NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 08/04/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Propriétés générales >>> Corde et médiatrice >>> Corde et sagitta >>> Les trois points >>> Théorème des cordes sécantes >>> Cordes sécantes orthogonales et rayon du cercle

CERCLE – Fondements

Propriétés qui semblent élémentaires (évidentes) pour qui connaît un peu de géométrie.

Pourtant ce sont des propriétés qu'il faut reconnaître pour construire l'ensemble de la géométrie du cercle.

On donne quelques démonstrations à titre d'exemple.

Propriétés générales

Sécante Toute sécante coupe le cercle en deux points, et pas plus. Ou un point double, en cas de tangence. Formalisation mathématique de cette propriété (pour l'exemple): Soit 𝓓 une droite du plan affine euclidien, C un cercle de centre O et de rayon R, et . Si d(O,𝓓) < R, on a card (Ω) = 2. De même, deux cercles qui se coupent, se coupent en deux points, sauf cas de tangence. Diamètre Un diamètre divise un cercle en deux parties égales. Pour chaque point de la circonférence, l'angle intercepté par le diamètre est un angle droit. Rayon et centre Tous les points de la circonférence sont à égales distance du centre. La longueur est égale à celle du rayon. Si d'un point du cercle plusieurs segments joignant la circonférence sont égaux, ce point est le centre du cercle. Tous les points internes au disque ont une distance au centre inférieure à celle du rayon. Un point est intérieur ou extérieur au disque selon que sa distance au centre est inférieure ou supérieure à celle du rayon. Un angle au centre interceptant un certain arc vaut le double de l'angle inscrit interceptant le même arc. Corde Une corde (non diamètre) partage le disque en deux parties inégales. Les cordes les plus longues sont les plus proches du centre. La corde la plus longue est le diamètre. La bissectrice d'un angle interceptant un arc de cercle coupe la corde correspondante à angle droit. Réciproquement, si le diamètre coupe une corde à angle droit, il partage les arcs interceptés en deux parties égales. Une droite issue du centre du cercle et séparant une corde en deux parties égales est également la médiatrice de la corde. Voir Démo. La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle. Deux cordes égales sont équidistantes du centre du cercle. Réciproquement: deux cordes équidistantes du centre sont égales. Le lieu du point milieu de cordes égales est un cercle. Une droite passant par le milieu de deux cordes passe par le centre du cercle.

Symétrie

Un cercle est symétrique par rapport à tout diamètre. Si un cercle passe par un point, il passe aussi par son symétrique par rapport à son diamètre.

Le centre du cercle est un centre de symétrie quelque soit l'angle de rotation.

La ligne des centres de deux cercles est un axe de symétrie pour ces deux cercles.

Deux, trois et quatre points

Il y a une infinité de cercles qui passent par deux points. Le lieu du centre de ces cercles est la médiatrice du segment joignant ces deux points.

Par trois points non alignés passe un cercle et un seul. La position et la taille d'un cercle sont complètement déterminées par trois points. Du fait de ses trois sommets, on peut inscrire tout triangle dans un cercle.

Si un parallélogramme est inscrit dans un cercle, les médiatrices des côtés se coupent au centre du cercle et c'est aussi le cas des diagonales.

Le seul parallélogramme inscriptible dans un cercle est le rectangle. Ses diagonales, qui sont des diamètres, se coupent au centre du cercle.

Deux cercles (ou plus)

Deux cercles de même rayon sont égaux.

Deux cercles (ou plus) concentriques de se coupent pas.

Deux cercles ayant un point commun n'ont pas le même centre, à moins qu'ils soient égaux, qu'ils se superposent.

Lorsque deux cercles se coupent, le segment joignant les deux points d'intersection est perpendiculaire à la ligne des centres.

Les segments d'une sécante, interceptés par deux cercles concentriques, sont égaux.

Deux cordes se coupent en M. Si les angles de ces cordes par rapport à OM sont égaux, les cordes sont égales.

Deux cordes égales qui se coupent se partagent en segments égaux d'une corde à l'autre.

Les cercles qui passent par un même point et qui ont leur centre sur une même droite, possède un second point commun d'intersection.

Corde et sa médiatrice
Théorème Une droite issue du centre du cercle et séparant une corde en deux parties égales est également la médiatrice de la corde. La réciproque est vraie: La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle.
Hypothèses La droite D passe par O le centre du cercle. Elle coupe la corde AB, telle que: AH = HB. On note que par construction: OA = OB = R. Théorème invoqué Deux triangles qui ont leurs côté égaux deux à deux sont égaux (isométriques).	Démonstration Les triangles OHA et OHB ont: OH en commun, OA = OB, et HA = HB. Ces deux triangles ayant leurs trois côtés égaux deux à deux sont égaux. Par conséquent, leurs angles sont égaux, notamment: OHA = OHB Or, la somme de ces deux angles forme un angle plat (180°). Chacun vaut 90°, un angle droit. La droite D qui partage AB en deux parties égales et qui lui est perpendiculaire est sa médiatrice

Note: il est recommandé de présenter une démonstration systématiquement de la manière indiquée ci-dessus,

à la mode de la classe de cinquième! Du moins, il y quelques années …

Corde et sagitta
La sagitta ou flèche (y) est la portion de diamètre situé entre la corde et le cercle. Exemple de calcul du rayon avec x = 17,32 et y = 5: Autres formules

Voir Développements en Arcs, cordes et sagittas

Les trois POINTS
Théorème Par trois points non alignés, on peut dessiner un cercle et un seul. Conséquence Un cercle est complètement défini par trois points.
Hypothèses Trois points non alignés A, B et C. Théorème invoqué Un point situé sur la médiatrice d'un segment est à équidistance des deux extrémités du segment.	Démonstration On trace les segments AB et BC et leur médiatrice. Celles-ci se coupent en O. Le point O est sur la médiatrice de AB, alors: OA = OB. Le point O est sur la médiatrice de BC, alors: OB = OC. Le point O, qui est unique, est à équidistance de A, B et C. Un cercle de centre O et de rayon OA passera aussi par B et C et il est unique

Théorème des cordes sécantes
Théorème des cordes Les diagonales d'un quadrilatère cocyclique se coupent selon la relation: xy = uv ou équivalent Deux sécantes passant par un point P du cercle, se coupent selon la relation: xy = uv Démonstration 1 (figure du haut) les angles à gauche marqués en rouge interceptent le même arc, ils sont égaux. Idem à droite. Les triangles APB et DPC sont semblables et les mesures des côtés sont proportionnelles: Démonstration 2 (figure du bas) Une belle démonstration pour le plaisir On trace le triangle A'PB' homothétique de APB dans le rapport v. On trace le triangle C'PD' homothétique de CDP dans le rapport x. De sorte que A'P = D'P = vx On va montrer qu'il en est de même à droite. Les quatre angles à gauche sont égaux: interception du même arc, et effet d'homothétie. Idem pour ceux de droite. Les quatre triangles sont semblables car trois angles égaux. Les grands triangles A'B'P et C'D'P sont semblables avec deux côtés égaux à gauche; ces deux triangles sont égaux et les deux côtés de droite sont égaux:

Voir Puissance d'un point / Calculs avec ce théorème

Cordes sécantes orthogonales et rayon du cercle
Théorème des cordes Deux cordes perpendiculaires sont telles que. 4R² = x² + y² + u² + v² Démonstration On trace les médiatrices (bleues) des cordes AC et BD. Le centre du cercle se situe à leur intersection La figure montre le calcul des dimensions dont celles du triangle rectangle OHD, et avec Pythagore: Or, les cordes, orthogonales ou non, se coupent avec la relation: xy = uv Soit la relation cherchée en 4R².
Problème classique Avec ces trois mesures, retrouvez le rayon du cercle. Théorème des cordes: 2 6 = 3 x = > x = 4 Relation donnant le rayon: 4R² = 2² + 3² + 6² + 4² = 65 R = 4,0311...	Figure de l'énoncé et figure de la solution
Du même type … Quelle est la longueur de la corde ? On ne connait que les deux longueurs 2 et 4 et aussi le rayon 5 On prolonge le segment 4 (pointillés). Théorème des cordes: 2x = 4y = > x = 2y Relation donnant le rayon: 4 x 5² = 2² + 4² + y² + (2y)² 100 = 20 + 5y² => y = 4 et x = 8 Longueur de la corde: 2 + 8 = 10.

Merci à Jean-Marc Detourmignies pour ses conseils

Suite	Quadrilatère: longueur du sixième segment Théorème de Ptolémée Propriétés du cercle Équation du cercle Angles dans le cercle Construction du centre du cercle Quadrilatère cyclique (inscrit dans un cercle)
Voir	Cercle – Index Géométrie – Index
Sites	Intersecting chords theorem – Wikipedia Intersecting chord theorem – Math Open Reférence - Animation How To Solve For The Radius. Challenging 1970s Math Contest! – Presh Talwalkar Perpendicular Chords and Radius – Amiya – Vidéo (anglais)
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Propri01.htm