NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 27/06/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	CERCLE
Débutants Géométrie	Propriétés de partage			Glossaire Géométrie
INDEX Construction Cercle Polygones Dénombrement	Partage – Égalité	En 5 – Pentagone	En 6 – Hexagone
	Méthode BION	En 7 – Heptagone	En 9 – Ennéagone
	Constructibilité	Régions-cordes	En 24, 48, 96
	Yin Yang	Intersections de cercles	Partage par parallèles
		Sommaire de cette page >>> Index >>> Partage du disque en N surfaces égales >>> En 2, 4, 8, 16 … >>> En 3, 6, 12 … >>> En 5, 10, 15, 20 … >>> En 17

Partage du cercle en n parties égales

ou Construction du polygone régulier à n côtés

Partager en 2, 4 ou 8, c'est relativement évident.

Partager en 3, 6 ou 9, c'est un peu plus difficile.

Partager en 5 fait partie des constructions que l'on trouvaient dans les manuels de géométrie du XXe siècle.

Il existe des cas pour lesquels il est impossible d'imaginer une construction géométrique à la règle et au compas. >>>

Partage du cercle et polygones réguliers En rouge les constructions impossibles.
n	2	3	4	5	6	7	8	9		10
°	180	120	90	72	60	51,43	45	40		36
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n	11	12	13	14	15	16	17	18		19
	32,72	30	27,69	25,71	24	22,5	21,17	20		18,94
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n			24		48		96
			15		7,5°		3,75°
Lien			>>>		>>>		>>>

Voir DicoNombre pour accéder aux nombres indiqués / Voir Polygone index

Devinette

Savez-vous quelle est la meilleure façon de partager un gâteau pour en prendre une part ou deux et remettre le reste au frigo?

Solution

Comment partager un disque en deux anneaux

Voir Énigmes et puzzles

Partage du disque en N surfaces égales		haut
Problème Un disque. Comment obtenir N surfaces d'égales aires avec règle et compas ? Solution Partager le diamètre en N parties égales et tracer les demi-cercles comme pour cet exemple (N = 8). Justification L'aire de chaque demi-cercle est proportionnelle au carré du numéro du demi-cercle de 1 à 8. On calcule ce coefficient de proportionnalité par différence entre la partie couverte et la partie en trop.	Disque partagé en huit surfaces d'égale aire Chaque surface (sorte de S) est composée de deux demi-cercles dont on retire deux demi-cercles plus petits. L'aire de chaque surface est égale à:

Voir Brève 51-1013

Après avoir partagé le disque, maintenant, on partage le cercle (la circonférence)

Partage du cercle en 2, 4, 8 … parties égales
En 2 Pour partager un cercle en deux, il suffit de dessiner un diamètre (AB, par exemple). Pour cela, il faut connaître le centre. Voir Construction. En 4 Pour partager en quatre, tracez la médiatrice CD de AB. Il suffit pour cela de dessiner deux cercles. En 8 – méthode 1 Pour partager en huit, dessiner le carré ACBD. Puis tracez la médiatrice de AC qui coupe le cercle en E et G. Même chose pour CB dont la médiatrice coupe le cercle en F et H. En 8 – méthode 2 Pour partager un cercle en huit, partir du partage du cercle en quatre parties égales Tracez les médiatrices de OA, OB, OC et OD. Les deux droites EG et FH passant par les points d'intersection des médiatrices coupent le cercle en E, F, G et H. En 16 Même type de construction que pour 8. Médiatrices de AE, EC …

Partage du cercle en 3, 6, 12 … parties égales
En 12 – méthode 1 Reprendre la construction du partage en 8 (méthode 2). Tracez les droites EI, FJ … passant par les intersections des tracés verts avec le cercle. Voir Sin 30° = 1/2 En 6 – méthode 1 Prendre un point sur deux sur le cercle. En 3 – méthode 1 Prendre un point sur quatre sur le cercle. En 6 – méthode 2 Le cercle et un de ses diamètres (CD). Compas ouvert au rayon du premier cercle. Tracez un cercle de centre C qui coupe le cercle initial en E et F. CD, EG et FH partagent le cercle en six. Voir Rosace / Six en cercle En 3 – méthode 2 Prendre un point sur deux sur le cercle. En 12 – méthode 2 Tracez les médiatrices des cordes EC, CF …

Voir Partage en 24, 48, 96 …

Partage du cercle en 5, 10, 15, 20 … parties égales
En 5 La construction est décrite en construction du pentagone En 10 Prendre les médiatrices des côtés du pentagone. En 15 Tracez un pentagone ABCDE. Dessinez les médiatrices des côtés: elles sont issues d'un sommet et passent par le centre O du cercle circonscrit (AA', BB' …) Tracez les médiatrices (traits rouges) de OA', OB' …Sur le cercle, les dix points d'intersection ajoutés aux cinq du pentagone sont les sommets du pentadécagone. Observation: Les arcs délimités par le pentagone sont chacun divisés par 3 selon la méthode vue lors du partage en 8. Note: Si vous dessiner sur avec un logiciel de dessin ou avec Word, dessiner un pentagone, puis un deuxième que vous faire tourner de 24° et un troisième avec rotation de 48°.

Partage du cercle en 17 parties égales
En 17 La construction de l'heptadécagone est assez longue. En 1796, âgé de 19 ans, Gauss prouva que ce polygone est constructible. La méthode de construction fut trouvée vers 1800 par Erchinger. La méthode est basée sur la connaissance de la relation explicitée ci-dessous. Voir Diaporama par de Mélusine-Syracuse
Valeur du cosinus de l'angle Pi / 17 = 10,588235° ou en simplifiant (un peu): Cette valeur exprimée avec radicaux provient de la résolution d'une équation du huitième degré. Voir Angle Pi/17 et Heptadecagon de Wolfram

Devinette – Solution

Question Savez-vous quelle est la meilleure façon de partager un gâteau pour en prendre une part ou deux et remettre le reste au frigo? La solution fut présentée par Francis Galton en 1906: couper un gâteau rond selon des principes scientifiques. Solution remise au goût du jour par Alex Bellos (vidéo sur Numberphile: the scientific way to cut a round cake >>>). Réponse
Ce qu'il ne faut pas faire: couper une portion et remettre au frigo car les deux faces coupées vont prendre l'air et rancir.
Ce qu'il faut faire: couper une section centrale et rapprocher les deux "presque" demi-parts. Ainsi, les faces coupées ne sont plus à l'air. Au besoin, maintenir avec un ruban élastique autour du gâteau
Pour prendre une part le lendemain, coupez de la même façon mais en croix. Rapprochez à nouveau les deux parts restantes.

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Suite	Voir en haut de page Cercle – Découpe - Faisabilité Partage de la tarte en un maximum de parts Découpe du gâteau en huit Découpe de la brioche en neuf parts Partage du triangle en sept Partage par parallèles à un diamètre
Voir	Bonne année 2017 Cercle – Index Géométrie – Index Noms des polygones Tartes et fractions
Site	Pourquoi il ne faut jamais couper un gâteau rond en parts triangulaires - Terrafemina
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Partage.htm