NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES et POLYGONES

 

Débutants

Triangle

Propriétés – Curiosités

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Types de triangles

 

Triangle

 

Polygones

Point Milieu

Droites et points

Pappus

Point et triangles

Angles (180°)

Quantité de triangles

Torricelli

Triangles et triangles

Quatre triangles

Heilbron

Carrés triangles

Représentation

Brocard

Cercles et triangles

Diagonales dans les polygones

Régions externes

Triangles dans les polygones

 Régions et intersections

 

Sommaire de cette page

>>> Les premiers polygones réguliers

>>> Cas du 30-gone ou triacontagone

>>> Dénombrement

>>> Cas du 12-gone (dodécagone)

 

 

 

 

 

DIAGONALES des POLYGONES

Quantité régions et d'intersections

 

 

On sait compter les diagonales du polygone régulier. Celles-ci partagent l'intérieur du polygone en régions. Combien ? Et, combien d'intersections des diagonales.

Voir Noms des polygones / Longueurs des diagonales

 

Les premiers polygones réguliers

 

Triangle

Carré

Pentagone

Hexagone

Heptagone

Octogone

Diagonales

0

2

5

9

14

20

Intersections

0

1

5

13

35

49

Régions

1

4

11

24

50

80

Triangles

1

8

35

110

287

632

   

Voir Brève 519

 

 

Heptagone

 

Le centre (vert) des cercles passant par les points d'intersections des diagonales est distinct.

Les 35 intersections sont toutes simples: croisement de deux diagonales:

35 I2 .

La quantité d'intersections est un multiple de 7 (35 = 7 x 5).

 

 

Octogone

Le centre des cercles est l'un des points d'intersections.

Les 49 intersections sont simples ou multiples:

*    1 I4 au centre

*    8 I3 sur le petit cercle

*    8 + 16 + 8 + 8 = 5x8 I2 sur les autres cercles.

 

La quantité d'intersections moins 1 est un multiple de 8 (49 – 1 = 48 = 8 x 6).

 

Intersection record

Pour un polygone régulier, il est impossible d'avoir plus de 7 diagonales qui se rencontrent en un seul point autre que le centre.

Et ce cas se rencontre pour n multiple de 30.

  

 

Cas du 30-gone ou triacontagone

 

Diagonales

375

Intersections

16 801

dont I2

13 800

I3

2 250

I4

420

I5

180

I6

120

I7

30

Régions

21 480

Triangles

1 410 350

 

 

 

Dénombrement

Maximum

 

En effet, quatre points définissent deux diagonales et une intersection.

Sauf que certains points sont communs. le calcul n'est pas simple !

 

Formules

Extrait de l'article de Bjorn Poonen and Michael Rubinstein

intersections

 

I(n) = 0, 0, 0, 1, 5, 13, 35, 49, 126, 16110, 330, 301, 715, 757, 1365, 1377, 2380, 1837, 3876, 384120, 5985, 5941, 8855, 7297, 12650, 12481, 17550, 17249, 23751, 1680130, 31465, 30913, 40920, 40257, 52360, 46981, 66045, 64981, 82251, 8088140, 101270, …

 

Si n est pair alors I(n) – 1 est divisible par n.
Ex: 16110 – 1 = 160 divisible par 10.

Si n est impair alors I(n)   est divisible par n.
Ex: 33011  divisible par 11.

Régions

R(n) = 0, 0, 1, 4, 11, 24, 50, 80, 154, 22010, 375, 444, 781, 952, 1456, 1696, 2500, 2466, 4029, 450020, 6175, 6820, 9086, 9024, 12926, 13988, 17875, 19180, 24129, 2148030, 31900, 33856, 41416, 43792, 52921, 52956, 66675, 69996, 82954, 8680040, 102050, …

 

Cas du 41-gone dont les régions sont colorisées – Extrait

Source image: Scott R. Shannon, Colored illustration for n = 41 (3rd version) – cité par A007678

Allez vers ces liens pour obtenir l'image complète et bien d'autres

 

Cas du 12-gone (dodécagone)

 

La quantité d'intersections pour n = 11, 12, 13 semble erratique: 330, 301, 715.

Voyons le cas de n = 12 (dodécagone) qui semble régresser.

Comptons les intersections en rouge sur les cercles verts.

À partir d'un faisceau issu d'un sommet, on compte pour le premier amas (2, 2, 2, 1), pour l'amas de cercles suivant (2, 2, 1, 2) puis (2, 1, 2, 1)  et (1, 2, 1). Soit un total de 25 intersections par faisceau-sommet, à multiplier par 12, plus l'intersection centrale:
I(12) = 25 x 12 + 1 = 301, ce que nous attendions.

 

 

 

 

 

Suite

*       Compter les triangles dans les polygones

*       Compter les triangles dans une figure quelconque

*       Devinette avec deux triangles

*       Longueurs des diagonales

Voir

*       Carré dans le triangle, construction astucieuse

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DicoNombre

Sites

*          The  number  of  intersection  points  made  by  the diagonals  of  a  regular  polygon - Bjorn Poonen and Michael Rubinstein

*          OEIS A006561 – Number of intersections of diagonals in the interior of regular n-gon

*          OEIS A007678 – Number of regions in regular n-gon with all diagonals drawn

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Particul/TrgRegio.htm