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Polygones à périmètre magique

Il s'agit de placer les nombres de 1 à n sur les côtés d'un polygone de façon que la somme des nombres sur chaque côté soit la même. La quantité de nombres par côté est appelée l'ordre du polygone magique.

Cet exercice s'apparente à un jeu de dominos: chaque somme est telle que le dernier terme et le premier de l'addition suivante.

La somme magique étant déterminée, il s'agit de trouver toutes les partitions de ce nombre avec les nombres de 1 à n.

En 1972, Terry Trotter (1941-204) publie ses idées concernant ce type de polygones magiques (Voir références)

Note: les solutions présentées sur cette page ont été trouvées par ordinateur utilisant le logiciel Maple.

Anglais: Perimeter Magic Polygons (PMP)

Triangles
Les quatre solutions pour l'ordre 3 Il existe quatre possibilités pour quatre sommes magiques différentes. Pour chacun, il existe trois rotations avec le 1 prenant la place de chaque sommet et pour chacun la possibilité de tourner dans l'autre sens. Chaque solution possède 6 variantes. Bilan: 4 solutions de base et 24 solutions avec les rotations. Complémentaires Les triangles de droites sont les compléments à 7 de ceux de gauche: 1 + 6 = 7, 5 + 2 = 7, 3 + 4 = 7 …
Calcul de la somme magique On pose les trois égalités à satisfaire et on en fait la somme. Elle comprend la somme des entiers de 1 à 6 et une somme variable de 6 à 15. Seules les valeurs divisibles par 3 dans l'intervalle possible sont éligibles.
Partition et faisabilité Prenons le cas de la somme 9. La faisabilité impose qu'il existe trois partitions de 9 avec trois nombres de 1 à 6, tous différents.	Parmi les 26 partitions de 9 avec les nombres de 1 à 6, seules trois sont éligibles. Ça tombe bien! De plus, l'enchainement "domino" existe: 153 => 342 => 261 (chacun commence par la fin de l'autre). Avec 10, 11 et 12, il existe également trois partitions éligibles, pas plus.
Cas du triangle à 4 nombres par côtés: ordre 4 Contrainte: S = a + b + c + d = d + e + f + g = g + h + I + a Les cinq solutions avec le 1 au sommet x 3 pour 3 sommets x 2^3 pour les trois inversions des chiffres sur le centre des côtés x 2 en tournant dans l'autre sens = 240 solutions. Le tableau du dessous donne les 19 solutions avec le 1 non au sommet x 6 pour chacune des positions x 2² pour les inversions des autres côtés x 2 en tournant dans l'autre sens = 912 solutions. La somme magique se calcule comme précédemment: 3Smin = (1+2+3+…+9) + (1+2+3) = 45 + 6 = 51 3Smax = (1+2+3+…+9) + (7+8+9) = 45 + 24 = 69 Valeurs possibles de la somme: S = {17 à 23}. Quantité de sommes magiques On a trouvé 7 possibilités de 17 à 23 La formule donne bien cette valeur: q = 3n – 5 = 3x4 – 5 = 7 Notez que, d'après le tableau de droite, les sommes 18 et 22 sont impossibles.

Voir Triangles – Index

Carrés
Le carré avec 3 nombres par côtés est dit d'ordre 3. Il y a six solutions dont celle en figure à droite: Note: Je n'ai pas testé l'ordre 4. (146 solutions selon Harvey Heinz).

Voir Carrés

Pentagones
Ordre 3 Le pentagone d'ordre 3 possède six solutions dont celle présentée à droite. Notez la construction du pentagone à somme 14: On dessine l'étoile en un coup de crayon pour placer les cinq premiers nombres, puis On enroule en sens contraire les nombres suivants dans les creux de l'étoile. Somme magique On calcule qu'il y a 6 possibilités de 14 à 19. On constate que 15 et 18 sont impossibles.
Ordre 4 Deux exemples. On trouve les sommes: 27 = 1 + 9 + 15 + 2 = 2 + 8 + 14 + 3 = … Notez que les deux nombres en rouge peuvent être permutés sans changer la somme.
Ordre 6 – Construction Construction à partir de l'ordre 4 en ajoutant la même somme sur chaque côté. Pour cela les nombres à placer sont mis par paires de même somme: Il s'agit des dix nombres de 16 à 25. On a: 16 + 25 = 17+ 24 = 18 + 23 = 19 + 22 = 20 + 21 La figure montre, en externe, les nombres du pentagone d'ordre 4 et en interne (rouge) les couples ajoutés.

Voir Pentagones / Calcul de la somme magique pour le pentagone

HEXAGONES : 2 x 20 cas

Hexagone d'ordre 3

Il s'agit de réaliser la même somme sur chacun des six côtés. Ici, à droite: 17.

Deux races de solutions:

celles avec le 1 sur un sommet comme ici. Il y en a 20, fois 6 pour chaque sommet et fois 2 pour rotation inverse; et

celles avec le 1 au centre d'un côté, encore 20, fois 6 et fois 2.

Les 40 solutions hors rotations

En rouge le 1 au sommet; en bleu, le 1 au milieu d'un côté.

En S la valeur de la somme magique.

S	a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l
17	1	7	9	6	2	12	3	10	4	8	5	11
17	1	9	7	4	6	8	3	12	2	10	5	11
17	1	10	6	4	7	8	2	12	3	9	5	11
17	1	11	5	8	4	10	3	12	2	6	9	7
17	1	11	5	9	3	12	2	8	7	4	6	10
17	1	11	5	10	2	12	3	8	6	4	7	9
18	1	7	10	3	5	11	2	12	4	6	8	9
18	1	9	8	6	4	12	2	11	5	3	10	7
19	1	6	12	2	5	11	3	9	7	4	8	10
19	1	7	11	5	3	12	4	6	9	2	8	10
19	1	10	8	2	9	6	4	12	3	5	11	7
19	1	10	8	4	7	9	3	5	11	2	6	12
19	1	10	8	4	7	9	3	11	5	2	12	6
19	1	10	8	6	5	2	12	4	3	9	7	11
19	1	11	7	9	3	4	12	2	5	6	8	10
19	1	12	6	2	11	5	3	9	7	4	8	10
19	7	1	11	2	6	8	5	10	4	12	3	9
19	7	1	11	5	3	12	4	6	9	8	2	10
19	11	1	7	9	3	12	4	10	5	8	6	2
19	11	1	7	10	2	8	9	6	4	12	3	5
20	1	7	12	3	5	9	6	4	10	2	8	11
20	1	9	10	4	6	2	12	3	5	7	8	11
20	1	11	8	2	10	4	6	9	5	3	12	7
20	1	11	8	7	5	3	12	2	6	4	10	9
20	7	1	12	3	5	9	6	4	10	8	2	11
20	9	1	10	4	6	12	2	11	7	5	8	3
20	9	1	10	8	2	6	12	3	5	11	4	7
20	9	1	10	8	2	12	6	3	11	5	4	7
20	10	1	9	3	8	5	7	11	2	12	6	4
20	10	1	9	7	4	5	11	3	6	12	2	8
20	10	1	9	7	4	11	5	3	12	6	2	8
20	12	1	7	11	2	8	10	4	6	9	5	3
21	9	1	11	2	8	10	3	6	12	4	5	7
21	11	1	9	7	5	4	12	6	3	10	8	2
22	10	1	11	3	8	2	12	4	6	9	7	5
22	10	1	11	5	6	9	7	3	12	2	8	4
22	10	1	11	7	4	6	12	2	8	5	9	3
22	11	1	10	3	9	5	8	2	12	6	4	7
22	11	1	10	4	8	2	12	3	7	9	6	5
22	11	1	10	5	7	9	6	4	12	2	8	3

Voir Hexagone et carré de Dürer / Hexagone complet magique / Hexagones

Merci à Patrick

Heptagones
Il y aurait 118 cas d'heptagones à périmètre magique d'ordre 3, dont les deux présentés à droite. Notez la construction de celui e gauche; pas toujours aussi simple comme le montre celui de droite.

Voir Heptagones

Octogone
Il y aurait 282 cas pour l'ordre 3. A droite exemple avec somme 22.

Voir Octogones

Arithmétique
k = quantité de côtés du polygone n = ordre (quantité de nombres par côté) S = somme magique (la somme sur tous les nombres d'un côté) SS = Somme des nombres des sommets.	En général Il s'agit de calculer la plage de valeurs convenable pour la somme magique de manière à concentrer la recherche de solutions. Note: la taille de la plage (quantité de sommes magiques) pour le triangle est égal à : 3n – 5. Pour l'ordre 3, on a: 3 x 3 – 5 = 4 possibilités.	Pour le pentagone d'ordre 4 k = 5 et n = 4
N = dernier nombre à placer sur le polygone	N = k (n – 1)	N = 5 x 3 = 15
Calcul sur le périmètre: on y retrouve k fois la somme magique S.	k.S = somme des entiers plus somme des sommets	5S = (1 + 2 + … + 15) + (a + d + g+ j + m)
Somme magique minimale		5S = (1 + 2 + … + 15) + (1+2+3+4+5) = 135
		5S = ½ (15x16 + 5x6) = 135
		S = 135/5 = 27
Somme magique maximale		5S = (1 + 2 + … + 15) + (11+12+13+14+15)
		5S = 2 x (1 + 2 + … + 15) – (1+2+3+…+10) = 185
		S = (2x15x16 – 10x11) / (2x5) = 37
Exemples En jaune, les trois calculs explicites effectués sur cette page.

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