tangents entre eux.

Une place se dégage au centre.

Quelle est la taille du cercle inscriptible ?

Voir Définitions des trois types de cercles

Cercle inscrit dans le carré

En bleu le cercle inscrit dans le carré. Son diamètre est égal au côté du carré.

Avec Pythagore, on calcule la longueur de la diagonale du carré. On en déduit:

Sur la figure R_CC = 1,414 … R_CI

Le ratio entre l'aire des deux cercles est donc égal à 2. L'aire de la couronne est égale à celle du cercle inscrit.

Voir Carré le plus grand dans k cercles

Cercle inscrit dans le triangle quelconque
Le centre du cercle inscrit O dans le triangle quelconque est le point de concours des bissectrices (AO, BO et CO). Voir Les dix problèmes d'Apollonius (LLL) Propriété des bissectrices: les segments OP_A, OP_B et OP_C sont égaux et perpendiculaires aux côtés. Ce sont trois rayons du cercle inscrit. Les deux triangles de sommets A sont égaux (isométriques). Même chose en B et C. L'aire du triangle est égale à la somme des aires de ces six triangles. En posant : a + b + c = 2 (x + y + z) = 2s Le rayon du cercle inscrit est égal à deux fois l'aire divisée par le périmètre du triangle.	Les triangles AOP_B et AOP_C sont égaux, car: - Angles en A égaux; - Angles droits en P; et - Côté commun AO.
Et, en prenant la formule de Héron pour l'aire:

Voir Coordonnées du centre du cercle inscrit / Relations dans le triangle quelconque / Problèmes d'Apollonius

Merci à Philippe Morin pour sa relecture attentive

Triangle rectangle
Première relation (d'après ci-dessus) A = ½ ab et P = a + b + c r = ab / (a+b+c) Deuxième relation Elle résulte de la vérification suivante (utilisation du théorème de Pythagore): (a + b + c) (a + b – c ) = a² + 2ab + b² – c² = 2ab Cercle circonscrit Le triangle rectangle est inscrit dans un demi-cercle et le rayon du cercle circonscrit est c/2.	Formules connues du Chinois Liu Hui (220-280), prouvées par une dissection géométrique. Attention cette relation n'est valable ici que parce que a² + b² = c² Aire du triangle = demi-périmètre x rayon
Démonstration alternative En comparant la somme du triangle complet à la somme des trois triangles le composant. Les trois rayons dessinés vers les points de tangence étant les hauteurs de ces triangles.
Autre démonstration (la plus simple) Les segments tangents issus d'un même point étant égaux: a = r + x b = r + y c = x + y a + b – c = (r + x) + (r + y) – (x + y) a + b – c = 2r
Formules

Anglais: The inradius of a right triangle with integral sides

Triangle de Pythagore – Extraordinaire!
Approche Quel est le rayon du cercle inscrit dans le fameux triangle de Pythagore (3, 4, 5). En appliquant la relation vue ci-dessus, il vient que r = 1, un nombre entier. Est-ce toujours vrai ? Oui !
Généralisation Caractérisation des côtés du triangle (triplet de Pythagore).	a = u² – v², b = 2uv, c = u² + v² Avec u > v, tous deux des nombres entiers.
Aire	A = ½ (u² – v²) 2uv = uv (u – v) (u + v)
Périmètre	p = u² – v² + 2uv + u² + v² = 2u² + 2uv = 2u(u + v)
Calcul du rayon du cercle inscrit
Théorème La longueur du rayon du cercle inscrit dans un triangle de Pythagore est un nombre entier.

Et les autres cercles?

Les longueurs ont également des nombres entiers pour les rayons des trois cercles exinscrits

Mais, ce n'est pas le cas du rayon du cercle circonscrit qui vaut c/2, or dans un triplet primitif c est impair.

Exemple

Avec u = 3 et v =2

a = 9 – 4 = 5

b = 2 x 3 x 2 = 12

c = 9 + 4 = 13

A = ½ 5 x 12 = 30

p = 12 + 13 + 5 = 30

r = 2A/p = 2

Relation entre (a, b, c) et r

Cas de c = b + 1

Remarque

Valable pour les triplets en (a, b, b+1)

Ne donne pas, par exemple, les triplets:

( 8, 15, 17) avec r = 3;

(12, 35, 37) avec r = 5;

(20, 21, 29) avec r = 6;

etc.

Triplet (a, b, c) pour r de 1 à 15

Anglais: Circle inscribed in Pythagorean triangle

Triangle équilatéral – Calcul des aires

Avec le triangle équilatéral,

l'aire du cercle circonscrit est égale à quatre fois celle du cercle inscrit; et

la zone jaune en croissant a la même aire que celle du cercle inscrit.

ces trois croissants jaunes forment une couronne dont l'aire est trois fois celle du cercle inscrit.

Voir Recherche du centre du cercle inscrit dans le triangle équilatéral

Dans un quadrilatère cyclique

Théorème japonais pour les quadrilatères inscriptibles

ABCD un quadrilatère cyclique.

Les deux diagonales AC et BD.

Les quatre cercles inscrits dans les grands triangles formés avec les côtés et les diagonales.

Les quatre centres de ces cercles sont les sommets d'un rectangle.

Cercles inscrits dans l'espace formé par n cercles tangents

BILAN

0,154	= (23/3 – 1)	Rayon du cercle inscrit dans 3 cercles
0,410	= 1/2 (2 2 – 2)	Rayon du cercle inscrit dans 4 cercles
0,701		Rayon du cercle inscrit dans 5 cercles
1		Rayon du cercle inscrit dans 6 cercles

Voir DicoNombre

n CERCLES de même rayon

3 cercles

a = R + r	= 2/3 h	r = 2/3 h - R
h² = (2R)² - R²	= 3R²	h = R3
r = 2/3 3 R - R	= (23/3-1)R	r = 0,15470... R

Voir Orthocentre / Triangle équilatéral

4 cercles

D = 2 R + 2 r		r = 1/2 (D - 2R)
D² = (2R)² + (2R)²		D = 22 R
r = 1/2 (22 - 2)R		r = 0,4142... R

Voir Carré

5 cercles

C = 2R = OP/2 (10 - 25)

= k. OP

OP = 2R / k

Avec

k = 1,1755

OP = R + r

r = OP - R

r = (2/k – 1) R

r = 0,701 R

Voir Pentagone

6 cercles

R = r

Voir Hexagone / Construction / Rosace

Suite	Cercle inscrit (suite) – Théorèmes et propriétés Cercle inscrit dans le losange Cercle inscrit dans le quart d'ellipse Cercle inscrit dans le triangle Cercle circonscrit Cercles exinscrits Cercle de Conway Énigme (sangaku) des quatre cercles dans le triangle Pentagone Puissance d'un point par rapport à un cercle Demi-cercle inscrit dans le triangle isocèle Trois cercles et triangles équilatéraux
Voir	Cercles et triangles Cercle – Index Géométrie – Vocabulaire Bissectrices Sphère Cône
Site	Cyclic quadrilateral – Wolfram MathWorld From inscribed circle to Pythagorean proposition – D.G. Roger – Dissection de Liu Hui expliquée
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/CerclIns.htm