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Édition du: 18/09/2023 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Types de nombres figurés: liste et liens Nombres Motifs	Nombres Polygonaux
	Polygonaux		Polygonaux centrés		Autres
	Introduction	Théorie		Calcul	Tables Poly

NOMBRES POLYGONAUX Nombres construits en déposant des points sur des polygones gigognes. L'un s'appuyant sur les autres avec deux côtés en commun. Voir tout de suite les illustrations ou les tables.
	Sommaire de cette page >>> Caractéristiques >>> Savoir si un nombre est k-gonal >>> Formule >>> Passage d'un polygonal au polygonal suivant	Débutants Nombres figurés ou géométriques Glossaire Nombres géométriques

Caractéristiques

Famille	Nombre / Formes Nombres polygonaux simples / Nombres polygonaux centrés
Définitions	NOMBRE POLYGONAL (ordinaire) Nombres construits en déposant des points sur des polygones gigognes, chacun appuyé sur le précédent. La quantité k de côtés du polygone définit le type (k-gonal) La quantité n de points répartis sur chaque côté définit le rang
Famille	Polygonaux (ordinaires): cumul des points sur des polygones adjacents sur deux côtés >>> Polygonaux centrés: cumul des points sur des polygones concentriques >>> Polygonaux simples: décompte des points sur chaque polygone >>>
Formules	Nombre k-gonal de rang n En bleu, la somme des entiers de 1 à n. Formule de Nicomède d'Alexandrie (v-280 à v-210) Formule de Bachet (1581-1638) – Partition en triangulaires Autre formule semblable avec triangulaires Fonction génératrice Voir Exemple nombres décagonaux Racine k-gonale: trouver le nombre connaissant le nombre polygonal
Propriétés	Voir introduction et développements en nombres géométriques
Triangle de Pascal	Certains des nombres polygonaux figurent dans le triangle de Pascal.
Anglais	Figurate number
Voir	Nombres figurés – Débutants Nombres figurés – Glossaire et Index Nombres imagés selon leurs facteurs Décade de Pythagore

Savoir si un nombre est k-gonal
On recherche si le nombre n est k-gonal. Prendre ce nombre moins 2 et le multiplier par 8.	8(k – 2)
Multiplier par le nombre visé	8(k – 2)n
Ajouter le carré de k - 4	8(k – 2)n + (k – 4)²
Si ce nombre est un carré alors n est k-gonal	8(k – 2)n + (k – 4)² = c² ?
Exemples Est-ce que 36 est triangulaire?	8(3 – 2) x 36 + (–1)² = 8 x 36 + 1 = 289 = 17²
Est-ce que 25 est carré?	8(4 – 2) x 25 + (0)² = 16 x 25 = 20²
Est-ce que 210 est pentagonal?	8(5 – 2) x 210 + (1)² = 24 x 210 + 1 = 5 041 = 71²

Formules
Triangulaires
Carrés
Pentagonaux
Hexagonaux
Heptagonaux
(k + 2)-gonaux
k-gonaux
k-gonaux (somme)
Gnomon (écart entre deux polygonaux successifs)

Complet en Nomenclature des nombres polygonaux

Passage d'un polygonal au polygonal suivant
Polygonal d'ordre k
Polygonal d'ordre k – 1
Différence
Théorème de Bachet	On passe d'un polygonal d'ordre k au polygonal d'ordre k + 1 en lui ajoutant le triangulaire d'ordre k.
Exemple	Voir Table des nombres polygonaux Brève de maths 489

Illustration

Les nombres sur chaque ligne sont en progression arithmétique.

Observez (flèches) comment, pour n = 4, on passe de 10 à 16 en ajoutant le triangulaire précédent (6). Propriété générale.

Voir Polygonaux centrés en images / Polygonaux simples en images / Brève 53-1053

Suite	Table des nombres polygonaux Nombres polygonaux ordinaires ou centrés Nombres de Hogben
Voir	Nombres figurés centrés Nombres métalliques Nomenclature des nombres polygonaux Nom des polygones
Site	Dictionnaire des Nombres polygonaux Site Récréomaths Tout sur ces nombres
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/FIGURE/Figure.htm