NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 09/05/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Trigonométrie – Index >>> Approche >>> Les trois références >>> Quand utiliser les valeurs de références >>> Trente degrés >>> Théorème de Niven >>> Pythagore retrouvé >>> Largeur de la rivière >>> Historique

TRIGONOMÉTRIE

Pourquoi avoir inventé cette branche des maths ?

Comment s'en servir ?

Les noms compliqués de sinus, cosinus, tangente

sont des noms de baptême qui ne doivent pas effrayer!

Ils donnent le moyen de calculer la longueur d'un côté

d'un triangle rectangle.
Ce sont les rapports entre les côtés et l'hypoténuse en fonction de l'angle.

Cité par Bruno Winckler

Voir Pensées & humour

Général

Trigonométrie – Débutant

Trigonométrie – Introduction

Trigonométrie – Valeurs principales

Trigonométrie hyperbolique

Trigonométrie – Fonctions réciproques

Trigonométrie rationnelle (triple quad)

Formulaire – Toutes les identités simples ou plus recherchées

Terrain de jeu: le cercle trigonométrique

Sinus, cosinus et Pythagore

Amusements trigonométriques avec un chat et une chèvre

Historique

Mnémotechnique

Angles

Angles – Définition

Angles – Types

Angles – Index des valeurs numériques des angles, dont:

Pi/9 = 20° – Calcul du sinus

Pi/8 = 22,5° – Construction de cet angle par pliage

Pi/7 = 25,71 …° – Calcul du cosinus

Pi/6 = 30° – Construction facile de cet angle

Pi/5 = 36° – Calculs des valeurs trigonométriques

Pi/4 = 45° – Calcul du sinus

Pi/3 = 60° – Calcul du sinus

Pi/2 = 90° – Angle droit

Pi/n – Propriétés

Fractions de Pi de 1 à 12 – Valeurs trigo.

Autres valeurs d'angles

Angles orientés

Angles solides

Arcsin et arccos – Définitions, calculs

Arctan 1/2 et 1/3

Mesure principale d'un angle et 2k près (modulo)

Angles et nombre d'or

Unités

Unités d'angles

Radians

Lignes trigonométriques – Définitions et valeurs

Sinus	Cosinus	Tangente	Cotangente
Versin	Cosécante
Arcsin	Arccos	Arc tangente
Sinh	Cosh	Tangente hyperbolique
Schéma montrant toutes les fonctions trigonométriques

Arc et corde dans le cercle

Arsinh et son expression en logarithme

Courbe sinusoïdale

Construction du tableau des sinus des angles essentiels

Table de valeurs trigonométriques

Valeurs pour certaines fractions de Pi

Valeurs trigonométriques essentielles

Outils trigonométriques – Identités, formules

Cercle trigonométrique

Congruence avec trigonométrie: a mod b = f (tangente)

Courbes sinus et cosinus

Démonstration des identités

Formules d'Euler – Moivre

Identités trigonométriques – Addition des angles ou des lignes trigonométriques

Identités trigonométriques – Angles multiples

Identités trigonométriques – Angles multiples (moitiés, doubles, triples)

Identités trigonométriques – Formulaire général

Linéarisation: puissances des fonctions trigonométriques

Relations de bases dans le cercle trigonométrique

Sinus ² + cosinus ² = 1

Sinus et cosinus d'une somme d'angles

Théorème de Ptolémée (quatre angles)

Calculs niveau Troisième

Calculs trigo et géométrie

Calculs niveau Première

Calculs autour de Pi/8

Calculs en trigonométrie (simples)

Cours de première

Équations trigonométriques

Exemple de calcul avec sin² + cos² = 1

Exemple simple expliqué

Exemples – Exercices de calculs en trigo.

Hauteur du donjon (Brève 577)

Limite de sin x / x et de tangente x / x

Multiplication utilisant la trigonométrie

Calculs avancés

Calculs en trigonométrie (avancés)

Exemple de calcul trigonométrique en somme de cosinus

Calcul de l'aire du cercle (intégrale)

Arcsin et arccos – Exemples de calculs

Usage

Calculer un produit en utilisant la trigonométrie

Nombres complexes, forme polaire

Radio et télévision

Transformée de Fourier

Géométrie

Loi des sinus (cosinus, tangentes …) dans le triangle quelconque

Sinus et aire du triangle isocèle

Tangente et pente

Triangles héroniens et trigonométrie

Trigonométrie du pentagone

Trigonométrie et nombre d'or

Index TRIGONOMÉTRIE

Introduction à la trigonométrie

APPROCHE
La trigonométrie permet la mesure des côtés et angles du triangle rectangle. Les valeurs trigonométriques données par des tables ou mieux aujourd'hui par les calculettes ou les ordinateurs sont des RÉFÉRENCES qui permettent de faire des calculs dans tous les cas.

Prendre la tangente …

Données Prenons un triangle rectangle avec un angle de 74°. Avec un côté de longueur égale à l'unité. Question Quelle est la mesure de l'autre côté de l'angle droit? Réponse Un dessin avec règle et rapporteur, vous donnera une valeur proche de 3,5. Une table de trigonométrie, ou la calculette, vous donne le résultat précis b = 3,487 414 44 … Encore mieux avec un ordinateur b = 3,487 414 443 840 908 650 4… En pratique Les mathématiciens, pour s'y retrouver, ont donné un nom à la valeur de b: C'est la tangente. Autrement dit, en généralisant: en clair: tangente () = b / a en abrégé: tg () = b / a Exemple de calcul Prenons 74° Sa tangente est 3,487… C'est le modèle de référence, avec a = 1 Si a est dilaté par 15 Le côté b le sera aussi a = 15 => b = 3,487 x 15 = 52,305…

Voir Initiation aux dérivées / Angle apparent de la Lune

Professeur nimbus… et l'hypoténuse?

Données Prenons un triangle rectangle avec un angle de 74°. Avec un côté de longueur égale à l'unité. Question Quelle est la mesure de l'hypoténuse? Réponse Là aussi, les mathématiciens nous ont facilité la tâche. Ils ont tabulé les valeurs pour tous les angles, ce sera notre référence pour tous les calculs. En l'occurrence, ils ont introduit un nouvel individu trigonométrique: en clair: cosinus (a) = a / h en abrégé: cos(a) = a / h Exemple de calcul Prenons 74° cos (74°) = 0,2756 ... Si a vaut 1, alors h = a / cos (74°) = 1 / 0,2756 = 3,628… Si a est dilaté par 15 L'hypoténuse le sera aussi: a = 15 => h = 3,628 x 15 = 54,42

LES TROIS RÉFÉRENCES principales
COSINUS et cosécante Rapport entre un côté et l'hypoténuse; le numérateur étant le côté COmmun avec angle: SINUS et sécante Rapport entre un côté et l'hypoténuse; le numérateur étant le côté éloigné de l'angle:	TANGENTE Rapport entre les deux côtes de l'angle droit. La tangente est aussi le rapport du sinus au cosinus; donc le côté éloigné est au numérateur: COTANGENTE Inverse de la tangente:
ARCSIN, ARCCOS … Avec la valeur d'un angle, nous venons de définir quatre valeurs trigonométriques. Si nous connaissons la valeur trigonométrique du sinus par exemple, nous pouvons nous demander à quel angle elle correspond. On écrit: Arcsin(x) = angle Arcsin(1) = Pi/2 = 90° Accès avec la calculette, en cliquant sue la touche 2^nd	Accès aux valeurs trigonométriques par la calculette Vous pouvez aussi taper simplement sin(50) dans le moteur de recherche et la réponse sera 0,766

Voir Valeurs principales / Tables et graphique / Arctangente

On rappelle que la trigonométrie s'applique exclusivement aux triangles rectangles. Cependant, tout triangle quelconque peut se partager en deux triangles rectangles, via la construction d'une hauteur.

Quand utiliser les valeurs de références?

Avec notre triangle rectangle dont l'angle vaut 74 °

Si je connais		a	b	h
Je peux calculer avec	tangente		b = 3,487 a
	sinus		b = 0,961 h
	cosinus	a = 0,2756 h

Exemples

a = 15 => b = 3,487 x 15 = 52,31…

h = 15 => b = 0,961 x 15 = 14,415…

h = 15 => a = 0,2756 x 15 = 4,134 …

Il est possible d'utiliser les formules à l'envers

b = 15 => a = 15 / 3,487 = 4,30…

b = 15 => h = 15 / 0,961 = 15,60…

a = 15 => h = 15 / 0,2756 = 54,42…

De base, vous l'avez compris, il est possible de calculer l'angle

b = 15 et a = 52, 31 => tan() = 3, 48 & = 74°

Pour le fun, les valeurs ci-dessus avec 20 chiffres

Valeurs trigonométriques pures Valeurs des exemples (avec 15)

tangente 3, 4874144438409086504 52, 311216657613629756

sinus 0, 9612616959383188619 14, 418925439074782929

cosinus 0, 2756373558169991856 4, 134560337254987785

1 / tg 0, 2867453857588079400 4, 301180786382119101

1 / sin 1, 0402994358616020971 15, 604491537924031456

1 / cos 3, 6279552785433000973 54, 419329178149501460

Pour les petits angles (< 1°)

A_rad sin(A) tan (A)

Exemples

A = 0,1 radian: sin(A) = 0,0998; tan(A) = 0,1003

A = 0,01 radian: sin(A) = 0,0099998; tan(A) = 0,0100003

Voir Angle apparent de la Lune / Radian

TRENTE degrés - Construction
Pour construire un angle de 30° Rien de plus facile! sinus 30° = ½ cosinus 60° = ½ Notez que cosinus 30° = sinus 60° = Construire les droites perpendiculaires aux axes qui coupent le rayon du cercle en deux (en bleu). Les droites en rouge partagent l'angle droit en trois angles de 30° chacun.

Voir Construction des angles de 30° et 60° / Autres valeurs / Secteurs de disque /

Constructions géométriques des nombres / Partage du cercle

Théorème de Niven (1915-1999)

Les seules valeurs rationnelles des angles du premier quadrant telles que le sinus soit aussi rationnel sont: 0°, 30° et 90°.

Voir Nombre 0,5

Pythagore … on le retrouve!
En appliquant le théorème de Pythagore, il résulte que: La somme des carrés du sinus et du cosinus vaut 1.
Application: calculer E

Voir Formulaire / Exemple de calcul avec cette identité / Cas en 3D

Largeur de la rivière – Exemple d'application
Énoncé Rivière de largeur inconnue x. Relevé au sol selon le croquis. Largeur de la rivière ? Calculs Calcul exact
Vérification avec le logiciel Geogebra

HISTORIQUE

2 500 ans avant notre ère: Égypte et Mésopotamie, aptitude à la géométrie; notamment construction des pyramides . Plimpton 322 1800 ans avec av. J.-C., les Babyloniens ont découvert la trigonométrie mille ans avant les Grecs. La tablette babylonienne Plimpton 322 (photo) est la plus ancienne et la plus précise des tables trigonométriques. Tablette découverte au début des années 1900 dans le sud de l'Irak par Edgar Banks, un archéologue et diplomate qui a inspiré le personnage d'Indiana Jones. 4 colonnes et 15 lignes de nombres écrites en cunéiforme. Système de base 60 sexagésimale. Elle contient des nombres connus comme les triplets de Pythagore. Sur la première ligne on trouve le triplet: 119, 120, 169. Il n’y a aucune notion d’angle dans ce texte-là ni de façon générale dans les mathématiques de cette époque-là (Christine Proust – Chercheuse au CNRS) Voir D; Knuth découvre l'aspect algorithmique des calculs babyloniens Si. 427 Sans doute antérieure à Plimpton 322, mais déchiffrée plus tard (publication en 2021). Vieille de 3700 ans (-1900 à -1600) Découverte à la fin du 19e siècle (1894) Dans le centre de l’Irak actuel (environs de Bagdad). Exposé dans un musée d'Istanbul, retrouvée par un scientifique de l’École de mathématiques et de statistiques de l’UNSW (sydney – Australie): Dr Daniel Mansfield Publication en 2022 dans Fondements des sciences. Relative à l'arpentage: plans utilisés par les géomètres pour définir les limites des terres. Détermination des angles droits à l'aide de triplets de Pythagore, mille ans avant la naissance de Pythagore. Dans les années 100 avant notre ère: Grecs, dont Hipparque d’Alexandrie, considéré comme le père de la trigonométrie, qui calcule la longueur de la corde pour un angle donné. Ptolémée (v.100 – v. 170), savant grec, publie dans son manuel astronomique l’Almageste la première table trigonométrique de l’histoire, pour des angles compris entre 0° et 180°, par intervalle de 0,75°. Ptolémée employait les longueurs des cordes des arcs de cercle. À la même époque, les Indiens utilisent un autre système qui introduit un paramètre proche du sinus actuel. L'invention des tables trigonométriques est indienne. La trigonométrie indienne s'est transmise aux astronomes arabes. Comme d'ailleurs aux astronomes chinois: En 724, le moine bouddhiste I-Hsing utilise une table indienne de sinus; Il la convertit en table de tangentes; Pour analyser les mesures de l'ombre du soleil à midi en divers points de Chine. Fin du X^e siècle: à partir des idées grecques et indiennes, les mathématiciens arabes définissent les lignes trigonométriques. Notamment: Nasir al-Din al-Tusi avec son Traité du quadrilatère complet. Madhava de Sangamagrama, mathématicien indien (1350-1425), élabore une table trigonométrique (moins précise que les données Plimpton 322). XV^e siècle: l’astronome et mathématicien allemand Regiomontanus fait connaître ces notions aux Européens. XVI^e siècle: l’astronome allemand Rheticus définit le sinus sous sa forme actuelle et le mathématicien français Viète introduit les coordonnées polaires en trigonométrie sphérique. Au XVIII^e siècle, Euler établit les relations entre exponentielles complexes et fonctions trigonométriques, ces dernières pouvant être, dès lors, considérées comme des cas particuliers d’exponentielles.

La dérivée d'un sinus est le cosinus

L'intégrale d'un sinus est un cosinus

Voir Dérivation et intégration

Suite en	Cours de première Calculs en trigonométrie (simples) Calculs en trigonométrie (avancés) Intérêt de la trigo: construction des triangles
Voir	Angles Cercle unité et triplets de Pythagore Formules – Identités trigonométriques Formules dans les triangles Nombres complexes, forme polaire Ondes Sinus et aire du triangle isocèle Théorème de Thalès Triangle rectangle Valeurs trigonométriques
Site	Plimpton 322 – Wikipédia Trigonométrie – Mathway – Calculateur en ligne Il y a 3.700 ans, les Mésopotamiens utilisaient le théorème de Pythagore mille ans avant la naissance du savant grec – Sciences et Avenir – 23/08/21 Autralian mathematician reveals world's oldest example of applied geometry – UNSW – 05/08/21 – Détails de la tablette Si.427
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/Trigo.htm