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22 Novembre 2025

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/04/2026

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TRIANGLES

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Triangle

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Triangle

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Équilatéral (2/3)

Équilatéral – Curiosités

Équilatéral (3/3)

Équilatéral – Entier

Sommaire de cette page

>>> Médianes et semi-médianes

>>> Bissectrices – Théorème de Steiner-Lehmus

>>> Triangle à hauteur presque entière

>>> Théorème de Viviani

>>> Point de Fermat

>>> Parallélogramme

>>> Cercle circonscrit et tangente

TRIANGLE ÉQUILATÉRAL (2/3)

Propriétés générales en première partie.

Propriétés spécifiques en deuxième partie.

Théorème de Viviani en troisième partie.

Médianes et semi-médianes
Triangle équilatéral ABC, D milieu de BC et E milieu de BD. Quelle est la longueur de la médiane AD et celle de la semi- médiane AE ? Médiane AD avec AB = a = 10 Calcul direct Calcul indirect (utile pour ci-dessous) BF = 1/2 a cos60 = 10 x 1/4 = 2,5 AF = 10 x 3/4 = 7,5
Propriété remarquable avec AE Écart: 0,052 (0,37 %)	Calcul avec AB = a = 10 BG = 1/4 a cos60 = 1/8 = 1,25 AG = 7/8 a = 8,75 EG = 1/4 a sin60 = a (racine de 3)/8 = 2,16… Note: EG = 1/2 DF.
Deuxième semi-médiane BF = 3/4 a cos60 = 3/8 = 3,75 AG = 5/8 a = 6,25 EF = 3/4 a sin60 = 3a (racine de 3)/8 = 6,49… Fractions proches 10Pi/39 = 46,1538461… 257Pi/980 = 46,1020408…

Voir Médianes du carré / Diagonales des polygones

Bissectrices – Théorème de Steiner-Lehmus
Théorème Tout triangle ayant deux bissectrices d’égale longueur est isocèle. Historique En 1840, C.-L. Lehmus demande au géomètre suisse J. Steiner la démonstration de cette propriété. Il a fallu plus d’un siècle pour simplifier la démonstration compliquée de Steiner. La plus simple, sans doute, est celle citée par Coxeter et Greitzer (Redécouvrons la géométrie) Démonstration On va montrer le lemme suivant : au plus petit angle correspond la bissectrice intérieure la plus longue. Alors : Si alors BE > CF. Si alors BE > CF. Or, BE = CF, c’est que et le triangle ABC avec deux angles égaux est isocèle.	Les points bleus sur le même cercle On trace FCG, un angle égal à BCFG (points bleus) sont cocycliques car les angles égaux FBG et FCG interceptent le même arc FG.
Démonstration du lemme Or, si dans un cercle, deux cordes sous-tendent des arcs correspondants à des angles inscrits égaux, au plus petit angle correspond la plus grande corde. En effet, la corde la plus courte est la plus éloignée du centre du cercle ; elle correspond donc à un angle au centre plus petit et donc à un angle inscrit (sa moitié) plus petit. Conséquence : CF < BG < BE. Donc : au plus petit angle correspond la bissectrice intérieure la plus longue.

Triangles à hauteur presque entière
Hauteur Cette valeur est presque entière lorsque a.racine de 3 sur 2 est une valeur presque entière Exemple

Théorème de Viviani
Théorème Dans un triangle équilatéral, la somme des distances d'un point intérieur quelconque aux côtés est égale à la longueur de la hauteur. Cette propriété se retrouve pour tous les polygones réguliers: Dans un polygone régulier, la somme des distances d'un point intérieur quelconque aux côtés, est constante; c'est celle obtenue en plaçant le point au centre du cercle inscrit.

Voir Développements et application du théorème de Viviani / Brève 55-1093

Point de Fermat d'un triangle quelconque
Un triangle quelconque ABC. Les trois triangles équilatéraux posés sur chacun des côtés. Les trois droites montrées se coupent en un point unique F, le point de Fermat. Le point F est tel que la somme des distances d'un point quelconque intérieur aux côtés du triangle quelconque est minimum. Si à un sommet, le triangle présente un angle de 120° ou plus, le point F coïncide avec ce sommet. Défi posé en 1629 par Fermat à Torricelli. Ce point se nomme aussi point de Steiner ou point de Torricelli. C'est le premier centre isogonique du triangle.

Voir Points remarquables du triangle / Points Napoléon

Parallélogramme
Un parallélogramme en jaune. Deux triangles équilatéraux en bleu sur les côtés. Le triangle en rouge est équilatéral. Les trois petits triangles sur les bords sont égaux. Ce qui explique la propriété.

Cercle circonscrit et tangente
Un triangle équilatéral ABC inscrit dans un cercle. Une tangente quelconque. Théorème La somme des distances des sommets à la tangente est égale à trois fois celle du centre et à deux fois celle de la médiane du triangle. AA' + BB' + CC' = 3 OO' = 2 BD Démonstration Elle repose sur le fait que D est le milieu de AC; O celui de BE et D celui de OE. Pour le dernier cas, on montre facilement que le quadrilatère AOCE est un losange; les diagonales se coupent en leur milieu. La médiane BD mesure 3/2 du rayon R = OB. (les médianes se coupent en O, lequel est situé au deux tiers de la longueur de la médiane.	2DD' = AA' + CC' 2OO' = EE' + BB' 2DD' = EE' + OO' AA' + BB' + CC' = 2DD' + 2OO' – EE' = 2DD' + 2OO' – (2DD' – OO') = 3 OO' = 3 R = 3 x 2/3 BD = 2 BD

Retour	Triangle équilatéral – Première partie Cercles et triangle équilatéral
Voir	Allumettes Égalités des triangles Jeux Polygones Résolution du triangle quelconque Triangle de Pythagore Types de triangles
Sites	Théorème de Viviani – Wikipédia First Fermat Point – Wolfram MathWorld The Fermat Point and Generalizations – Cut-The-Knot - Alexander Bogomolny Encyclopedia of triangle centers – Clark Kimberling's Viviani's Theorem – Cut-the-knot - Animation
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