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		Sommaire de cette page >>> Les premiers polygones réguliers >>> Cas du 30-gone ou triacontagone >>> Dénombrement >>> Cas du 12-gone (dodécagone)

DIAGONALES des POLYGONES

Quantité régions et d'intersections

On sait compter les diagonales du polygone régulier. Celles-ci partagent l'intérieur du polygone en régions. Combien ? Et, combien d'intersections des diagonales.

Voir Noms des polygones / Longueurs des diagonales

Les premiers polygones réguliers

	Triangle	Carré	Pentagone	Hexagone	Heptagone	Octogone
Diagonales	0	2	5	9	14	20
Intersections	0	1	5	13	35	49
Régions	1	4	11	24	50	80
Triangles	1	8	35	110	287	632

Voir Brève 519

Heptagone Le centre (vert) des cercles passant par les points d'intersections des diagonales est distinct. Les 35 intersections sont toutes simples: croisement de deux diagonales: 35 I2 . La quantité d'intersections est un multiple de 7 (35 = 7 x 5).

Octogone Le centre des cercles est l'un des points d'intersections. Les 49 intersections sont simples ou multiples: 1 I4 au centre 8 I3 sur le petit cercle 8 + 16 + 8 + 8 = 5x8 I2 sur les autres cercles. La quantité d'intersections moins 1 est un multiple de 8 (49 – 1 = 48 = 8 x 6). Intersection record Pour un polygone régulier, il est impossible d'avoir plus de 7 diagonales qui se rencontrent en un seul point autre que le centre. Et ce cas se rencontre pour n multiple de 30.

Cas du 30-gone ou triacontagone

Diagonales	375
Intersections	16 801
dont I2	13 800
I3	2 250
I4	420
I5	180
I6	120
I7	30
Régions	21 480
Triangles	1 410 350

Dénombrement
Maximum	En effet, quatre points définissent deux diagonales et une intersection. Sauf que certains points sont communs. le calcul n'est pas simple !
Formules	Extrait de l'article de Bjorn Poonen and Michael Rubinstein
intersections	I(n) = 0, 0, 0, 1, 5, 13, 35, 49, 126, 16110, 330, 301, 715, 757, 1365, 1377, 2380, 1837, 3876, 384120, 5985, 5941, 8855, 7297, 12650, 12481, 17550, 17249, 23751, 1680130, 31465, 30913, 40920, 40257, 52360, 46981, 66045, 64981, 82251, 8088140, 101270, … Si n est pair alors I(n) – 1 est divisible par n. Ex: 16110 – 1 = 160 divisible par 10. Si n est impair alors I(n) est divisible par n. Ex: 33011 divisible par 11.
Régions	R(n) = 0, 0, 1, 4, 11, 24, 50, 80, 154, 22010, 375, 444, 781, 952, 1456, 1696, 2500, 2466, 4029, 450020, 6175, 6820, 9086, 9024, 12926, 13988, 17875, 19180, 24129, 2148030, 31900, 33856, 41416, 43792, 52921, 52956, 66675, 69996, 82954, 8680040, 102050, …

Cas du 41-gone dont les régions sont colorisées – Extrait

Source image: Scott R. Shannon, Colored illustration for n = 41 (3rd version) – cité par A007678

Allez vers ces liens pour obtenir l'image complète et bien d'autres

Cas du 12-gone (dodécagone)

La quantité d'intersections pour n = 11, 12, 13 semble erratique: 330, 301, 715. Voyons le cas de n = 12 (dodécagone) qui semble régresser. Comptons les intersections en rouge sur les cercles verts. À partir d'un faisceau issu d'un sommet, on compte pour le premier amas (2, 2, 2, 1), pour l'amas de cercles suivant (2, 2, 1, 2) puis (2, 1, 2, 1) et (1, 2, 1). Soit un total de 25 intersections par faisceau-sommet, à multiplier par 12, plus l'intersection centrale: I(12) = 25 x 12 + 1 = 301, ce que nous attendions.

Suite	Compter les triangles dans les polygones Compter les triangles dans une figure quelconque Devinette avec deux triangles Longueurs des diagonales
Voir	Carré dans le triangle, construction astucieuse Dénombrement – Index DicoMot Géométrie – Index Heptagone et ses diagonales Jeux et puzzles – Index Nombres triangulaires Polygones – Index Triangle – Index
DicoNombre
Sites	The number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon - Bjorn Poonen and Michael Rubinstein OEIS A006561 – Number of intersections of diagonals in the interior of regular n-gon OEIS A007678 – Number of regions in regular n-gon with all diagonals drawn
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Particul/TrgRegio.htm