NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

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INDEX

 

Carrés magiques

 

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Polygones

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Étoiles symétries

Hexagones

Cubes

Étoiles liste

 

Sommaire de cette page

>>> Étoiles simples – Exemples

>>> Étoile de David diabolique

>>> Construction de l'hexagramme

>>> Heptagramme, octagramme

>>> Dénombrement des partitions

 

 

 

 

ÉTOILES MAGIQUES

Étoile magique de David ou à six branches

 

Somme constante sur les branches des étoiles à k branches. Le cas de k = 6 (hexagramme ou étoile de David) est étudié plus en détail sur ces pages.

 

La recherche concernant les étoiles magiques a soulevé autant d'enthousiasme que la recherche des carrés magiques: Dudeney, Gardner, Hendricks, Leeds, Mutsumi Suzuki … et, plus récemment, Harvey Heinz qui a constitué une véritable référence sur ses pages.

 

 

Étoiles simples – Exemples

 

Étoile à six branches ou hexagramme ou étoile magique de David

 

Chaque étoile est formée avec 12 nombres, dont 6 sont les sommets et 6 les creux.

 

Chacun des nombres participe à la somme sur deux branches différentes.

 

Notez la position du nombre 1 soit en sommet soit en creux.

 

 

 

 

 

 

Étoile de David diabolique

 

La somme est bien constante sur chacune des branches.

 

En plus, la même somme se trouve sur la périphérie (exemple) ou sur les creux.

 

 

 

Voir Transformation de l'étoile magique en cubes magiques

 

 

Construction de l'hexagramme (six branches)

 

L'étoile à six branches comporte douze emplacements pour les nombres de 1 à 12, dont la somme vaut T.

 

T = 1 + 2 + 3 + … + 12

   = 12 x 13 / 2 = 78

 

Chaque nombre est impliqué deux fois dans une des six sommes.

Le total des nombres de 1 à 12 vaut deux fois la somme des nombres sur les six branches, et c'est aussi six fois la somme magique s.

 

6s = 2T = 12 x 13

  s = 2 x 13 = 26

Les 33 partitions primitives  du nombre 26 avec quatre nombres différents parmi les nombres de 1 à 12.

Avec les 24 permutations possibles de chacune, il y a 792 partitions.

 

 

Voir Dénombrement des partitions

 

Symétries et rotations

 

Avec six axes de symétrie et six rotations possibles, une étoile primitive engendre douze étoiles semblables.

 

Voir Symétries et rotations

 

Étoiles primitives

 

Seule importe la position du nombre 1 au sommet ou en creux.

Toutes les autres configurations s'en déduisent par rotations et symétries.

 

Type 1

Type 2

 

Dénombrement

Les 80 étoiles primitives à six branches dont 12 diaboliques

Les 80 forment quatre familles de 20 super-primitives

 

Suite en  Page dédiée

Voir Étoile à six branches – Géométrie

 

 

Heptagramme

 

 

Octagramme

 

 

 

Voir Polygones

 

 

 

Dénombrement des partitions

Avec logiciel

Le dénombrement est immédiat avec un logiciel mathématique (Maple).

 

Programme

 

Voir ProgrammationIndex

 

Commentaires

Le programme calcule toutes les partitions de 26 avec les nombres de 1 à 12, puis, avec une boucle, il trie celles qui comptent quatre termes différents. Chaque partition retenue est ajoutée à la liste Part4.

 

Résultat

Il y a 2063 partitions du nombre 26 avec les nombres de 1 à 12 et seulement 33 avec quatre termes différents.

 

Avec tableur

 

Il est facile de réaliser le dénombrement avec un tableur.

Développer 123 = 1728 lignes énumérant les valeurs de a, b et c de 1 à 12 pour chacun.

Créer une colonne avec 1 si les trois nombres sont différents.

 

Sur la colonne suivante (E), on calcule la différence: d = 26 – a – b – c.

Créer une nouvelle colonne conditionnelle qui vérifie que d est compris entre 1 et 12 et qu'il est différent de a, b, et c.

 

 

En fin de table, demander la somme de la colonne F et divisez par 24:

 

 

 

 

 

Suite

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*    Étoile à six branches – Quantité et liste

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*      Magic Stars – Harvey Heinz – Plus que complet sur ce sujet. Une référence !

*      Order 6 Magic Stars - – Harvey Heinz

*      Magic 3-F Polygons & Graphs – Harvey Heinz

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